Aubin, Thierry

Numérisation de Documents Anciens Mathématiques

AstérisqueTHIERRY AUBINUn théorème de Fredholm non linéaire pourla transformation conforme de la courburescalaire sur la sphèreAstérisque, tome 80 (1980), p. 57-62<http://www.numdam.org/item?id=AST_1980__80__57_0>© Société mathématique de France, 1980, tous droits réservés.L’accès aux archives de la collection « Astérisque » (http://smf4.emath.fr/Publications/Asterisque/) implique l’accord avec les conditions générales d’uti-lisation (http://www.numdam.org/conditions). Toute utilisation commerciale ouimpression systématique est constitutive d’une infraction pénale. Toute copieou impression de ce fichier doit contenir la présente mention de copyright.Article numérisé dans le cadre du programmeNumérisation de documents anciens mathématiqueshttp://www.numdam.org/Société Mathématique de France Astérisque 80 (1980) p. 57-62 UN THÉORÈME DE FREDHOLM NON LINÉAIRE POUR LA TRANSFORMATION CONFORME DE LA COURBURE SCALAIRE SUR LA SPHÈRE, Thierry AUBIN Nous allons résoudre un problème posé par Nirenberg, il y a une dizaine d'an-nées. Soit S^ la sphère de rayon 1/a, sa courbure scalaire R = n(n-l)a^. Etant donnée une fonction F, vérifiant | F| < e , e > o un réel donné, existe-t-il une mé-trique conforme g', pour laquelle la courbure scalaire R' est R' + F ? Posons g' = e g, le problème revient a résoudre l'équation : ( 1 ) A<P + R = Rf ^ Considérons plus généralement l'équation : ( 2 ) A <P + R = f e avec R un réel positif et f f C une fonction positive en un point. Il est néces-saire que f ait cette propriété pour que l'équation (2) ait une solution, puisque R jdv = J f e^dv Nous allons utiliser la méthode variationnelle pour résoudre l'équation (2). Posons !(<£) = 1/2 | v u yvu + R | ydv et u = inf I(<P) pour tout <P Ĥ vérifiant |Jf y dv = R J dv. H^ étant le premier espace de Sobolev. Nous sommes amenés à étudier cet espace qui correspond au cas d'exception du théorème d'inclusion de Sobolev. On montre que, lorsque <£(= H^, e Ç et que l'operateur de Ĥ dans L̂ : • e est un opera-teur compact. De plus il existe des constantes C et R telles que ( 3 ) | ey dv < C klivcp 2 e ^ +jfdv/ dv 57 T. AUBIN Ces résultats se trouvent dans Triidinger (6) et Aubin (1). Sans nuire à la généralité, nous supposerons dans la suite, que J d v = 1 . Théorème 1. L'équation (2) a une solution si 2 k R < 1. a) y est fini si 2 k S < 1 . y < oo car il existe des fonctions - oo b) est atteint par une fonction YE H1 si 2 kR° < 1 . Soit <P. une suite minimisante : 1 K ^ + y, f ^i If e dv = R. D'après (4-), si 2 k R < 1, llv vi dv ||< ̂ Q 11116 cons"kante, puisque la suite I(cp̂ ) est bornée (l(cp_̂ ) < A une constante). D ' où (//R - C^/2 < <P dv < A/R La suite { <P̂ } est donc bornée dans H1, il existe une sous-suite { e ° fortement dans L^. Comme ItLim f a i b l e II < lim II , I(<Pq)< y. Mais comme If e dv = R, d'après la définition de y, I(^) = U* c) <P € C °° et vérifie (2). o cp̂ vérifie faiblement dans l'équation d'Euler du problème : ^o Acp + R = V f e o v le multiplicateur de Lagrange est égal à 1 puisque jf e ° dv = ft. Comme cpQ 6H1, pour tout p 6 N , Pyo €H1 et eP ° est intégrable. D'où 58 UN THÉORÈME DE FREDHOLM NON LINÉAIRE A <PQ f ELp pour tout p. Ainsi yo Ec1 c'' et le théorème de régularité entraîne que <P (z C °°. o Il convient pour résoudre le problème de Nirenberg de connaître la meilleure constante R possible. Celle-ci est égale à kQ = 1/16TT, Aubin (1) voir aussi Moser - 2 v 2 ( 5 ) . Comme le volume de S^ est supposé égal à 1 : 4 ^ ot = 1, dfoù R = 2 a = STT et 2 k R = 1 . o p est fini, mais on ne peut pas faire converger une sous-suite de la suite minimisante. La méthode ne permet pas de résoudre le problème. Voilà où nous en étions en 1970. Cette conclusion était heureuse, car en 197/+? Kazdon et Warner ont montré que le problème n'avait pas de solution, si F est une fonction propre rela-tive à la première valeur propre x1 0. Si on appelle A l'espace de ces fonctions propres, ils ont montré que R' et f une solution de (1) devaient vérifier pour tout E ty A: J VV Ç R' e^dv = 0 Donc si R1 = R + F avec Fç A , F ^ 0, on a une contradiction en prenant £ = F. L'opérateur <p->- e (A<P+ R) n'est pas localement inversible en <P = 0. Si donc on veut résoudre le problème de Nirenberg, il convient d'abaisser la constante kQ et c'est l'objet du Théorème 2 . Aubin [2 ] et \U ]• Les fonctions o aussi petit qu'on veut, C(k) étant une constante qui dépend de k, (kQ = 1 / 1 6 T T ) . Soient E1 , i = 1 , 2 , 3 une base de A, par suite 3 I i=1 i^l est partout non nul : 3 i=1 ||sd|| >ß> o Appelons s12 = sup(Çi,0) et £. = sup(-£. ,0), K^Cresp. K. ) le support de 59 T. AUBIN s/2 (resp.Çi) .Soient dsf1 - {x ç S /F ( x ) > B/3>, fi, = ( x ç S / C . . ( x ) •< - B / 3 ) , 1 2 -L h + 1 (resp. hu) des fonctions C 2 égales à 1 sur b+-(resp.flL) et g* (resp. g1 ) des 2 „ + fonctions C égales a 1 sur (resp. K^) , vérifiant 0 ' ht • 1, 0 -"h. - 1, 0 g+ • 1, 0 g. • 1 , supp h ! x H supp g i = 0 et supp tu fi supp g^ = 0. Vues les hypothèses, en tout point x Ç S^, au moins une des fonctions £ t ou £ est supérieure à 3/3- D'où 3 i=1 + ) i i = S 2 6 t fJ dv < E (^ J + e P dv f dv j) ^ i ^ i Supposons que pour tout i : 4 : О e 4 3 d v > í fi. e dv et I x o e^ dv > I , e dv Si Il v(<ph ) Il 2 < l lv (<p g^ ) li 2 o o nous écrivons en utilisant (3) F dv < f x o e dv < S 2 cp h. o e d v < 6 C exp [ k II V (cp h. ) Il 2 + J cph± dv J o Et comme 2 II V (cp hT ) H g < H V (cph ± ) Il 2 + H V (cpg^ ) H 2 "̂o o o il existe une constante y telle que 2 lì V (<Ph~ ) Il g < Il Vcp I I 2 + 2 y II cp l ! ^ o 60 UN THÉORÈME DE FREDHOLM NON LINÉAIRE (6) devient : j e ^ dv< 6 C exp[^f II Vcp 1 1 ^ + Y N H 2 + J ! II V (cpg^ ) H 2 o o nous écrirons J e 1 о fg 1 ß i s fgi о e dv = j Ь2 4 о e dv < juy|fdg 1 < i < 3 '4 i e dv et en utilisant ( 3 ) : «4-1 o ф e dv < ghj e + ^gi o dv < C exp [k Hv(<Pg+ )ll2 + Jcp g ^ dv) o o où 2 II V (<pg+ ) | | 2 < H y (cp g+ ) H 2 + II V (cphi ) | l 2 o o 0 et nous obtenons le même résultat que précédemment. Revenons au problème de Nirenberg : Théorème 3 . Aubin 3 et U • Etant donnée, sur la sphère S^, une fonction f c C°°, d'intégrale positive, il existe une fonction h(f)^ y\ telle que l'équation (1) ^o avec R' = f - h(f) ait une solution cp f C °°, e étant orthogonal à A (au sens deL2). Nous reprenons la méthode variationnelle. Posons I(<P) = l l v ^ H ^ / 2 + RJ*^V, mais maintenant x - inf iC*/5) pour tout <P F , vérifiant J*f e^dv = R avec orthogonal à Comme précédemment À est fini, en particulier À<R Log(R/Jf dv) mais mainte-nant A est atteint par une fonction ^ Ç H^, car on peut prendre k = kQ/2 + e, de manière que 2k R < 1. 61 T. AUBIN c£>o vérifie l'équation d'Euler, il existe h(f) Ç Atel que A<Po + R = rvf - h(f)] e De plus fgf sgo dv = R, d'où V = 1, et f,e 0. Mais une hypothèse plus faible peut être prise : il suffit cp qu'il existe une fonction strictement positive e qui soit orthogonale a A et telle que J* f dv = R; il n'est pas nécessaire que cette fonction soit constante. Les résultats de cet article peuvent être généralisés à la sphère n > 2, et aux variétés riemanniennes compactes. BIBLIOGRAPHIE [1] T. AUBIN. Sur la fonction exponentielle. Comptes-Rendus Acad.Sc. Paris. Série A 270 (1970) p. 1514. [2] T. AUBIN. Sur les meilleures constantes dans le théorème d'inclusion de Sobolev. Comptes-Rendus Acad.Sc. Paris. Série A 287 (1978) p. 795. [3] T. AUBIN. Résolution d'une équation différentielle non linéaire, non inver-sible localement. Comptes-Rendus Acad.Sc. Paris. Série A 287 (1978) p. 1039. [4] T. AUBIN. Journal of Functional Analysis 32. (1979). [5] J. MC 'ER. A sharp form of an inequality by Trüdinger. Indiana Univ. Math. J. 20 (1971) p. 1077-1092. [6] N. TRÜDINGER. On imbeddings in to Orlitz Spaces. J. Math. Mech. 17 (1967). p. 473-483. Thierry AUBIN, Université de PARIS VI 62

Un théorème de Fredholm non linéaire pour la transformation conforme de la courbure scalaire sur la sphère

http://www.numdam.org/item/AST_1980__80__57_0.pdf

Un théorème de Fredholm non linéaire pour la transformation conforme de la courbure scalaire sur la sphère

Abstract

Similar works

Full text

Available Versions

Numérisation de Documents Anciens Mathématiques