Sussmann, Hector J.

Numérisation de Documents Anciens Mathématiques

AstérisqueHECTOR J. SUSSMANNLes semi-groupes sous-analytiques et la régularitédes commandes en boucle ferméeAstérisque, tome 75-76 (1980), p. 219-226<http://www.numdam.org/item?id=AST_1980__75-76__219_0>© Société mathématique de France, 1980, tous droits réservés.L’accès aux archives de la collection « Astérisque » (http://smf4.emath.fr/Publications/Asterisque/) implique l’accord avec les conditions générales d’uti-lisation (http://www.numdam.org/conditions). Toute utilisation commerciale ouimpression systématique est constitutive d’une infraction pénale. Toute copieou impression de ce fichier doit contenir la présente mention de copyright.Article numérisé dans le cadre du programmeNumérisation de documents anciens mathématiqueshttp://www.numdam.org/LES SEMI-GROUPES SOUS-ANA LYTIQUES ET LA REGULARITE DES COMMANDES EN BOUCLE FERMEE par Hector J. SUSSMANN SOMMAIRE. - Nous énonçons un théorème sur les générateurs infinitésimaux des semi-groupes F de transformations d'une variété analytique M , qui sa-tisfont quelques hypothèses dont la plus importante est la sous-analyticité. La conclusion du théorème est que l'on peut toujours associer à un tel F un géné-rateur infinitésimal "analytique par morceaux". Nous donnons un exemple d'appli-cation de ce résultat pour démontrer l'existence d'une commande optimale en boucle fermée analytique par morceaux pour une classe de problèmes de contrôle. I. - ENONCE DU THEOREME. Soit f une application. Nous désignerons par Dom(f ) (resp. Im (f )) le domaine (resp. l'image) de f . Si f et g sont des applications, la composi-tion f o g est définie par : (1) Dom(f og)= {x : x€Dom(g) et g(x)€Dom(f )j (2) (f o g) (x) = f (g(x)) pour x€Dom(fog) . Une application f étant un ensemble de couples ordonnés, la relation d'in-clusion entre applications est bien définie. On voit aisément que l'inclusion f c g est vraie si et seulement si Dom(f ) ç Dom(g) et f (x) = g(x) pour x6 Dom(f ). L'application identique d'un ensemble X sur lui-même sera désignée par Id Soit M un ensemble. Toute application f telle que Dom(f ) U Im(f ) c M sera appelée une application partielle de M dans M . Un se mi-groupe partiel  à un paramètre dans M est une famille F= [f^ : t 6 K ) d'applications partielles de M dans M , telle que : 219 H. J. SUSSMANN (3) f of c f pour t, S €IR t s — t+s (4) O = r lx IdDom(f ) (5) Dom(f ) U Im(f )ç Dom(fQ) pour t€IR (6) pour chaque x€ Dom(f^), l'ensemble [ t : x€Dom(f^)} est un intervalle. Soit F un semi-groupe partiel à un paramètre dans M . L'ensemble Dom(f^) sera appelé le domaine du semi-groupe F , et on le désignera par Dom(F) . Si x€Dom(F) , l'ensemble : (7) 1* (x) = [t : x6 Dom(f )J est l'intervalle de définition de la trajectoire de F qui passe par x . L'application : F F «x : 1 (X) Dom(F) définie par : £ ( t ) = V x ) est la trajectoire de F pas san t pa r x . L'ensemble : G(F) = { (x, y, t) : x € Dom(f ) et f (x) = y ] est le graphe de F . L'ensemble vide étant une application partielle de M dans M , la défini-tion de semi-groupe partiel permet qu'il y ait des t / 0 tels que f̂_ = 0 . Dans cet article, on s ' intéressera surtout aux semi-groupes partiels F tels qu f̂  = J# pour t< 0 . Un tel semi-groupe sera dit positif. F Si x6 Dom(F) , on dira que la trajectoire Ç aboutit à un point y si F , X F F l'intervalle I (x) est fermé à droite et borné à droite, et Ç (SUP I M) = y • On dira que le semi-groupe F est terminal si, pour chaque x€ Dom(F) , la F . v trajectoire § aboutit a un point y . 220 SEMI-GROUPES On voit alors que, pour un semi-groupe partiel F , les deux conditions sui-vantes sont équivalentes : (I) F est positif et terminal, (II) pour chaque x€Dom(F), l'intervalle I (x) est de la forme : [ 0, T (x)] , T (x) étant un nombre réel non négatif. Lorsque F satisfait (I) (ou (II)), les points x tels que T (x) = 0 seront dits points terminaux de F , et l'ensemble Term(F) des points termi-naux sera appelé l'ensemble terminal de F . Supposons maintenant que M soit un espace topologique. On dira qu'un semi-groupe partiel F est continu si toutes les trajectoires §^ , x€Dom(F), sont des applications continues dans M . Si M est une variété differentia ble, on dira que F est Lipschitzien si toutes les trajectoires Ç sont des appli-cations localement lipschitzienne s. Si M est une variété analytique, on dira que F est sous -analytique si le graphe G(F) est un sous-ensemble sous-analytique de Mx Mx IR . Exemple : Soit M = 1R , et soient x, y les coordonnées usuelles. Soit X le "champ vectoriel discontinu" défini de la façon suivante : X x,y = - y—, -— + T"| -— si x / 0 , y / 0 /y |x I Ùx lyl Ô y r > y r x 0 X(x, 0) = - -j—i -— si x Â 0 , |x | Ô x ' x(0'y) - - w\ i~ 31 y/0 • y Pour chaque point p€M , soit : [0, T(p)] • M la "courbe intégrale" de X telle que ç^(0) = p . Cette courbe est définie jusqu'à un temps T(p) tel que Çp(T(p)) = (0, 0). (On voit aisément que T (x, y) = 2 |x | + | y | si y / 0 , T(x, 0) = |x | ). Mettons ft(p) = Ç (t) , pour O ^ t ^ T ( p ) , f ̂  = fi pour t < 0 . Soit F = {f : tÇIR } . Mo rs F est un semi-groupe partiel positif, terminal, Lipschitzien et sous-analytique dans M . L'ensemble terminal de F est réduit au point (0, 0) . 221 H. J. SUSSMANN L'exemple précédent montre que, si F= {f ̂  : t€2l} est un semi-groupe partiel positif Lipschitzien sous-analytique, il est bien possible que les applica-tions f aient des points de discontinuité. On voit aussi qu'il peut bien y avoir plusieurs trajectoires différentes aboutissant au même point p . Il est donc évi-dent qu'on ne peut pas, en général, prolonger les trajectoires d'une façon "naturelle" pour des temps négatifs. Remarquons aussi que le semi-groupe F décrit ci-dessus est associé au champ vectoriel X , qui mériterait bien d'être appelé le "générateur infinitési-mal" de F . Le champ X est discontinu, mais il est "analytique par mor-ceaux". Le théorème principal de ce travail dit que cette situation n'est pas excep-tionnelle, et que tout semi-groupe partiel positif terminal Lipschitzien et sous-analytique a un "générateur infinitésimal analytique par morceaux". Nous donnons d'abord une définition précise de la notion de "champ vectoriel analytique par morceaux". Soit S un sous-ensemble de la variété analytique M . Un champ vectoriel analytique par morceaux, avec domaine S , est une 8 - tupie. (8) X = (P, ^ , P P X , TT , 2 , E ) telle que : i) P est une partition finie ou dénombrable de S , ii) les éléments de P sont des sous-variétés analytiques connexes de M , iii) P^I^UP^UP^ et les ensembles P̂  , "P , P^ sont mutuellement dis-j oints, iv) X est un champ vectoriel partiel défini sur l'ensemble U (c'est-à-dire que, pour chaque x € U 1̂  , X(x) appartient à l'espace tangent au point x ) , v) la restriction X/N de X à chaque sous-variété N6 P^ est un champ vectoriel analytique sur N (et donc tangent à N ) , vi) TT est une application de 1̂  dans P , ayant la propriété suivante : si N€ P. , N' = TT(N) et si, pour x € N , on désigne par y la 1 x courbe intégrale maximale de X/N telle que y (0) = x , et par 222 SEMI-GROUPES I(x) = (a(x), b(x)) l'intervalle de définition de Yx . alors : (a) b(x) < oo pour x€ N , (b) la limite : Y (b(x)) = lim y (t) X t - b(x)- X existe pour x€N , et appartient à N' , (c) les applications x b(x) et x -* Y (b(x)) sont analytiques, vii) S est une application de dans P̂  , viii) E = {EN : N€ P2J est une famille d'applications. Pour N € p^ , E ^ est une application continue de l'ensemble : Dom(EN) = [(x, t) :x€N , 0^ t< e(x)j , e : N «* JK+ étant une fonction continue à valeurs positives, dans la variété S (N) . E^ est analytique sur l'ensemble ((x, t)ÇDom(E^) : t > 0 j et, pour chaque x € N , la courbe t E (x, t) , t > 0 est une trajectoire de X/ E (N) . Si X est un champ vectoriel analytique par morceaux avec domaine S , donné par (8) , alors l'ensemble : Term (X) = U P3 sera appelé l'ensemble terminal de X . Une trajectoire de X est une appli­cation continue Y d'un intervalle I , à valeurs dans S , telle que, pour tout t€ I , t / sup I , on a Y(t) €S - Term(X) et, si Y (t) € N € P , alors : (a) si N 6 P , il existe un a > 0 tel que Y / (t, t + a) est une trajectoire de X / N , (b) si N6P2 , il existe un a> 0 tel que Y (t+ s) = E (y(t), s) pour 0< s < a . On démontre aisément l'existence et l'unicité locale des trajectoires de X dans le sens positif du temps, si la condition initiale appartient à S - Term(X) . On voit aussi que, pour x 6 S , il y a une trajectoire maximale unique telle que Y(0) = x , I étant un intervalle tel que inf I = 0€I . Cette trajectoire est définie 223 H. J. SUSSMANN jusqu'au premier temps t ^ O tel que la limite lim Y(s) n'existe pas, ou bien elle existe et appartient à Term(X) . Nous désignerons par Y cette trajectoire maximale. Pour chaque t^O , nous définissons un ensemble et une application : ffc : D * S par : D = {x : Y (t) est défini J t x ffc (x) = Y (t) pour x6 Dfc . Pour t < 0 , on définit ft = 0 . Soit : FX= [ft : t€IR } . X X Alors F est un semi-groupe partiel à un paramètre, et Dom(F ) = S . X — L'ensemble des points terminaux de F est précisément Term(X) . Nous pouvons maintenant énoncer le théorème. La preuve (qui est très Longue) sera publiée ailleurs. THEOREME 1. - Soit F un semi-groupe partiel sous-analytique, Lipschitzien, positif et terminal dans une variété anaLytique M . Il existe alors un champ vec -X toriel X , analytique par morceaux, tel que F = F II. - APPLICATION A LA THEORIE DU CONTROLE. On peut appliquer le théorème 1 à la théorie du contrôle de la façon suivante. Etant donné un système : (9) x = f(x,u) , x 6 M , u€ U dont l'espace des états est la variété analytique M , on définit d'abord la notion de commande en boucle fermée (c. b. f. ). Une c. b. f. est un ensemble 3» de tra-jectoires de (9) , ayant la propriété suivante : Si x est le point initial d'une trajectoire , alors 224 SEMI-GROUPES (a) Y est unique, (b) la restriction de Y à n'importe quel intervalle de la forme [t : t ^ tQ } H Dom(Y) appartient aus si à 3» . Si 3* est une c. b. f. , on associe à 3« un semi-groupe positif continu SemÇ?) . Le domaine de Sem(3<) est l'ensemble S des points initiaux des trajectoires appartenant à 3P . Si x6S , et t ^ 0 , et si y€3< est telle que Y(tQ) = x » alors on définit ffc(x) = Y (tQ+ t) . (Si Y(tQ+ t) n'est pas défini, alors ^t(x) n'e s t pas défini). Pour t < 0 , on me t f ̂  = f> .ALors { f ̂  : t € TR } est un semi - g roupe po sitif continu, que nous désignons par Sem(3<). On dira que 3" est Lipschitzienne si chaque Y € 3* est Lipschitzienne, et que & est te rminale si Sem(3!) est terminal. (Ces conditions seront toujours satisfaites si, par exemple, les tra-jectoires Y€ 35 sont définies sur des intervalles compacts, et si U est com-pact et f : M x U » TM est continue). On voit alors que, _si 3* est Li p s -chitzienne et terminale, alors la sous-analyticité de Semp ) entraîne la con-clusion que 3* est la famille des trajectoires d'un champ vectoriel analytique  par morceaux. On a de cette façon un "théorème de régularité" pour les c. b. f. Naturellement, ce théorème n'est important que si l'on réussit à trouver des situations intéressantes où l'on arrive à démontrer qu'une c. b. f. 3* est sous-analytique. Ici, on se bornera à donner un exemple particulièrement simple. (Une liste plus détaillée sera publiée ailleurs). Considérons d'abord le problème du temps optimal pour un système : (10) x € A(x) , x € IRn , où A (x) est, pour chaque x un ensemble compact, convexe, à intérieur non vide. Supposons aussi que l'ensemble : A = {(x, u) : u€ A(x) } soit défini par : A = {(x, u) : cp (x, u) ^ 0 j , Cp étant une fonction analytique réelle, telle que (grad çp) (x, u) £ 0 chaque fois que çp (x, u) = 0 . Ajoutons l'hypothèse que, pour chaque x , la surface 225 H. J. SUSSMANN {u : çp (x, u) = 0 } est à courbure strictement positive. On voit alors que le Principe du Maximum détermine d'une façon unique, pour chaque x 6 IRR , et chaque co vecteur \ 6 ]Rn- {OJ, la va leur u(x, X) € A(x) de la commande qui minimise le Hamiltonien et que u(x,A.) est une fonction analytique de (x,\) . Soit x 6 IRn et soit 3< la famille de toutes les trajectoires optimales o o qui aboutissent à x . Si x est le point initial d'une trajectoire Y € > soit S(x) l'ensemble de toutes les valeurs de \ telles que ||X. 11= 1 et v ' o o qu'il existe une Y € dont x est le point initial, et qui satisfait le principe du maximum avec une variable adjointe t -» \(t) dont la valeur terminale est \^ . Alors S(x) est compact pour chaque x . Soit X(x) le premier élément de S(x) par rapport à l 'ordre léxicographique. Soit Yx la trajectoire cor res-pondante. Soit 3» = [y j . On voit alors que 3 est sous-analytique. Le théorème 1 entraîne donc le résultat de régularité : pour un système qui satisfait nos hypo-thèses il existe, pour chaque x , un champ vectoriel X , analytique par mor-ceaux, et terminal, tel que Term (X) = {x } , et que : (a) les trajectoires de X sont optimales, et (b) le domaine de X est l'ensemble de tous les x tels qu'il existe une trajectoire optimale de x à x Hector J. SUSSMANN Mathematics Department Rutgers University New Brunswick NEW JERSEY 08903 (U.S.A.) 226 

Les semi-groupes sous-analytiques et la régularité des commandes en boucle fermée

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