Fathi, A.

Laudenbach, F.

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AstérisqueA. FATHIF. LAUDENBACHComment Thurston compactifie l’espace de TeichmüllerAstérisque, tome 66-67 (1979), p. 139-150<http://www.numdam.org/item?id=AST_1979__66-67__139_0>© Société mathématique de France, 1979, tous droits réservés.L’accès aux archives de la collection « Astérisque » (http://smf4.emath.fr/Publications/Asterisque/) implique l’accord avec les conditions générales d’uti-lisation (http://www.numdam.org/conditions). Toute utilisation commerciale ouimpression systématique est constitutive d’une infraction pénale. Toute copieou impression de ce fichier doit contenir la présente mention de copyright.Article numérisé dans le cadre du programmeNumérisation de documents anciens mathématiqueshttp://www.numdam.org/EXPOSÉ 8 COMMENT THURSTON COMPACTIFIE L'ESPACE DE TEICHMÜLLER par A. FATHI et F . LAUDENBACH § I. - Préliminaires § II. - Le lemrne fondamental § III. - La variété 3" Appendice (A. Fathi). - Estimations de distances hyperboliques Dans l 'espace des fonctionnelles , on a plongé l 'espace de Teichrniïller 3 et l 'espace des classes de Whitehead de feuilletages mesurés ÎH3 (exposés 6 et 7). Dans cet exposé, on identifie ces espaces à leurs images dans l 'espace fonctionnel ; pour toute fonctionnelle f € JR^ , on note i ( f , a ) la valeur de la fonctionnelle sur a <E /S . On rappelle que n : JR^ - {0} -* PQR^) désigne la projection sur l 'espace des rayons et que PÎTt3 est l'image de ÏÏL3 . D'ailleurs, Hi3 = TT (PÎÏ13) . On construit une topologie sur la réunion de 3" et de PIïi 5 . On prouve que c ' est une topologie de variété à bord ; puisque l'intérieur est homéomorphe à une boule ouverte et que le bord est homéomorphe à une sphère, la variété à bord est homéomorphe à une boule fermée. La clé est dans les inégalités du lemrne fondamental dont la démonstration repose sur des estimations de longueur en géométrie hyperbolique qui ont été rassemblées en appendice de cet exposé. 139 EXPOSÉ 8 § I. - PRELIMINAIRES 1.1. Proposition. Dans ]R_̂  , les espaces 3" et №.3 sont disjoints. Démonstration. Si f appartient a 3" , comme on est sur une variété compacte, l 'en-semble des nombres i ( f , a ) , OL € y§ , est minoré par une constante strictement posi-tive. On va prouver que, pour f€ , l 'adhérence des nombres i ( f , a ) contient 0 Soit ,M ) un feuilletage mesuré représentant f ; soit y un petit arc trans-versal à 3 , avec /i (y) < e , où G > 0 est donné. D'après le théorème de récur-rence de Poincaré (exposé 5, théorème 1.5 ) , presque toute feuille partant d'un point de y recoupe y ; on obtient donc une courbe fermée simple y 1 , formée d'un arc de y et d'un arc porté par une feuille de ï ; si a est la classe d'isotopie de y ' , on a : i ( f , a ) < p (y ') < /i (y) < e . • 1.2. Construction d1 une projection q : 3" -+ №.3 . Cette projection servira à donner les cartes de la variété à bord. Elle dépend du choix d'une famille K = { K^, . . . , } de courbes simples mutuellement disjointes découpant la surface en pantalons (plongés) R , . . . , R ^ , ; si la surface est de genre g et sans bord, k = 3g-3 et k1 = 2g-2 . Soit m € 3" ; on représente m par une métrique m , de courbure - 1 , pour laquelle les courbes K. sont géodésiques. Le feuilletage, qui représentera q(rn) , sera transversal à chaque K_. ; on impose pour tout j : i(q(rn),K ) - i(rn,K ) . Soit R un des pantalons ; disons que ôR = U U et posons 2m. = i(m,K.) . Soit g.., la m - géodésique simple de R orthogonale à K. et à K , . J 3 JJ J J 1er cas, (m^ ,m2,m^) € (< v) , inégalité triangulaire. Soit T12 le tube géodésique (fermé) des points de R à une distance de g ^ plus petite que m1 + m2 " m3 ; il est feuilleté par les lignes d'égales distances ; 2 la distance entre deux feuilles donne la mesure transverse. On considère de la même façon les tubes feuilletés et . Les tubes n'ont, deux à deux, que deux points communs qui sont sur le bord ; par exemple : T 1 2 n T 1 3 = ' . 2 ' V K1 • 140 COM PA CTI FICA TION Cela tient au fait que est l'unique perpendiculaire commune à g ^ et g ^ ; d 'autre part, en additionnant les deux épaisseurs, on voit que est totalement Figure 1 qd g12 qd e23 qd ,g13 recouvert ; de même pour et . On obtient ainsi un feuilletage mesuré "partiel" de R (figure 1) . On peut lui associer un vrai feuilletage mesuré en effondrant chaque triangle, non feuilleté, sur un tripode. En réalité, pour la suite, on a intérêt à garder le feuilletage partiel, dans lequel la mesure est directement donnée par la métrique. 2e cas, > + m^ . Quitte à changer la numérotation, il n 'y a pas d'autres cas . Ici T est le tube de rayon et est celui de rayon m^ . L ' ensemble des points de K^,qui ne sont à 11 intérieur ni de T 2 ni de , forme deux arcs A et A' , symétriques l1 un de l 'autre par l'involution isométrique de R qui admet g U giq U g9~ pour lieu de points fixes (exposé 3, lemme 7) . Soit T la réunion des lignes d'égales distances à la géodésique , issues de A (Attention! g peut ne pas être dans T ^ ) . On voit que T H K = A U A' . Ces trois tubes donnent un feuilletage "partiel" ayant l 'al lure de la figure 2 . 141 EXPOSÉ 8 T 1 -1^ A A» T T 11 23 Figure 2 On remarque que, dans les deux cas, les feuilles sont perpendiculaires aux courbes du bord. Lorsqu'on recolle les pantalons, on obtient un feuilletage mesuré "partiel" 3 ̂  , qui représente q(m) ; les feuilles ne sont que C à la jonction de deux pantalons, mais cela n 'a pas d'importance. 1.3. Proposition. L'application q est un homéomorphisme de 3" sur l'ouvert U(x) de Îîi3 , formé des fonctionnelles prenant des valeurs non nulles sur chaque compo­sante de K . Démonstration. 1° On construit l ' inverse q 1 de la façon suivante. Un élément de U(K) se représente par un feuilletage mesuré (5 , transverse aux courbes de 1C . Dans le pantalon R (notation de 1.2), on construit une métrique m de courbure - 1 avec les propriétés ci-dessous : (i) m |K =ji |K , pour j = 1, 2, 3 ; (ii) notant 2m. = fi(K.) , si (m ,m ,m ) G (< v) , la feuille l isse, qui va de J J rn "i* m JJJ K à K (resp. à K ) et dont la /2 - distance aux singularités est 1 2 3 ^resp. m1 + m3 " m2 j est une géodésique de m orthogonale au bord ; 2 142 COMPACTIFICA TION (iii) si > + rn̂  , la feuille lisse, qui va de à (resp. à K )̂ et dont la /i - distance à une singularité est (resp. m )̂ , est une géodésique de m orthogonale au bord. D1 après la classification des métriques hyperboliques du pantalon (exposé 3) , si deux métriques vérifient les conditions ci-dessus, alors elles sont conjuguées par un difféomorphisme isotope à l'identité, par une isotopie constante sur le bord. Donc lorsqu'on recolle tous les pantalons, on obtient une métrique hyperbolique, bien définie à isotopie près. D'après la classification des feuilletages mesurés dans le pantalon (exposé 6) , on voit que l'application ainsi construite est l 'inverse de q . 2° Pour la continuité, nous proposons le plan suivant. On utilise le paramétrage {m_.,s^,L} de ïï\3 (voir exposé 6) . La projection {m_.,s_.,L} imj} » restreinte à U(K) est une fibration principale, dont le groupe structural est le groupe des twists le long de iï . En effet, on a une section évidente a({ m.} ) = { m.,0,m.} ; d'autre part, si on fait opérer un twist a. le long de K. sur cette section, le couple (sj>*j) paramétrant le feuilletage twisté, est donné par des formules semi-linéaires (exercice) établissant, pour chaque m_. , un homéomorphisme de IR sur l'ensemble des ( s , t.) tels que (m., s., t.) appartienne à ô(<v) ; puisque U(K) est une variété, ces arguments suffisent à prouver la structure du fibre principal. On rappelle aussi que 3" est fibre au-dessus de l'espace des longueurs des composantes de K (exposé 7, proposition 3 ) . Or, par construction, l'application q est équivariante vis-à-vis de ces deux structures de fibrations principales et elle recouvre l'identité de leur base commune . La continuité de q équivaut a celle de q , puisque la source et le but sont des variétés. Pour celle de q \ d'après ce qui précède, il suffit de la vérifier sur la section a . Or, au-dessus du fermé (< v) U { m̂  > m^ + m^} , la section a se relève en une section a à valeurs dans l'espace des feuilletages du pantalon R , dont les feuilles médianes (désignées en (ii) et (iii) ) sont fixes. A partir de là, on peut construire m continûment dans R , en appliquant le théorème 5 de 1 ' exposé 3 . On fait de même dans tous les pantalons. • § H . - LE LEMME FONDAMENTAL II. 1. Lemme. Soient e > 0 et V(X,e) l'ouvert de 3" défini par les métriques pour lesquelles chaque composante de K est une géodésique de longueur > e . Pour 143 EXPOSÉ 8 tout a £ /5 , il existe une constante C telle que, pour tout rn € V(.K,s) , on ait : i(q(m),a) < i(m,a) < i (q(m), a) + C . Démonstration. Prouvons : i(q(m),a) < i(rn,a) . Si m est une métrique représentant rn , la mesure transverse du feuilletage 5 ^ , construit comme représentant de q(rn) , est donnée par la métrique m sur les géodésiques orthogonales aux feuilles. Donc, la m-longueur d'un arc est plus grande que sa 3 - - mesure. D'autre part, par définition de la fonctionnelle, la 3 - -mesure d'une courbe fermée de la classe a majore i(q(m),a) , ce qui prouve la première inégalité. Prouvons : i(m,a) < i (q(rn), a) -i- C . On se contente de la prouver sur 1' ensemble dense de V(x , e) , formé des m pour lesquelles le feuilletage 3 - est à singularités simples (tripode) sans liaison entre les singularités ; de telles classes de métriques seront dites génériques. D'après la proposition II. 6 de l'exposé 5, si m est générique, a est repré-sentable par une courbe simple ay transversale au feuilletage 3 _ ; sa mesure 3 _ ( a ' ) vaut i(q(m),a) . On peut, en plus, choisir OL} pour que, pour tout j : card (K . H a1 ) = i ( ~I\ . " , a) . J J En effet, si ce n 'est pas déjà le cas, on a un disque (à bord anguleux) dont le bord est formé d'un arc de a ' et d'un arc de . Chacun d'eux étant transversal au feuilletage, le disque est feuilleté comme sur la figure 3 et l'affirmation est claire. K. J dq Figure 3 Ceci étant, deux courbes isotopes et en position d'intersection minimale avec K sont isotopes par une isotopie laissant X invariant (proposition 12 de l'exposé 3) . Donc a ' est découpé par K en n arcs, où n ne dépend que de a : 144 COMPA CTIFICA TION 1 i i a ' = a 1 U a 2 U . . . U a n , chaque a\ étant un arc essentiel d'un des pantalons de la décomposition, transversal au feuilletage. L1 inégalité résulte donc de celle prouvée, ci-dessous. • II. 2. Lemme. Soit e > 0 . Il existe une constante C ayant la propriété suivante. Pour toute métrique hyperbolique m sur le pantalon P , telle que chaque composante du bord soit une geodésique de longueur > e , et pour tout arc simple j3 de P , allant du bord au bord transversalement au feuilletage 3 - , il existe un arc y , homotope à 0 à extrémités fixes, tel que la m-longueur de y soit inférieure ou égale à 3_ (p) + C . m Démonstration. On regarde séparément chaque type de feuilletage (figures 1 et 2) et on prend la plus grande des constantes. Faisons d'abord le raisonnement pour le feuilletage de l'inégalité triangulaire. On remplace j3 par l ' a rc immergé j8' , ayant les mêmes extrémités, en appli-quant les deux processus figurés sur la figure 4 . p. feuilles / ÔP2 •fi' arc de j3 ÔP2-Figure 4 bq 145 EXPOSÉ 8 On remarque que £' est transversal à 3 - , avec : m r y m ^ et que /31 est proche d'un arc simple. Par construction, 0 ' est formé d 'arc lon-geant le bord et de "diagonales" dans les rectangles feuilletés (étendre la définition usuelle de diagonale d'un rectangle pour inclure les arcs contenant l'origine ou l 'ex-trémité de ¡3 ' , qui ne se trouve pas, en général, au sommet d'un rectangle). On déduit de la topologie que j3 ' contient au plus trois diagonales (chacune parcourue une fois). Par exemple, si ô est la première diagonale rencontrée en suivant /3 ' , alors 6 ^ est nécessairement la seconde et la troisième. Au sortir de , on parcourt le bord d'une façon qui interdit de parcourir de nouveau une quelconque diagonale (figure 5) . d Ôd2 ~Ô1 Figure 5 On remplace chaque diagonale par un arc d'une feuille et un arc du bord ; on construit ainsi fi" avec la même 3 mesure et contenant au plus trois feuilles. On forme enfin y en remplaçant les feuilles par les géodésiques de mêmes extrémités. La longueur de y est la somme des longueurs de ces géodésiques et des longueurs des arcs parcourus sur le bord ; le second terme vaut 3-(/3") = ) > Ia contribution du premier terme est bornée d'après la proposition du § 7 de 1' appendice. Si 5 - est le feuilletage de la figure 2, alors B ' contiendra au plus trois m diagonales (figure 6) ; pour majorer la longueur d'une géodésique joignant les extré-mités d'une feuille du tube , il faut utiliser le corollaire du § 7 de l'appendice. • 146 COMPACTIFICA TION Figure 6 I I .3 . Corollaire. Soit x une suite de V(K,e) tendant vers l1 infini dans 3' . Alors n ' ' ÏÏ(x^) converge si et seulement si ÏÏ o q(*n) converge, et dans ce cas les deux suites ont la même limite. Démonstration. Dire que ÏÏ (X^) converge, c1 est dire qu1 il existe une suite de scalai-res X > 0 , telle que la suite ^ n xn converge. Puisque la topologie de 3" est défi-nie par un nombre fini de courbes y ̂ ,... , on a : Li(x^,y^ +°° et LX i(x ,y.) converge. Donc X •+ 0 . j n n " y to n D ' après II. 1, pour tout a £ ^ , | i (Xnxn,a) - i (Xnq(xn) ,a ) | - 0 . donc ÏÏ o q(x^) converge vers la même limite que ÏÏ (X^) . La réciproque est analogue. • § ni . - LA VARIETE 3* III. 1. Topologie. Sur la réunion disjointe 3" U Pïft3 , on prend comme base d'ouverts, les ouverts de 3" (ouverts du type 1 ), et les ensembles de la forme (3 CIÏÏ (U)) U U (Pin5 O U ) , où U est un ouvert du projectif (ouverts du type 2). Comme ÏÏ~1(U) 0 3" est un ouvert de 3" , l'intersection d'un ouvert du type 1 et d'un ouvert du type 2 147 EXPOSÉ 8 est un ouvert du type T. On vérifie donc facilement les axiomes d'une topologie. Cet espace topologique est noté 3" . Il est muni d'une application continue dans le projectif qui est une injection ; en effet, n injecte 3" (proposition 6 de l'exposé 7) et 77(3") évite Ptft3d'après 1.1 . En particulier, 3" est un espace séparé. La topologie de 3" est à base dénom-brable. III.2. Carte au voisinage d'un feuilletage. Soit f € Plîi3 . D'après le lemme 1 de V.4 de 1'exposé 6, il existe une décompo-sition de la surface en pantalons le long d'un système X de courbes K , . . . ,K .̂ telles que i <F,[K ]> ^ 0 pour tout j , où F désigne un quelconque relèvement de f dans ]R^ (la non nullité est une propriété projective). Soit {K\,K'^} un système de courbes servant à paramétrer 3" avec les (proposition 5 de l'exposé 7) . Soit e > 0 arbitraire. On considère l'ouvert V(.K,e) de 3" (voir II. 1) et l 'ouvert W de PFn3 des fonctionnelles "projectives" non nulles sur les compo-santes de X ; on a TT"1(W)=U(X) (voir 1.3) et 77 o q(V(x , e)) = W . On définit : <p : W U V(X , e) W x [0, + 1 ] par : <p(x) = (x,0) , si x € W , t \ ( t \ - S (i (q(x), K .) + i (q(x), K '.) + i(q(x), K") } . R ... , <p(x) = (ÏÏ o q (x), e VMV J ' y VMV 7 ' y VMV } ' y si x e V(X , e ) . Lemme. 1° W U V(X , e) est un ouvert de 3" . 2° (p est un homéomorphisme sur un ouvert de W x [0, + l) . Démonstration. 1° Soit x 6 W . Supposons que l'ensemble désigné ne soit pas un voisinage de x dans 3* . Alors il existe une suite x de 3" x £ V(X , e ) , telle que TT(X ) tende vers x . Quitte à changer la numérotation et à extraire une sous-suite, on peut dire que i(xn,K1) < e . La suite x^ n 'a pas de sous-suite convergente vers un point de 3" à cause de 1.1. Donc x^ tend vers l'infini. Mais, par ailleurs, il existe une suite de scalaires X > 0 , telle que X x converge vers un feuilletage mesuré f au-dessus de x . On n n n te te en déduit que X^ -+ 0 . Mais alors i(f,K^) = 0 , ce qui contredit x G W . 2° L'application <p est continue en x € W . On vient de voir que si x^ € 3' converge vers x dans 3" , alors x^ tend vers l'infini de 3" . Comme x^ appartient à V(X , e) , d 'après le corollaire I I .3 , la première composante est aussi continue. 148 COM PA CTIFICA TION Pour la même raison, S {i(q(x ),K.)+i(q(x ),K?.)+i(q(x ),Kn.)} tend vers +00 . j n J fi J fi J Donc la seconde composante de <p(*n) tend vers 0 . L'application cp est injective. A priori, le seul défaut d'injectivite ne peut venir que de deux éléments x et y de 3" . Si q(x) = X q(y) , 1 ' égalité des secondes composantefirnpose X = 1 . Mais q est injectif. Remarquons que si <p(x) = (z,t) , alors <p(q (X q(x))) = (z,t ) . Xq(x). dq Iîl3 x d Il existe une section continue a : W •+ Ïîi3? de 77 . Quitte à la multiplier par un sca-laire, on peut la prendre à valeurs dans q(V(K , e)) . La variété cp o q ^ o a(W) est le graphe , dans W x [ 0,+l) , d'une fonction strictement positive définie sur W . Le voisinage de W x { 0} limité par ce graphe est sûrement dans l'image de cp d'après la remarque précédente. L'inverse de <p est continue sur ce voisinage. Vérifions seulement que si (z ,t ) -+ (z,0) , alors ÏÏ o <p (z ,tn) converge vers z dans le projectif. Comme t tend vers 0 , q o <p (zn^n) tend ver s 11 infini. D'après II. 1, <p (z ,t ) tend vers l'infini dans 3". On sait que zn=77 oq o(p"'(zn,tn) converge vers z ; donc 77o^~(zn»tn) a la même limite d'après II.3 . • III .3. On savait déjà que 3" est une variété ; on vient de voir que est une variété à bord, bordée par Piïi^ . En particulier 3" est localement compacte et, comme la topologie est à base dénombrable, elle est paracompacte. Alors, le bord admet un voisinage collier (théorème de M. Brown, voir L1 ] , chapitre 1, théorème 17.4, page 40). Comme Pfn3 est hornéomorphe à une sphère, le bord intérieur du voisinage collier est une sphère plongée dans 1 ' intérieur de 3* , donc dans un espace euclidien ; alors, d'après le théorème de Schdnflies, généralisé par Mazur et Brown ] , ch. 1, théorème 18.2, page 48) cette sphère borde une boule. Finalement, 3" est hornéomor-phe à une boule- En particulier, c 'est un compact ; d'après la proposition 6 de l'exposé 7 et la proposition 1.1 de l'exposé 8, la projection ÏÏ : ]R^- {0} -> PQR^) induit une injection continue de 3* dans P(]R^ ) , qui est donc un homéomorphisme 149 EXPOSÉ 8 sur son image. On a finalement prouvé le théorème suivant. Théorème. L'espace 3" = PIF 3 U £T , muni de la topologie induite par P(]R^) est une variété compacte à bord, homéomorphe à une boule et bordée par Pîîi3 . Si la surface est fermée et de genre g > 1 , ï est homéomorphe à D^g""̂  . Le groupe des classes d'isotopie de difféornorphismes de la surface agit conti-nûment sur 3" , par l'action transposée de l'action image directe sur £ . Remarque. L'action décrite ainsi est l'opposée de celle utilisée habituellement sur les feuilletages mesurés, qui consiste à prendre l'image directe des mesures. REFERENCE [ l ] T .B . RUSHING, Topological embeddings, Academic Press , New York & London, 1973. 150 

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