Vanecek, M.-N.

Numérisation de Documents Anciens Mathématiques

M.-N. VANECEKSur la génération des surfaces et des courbes à doublecourbure analogue à celle de Mac-LaurinJournal de mathématiques pures et appliquées 3e série, tome 9 (1883), p. 269-272.<http://www.numdam.org/item?id=JMPA_1883_3_9__269_0>Article numérisé dans le cadre du programmeGallica de la Bibliothèque nationale de Francehttp:// gallica.bnf.fr/et catalogué par Mathdocdans le cadre du pôle associé BnF/Mathdochttp:// www.numdam.org/ journals/ JMPASURFACES ET COURBES Λ DOUBLE COURBURE. 21H) Sur la génération des surfaces et des courbes h double courbure analogue à celle de Mac-Laurin ; l>AE M. M. N VANECEK 1. En écrivant dans cette Note un polyèdre Ρ de forme variable à η faces, on entend que toutes ses faces F,, F2, .... Fw enveloppent res-pectivement des surfaces développables S,, S2, .... Sw, de classe j,, s.,, ..s,n et que toutes ses arêtes (c'est-à-dire des droites de rencontre de deux faces successives) F,Fa, F2F3, Ffl_,Frt, moins une ( savoir Frt F, ), rencon trent respectivement des courbes C,, C2,..., (ΐΛ_,, d'ordre c,, c.,, ..c„_, ('). Si le polyèdre Ρ varie ainsi, l'arête libre F, Fy< engendre une surface gauche X qui sera du degré ( (l l 2 S | S | « · . i;j Cj · . « C,l . | · On verra que cette formule est vraie pour la surface SA, de classe sk, si elle est vraie pour une droite quelconque D (surface développable de pre-mière classe) remplaçant la surface SA. La droite qui joint le point où la face FA , rencontre la courbe CA._, avec le point où la face FA+I perce la courbe CA, engendre une surface Y de classe y, quand l'arête l1) On entend dans toute cette Noie, excepté dans le dernier alinéa, les lignes à double courbure. 27° VAITECEK. libre F, F„ rencontre continuellement une droite quelconque P. Les plans tangents communs aux surfaces Y etSA donnent les points où la droite Ρ perce la surface X. On peut déterminer la classe y de la sur-face Y comme il suit : On prend une droite quelconque D, et, quand la face Fa l'enveloppe, l'arête libre F,Fn engendre une surface gauche U d'ordre u. Les points où la surface U perce la droite Ρ donnent les plans tangents de la surface Y, qui passent par la droite D. Donc y — u Mais la surface U est la surface X, quand on remplace la surface SA par la droite D. Donc, etc. On démontrerait d'une manière analogue que la formule (u) est vraie pour la courbe CA, quand elle est vraie pour une droite quel-conque D, remplaçant la courbe CA. Au cas où toutes les surfaces S,, et toutes les courbes C,, , sont des droites, la surface X est du deuxième degré. Alors la for-mule (a) est vraie. Tous les plans de la surface SH sont multiples plans tangents d'ordre S,i2 .. ,sfl ,c,.. .cn , de la surface Λ. 2. Si trois polyèdres variables Ρ, Ρ', P" à nt n\ ni' faces ont la pre-mière face commune qui enveloppe une surface dèvelàppable S, d'ordre st, c'est-à-dire F, εξ F', εξ F", et S, = S', εξ S(, les dernières faces F„, F^, F^, se rencontrent en un point qui parcourt une courbe d'ordre (1 ) (b) 3sts.j,..sfis ...stllsis:i.. .Slt„C{· ·.(n ...c/t, ,ct...tft„ (') Cliasles {Aperçu historique, p. seconde edition) indique la con-struction suivante de la courbe du troisième ordre : « Quand les quatre faces d'un tétraèdre mobile sont assujetties à passer res-pectivement par quatre droites situées d'une manière quelconque dans l'espace, et que trois sommets du tétraèdre dohent se trouver sur trois autres droites, placées aussi d'une manière quelconque dans l'espace, le quatrième sommet du tétraèdre parcourra une courbe à double courbure du troisième degré. » Il est évident que celle construction est impossible. Au cas particulier du théo-rème 2, on aura une construction semblable à celle de Cliasles, savoir : Quand quatre faces d'un tétraèdre mobile sont assujetties à passer respective-ment par quatre droites situées d'une manière quelconque dans l'espace, et que SURFACES ET COURBES A DOUBLE COURBURE. 271 Nous ne démontrons pas ce théorème et les théorèmes suivants, parce qu'il suffit d'employer la même voie, comme dans le précédent. 3. En désignant par γ, γ', y" les points où les dernières faces Fw, F),, F„ des polyèdres Ρ, P\ P" rencontrent respectivement les courbes C//f C;„, C*„ d'ordre cn, cn„ cH,t on obtiendra : Si trois polyèdres variables P, F, P" ont la première face commune qui enveloppe une surface développabie S, d'ordre sit le plan 7 y γ" enve-loppe une surface développabie de classe (c) 3sts.j... sHs%.. .χΛ'ί, · · 'frfCi,..cncx.. mCn,cx... cw». 4. En prenant, au lieu de la surface développabie S,, une surface quelconque S, de classe on obtiendra au cas 2 une surface d'ordre (b) et au cas 3 une surface de classe (c). 5. On peut déduire les théorèmes suivants, d'après le principe de dualité des théorèmes précédents. Désignons par γ0 chaque point où la première face F, du polyèdre P, de forme variable à n faces, perce une courbe quelconque C„ d'ordre c0 et par yn chaque point où la dernière face F„ de ce polyèdre rencontre une courbe quelconque C„ d'ordre c„. La droite yQyn remplit une surface gauche du degré (a) 2s^s.j,... c%... cnt quand le polyèdre P varie de manière déterminée. Si les premières faces F,, F',, F, des polyèdres variables Ρ, Ρ', P" se coupent sur une courbe C d*ordre c, les dernières faces Fw, F),., F*„ se coupent en un point qui parcourt une courbe d'ordre (b') 31,. ..sHs\.. .sns]. ,.sn.cct. ..cti_,ct.. .c^c".. .cn»_v trois arêtes situées dans une face F, du tétraèdre doivent rencontrer trois autres droites placées aussi d'une manière quelconque dans l'espace, le sommet où se coupent trois autres faces du tétraèdre parcourra une courbe à double courbure du troisième ordre. 272 VAWECEK. — SURFACES ET COURSES A DOUBLE COURBURE. Et, en remplaçant la courbe C par une surface quelconque C d'ordre c, on obtiendra une surface d'ordre (b1). Lorsque les premières faces F,,F',,F',des polyèdres variables P, P\P se coupent sur une courbe G d'ordre c, le plan 77'7" enveloppe une surface développable de classe (C ) 3$, . "S„St . . -Sn.st . . .îrt»C, . . ... cn,c% .. cn«. et pour une surface quelconque C d'ordre c, au lieu de la courbe C, on aura une surface de classe (c). (L On peut généraliser enfin le théorème du à Mac-Lauriii (') sur la génération des courbes planes de la manière suivante : Si un polygone, de forme variable, se meut de manière que tous ses côtés enveloppent respectivement des courbes C,, (X, C'„ de classe c\ c,. et que tous ses sommets, moins un, parcourent des courbes C,, C2, ..G„_, d'ordre ctc2.. .c„_n le sommet libre engendre une courbe d'ordre 'AC( C., , · . C/tCt<'.t. , . Cu. |. Je 11e connais pas la démonstration du théorème de Mae-I^aurm donnée par lui-même, mais on peut démontrer ce théorème d'une manière analogue à celle de f, en prouvant qu'il est vrai pour une courbe quelconque quand il est vrai pour un point quelconque remplaçant la courbe et qu'il est vrai pour une courbe quelconque ( 'v, quand il est vrai pour une droite quelconque 1), remplaçant cette courbe. ('1 Voir Aperçu historique, etr\. p. i5n. 

Sur la génération des surfaces et des courbes à double courbure analogue à celle de Mac-Laurin

http://www.numdam.org/item/JMPA_1883_3_9__269_0.pdf

Sur la génération des surfaces et des courbes à double courbure analogue à celle de Mac-Laurin

Abstract

Similar works

Full text

Available Versions

Numérisation de Documents Anciens Mathématiques