Mandelbrojt, S.

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S. MANDELBROJTSur les points singuliers d’une série de Taylor situéssur le cercle de convergenceJournal de mathématiques pures et appliquées 9e série, tome 6 (1927), p. 435-439.<http://www.numdam.org/item?id=JMPA_1927_9_6__435_0>Article numérisé dans le cadre du programmeGallica de la Bibliothèque nationale de Francehttp:// gallica.bnf.fr/et catalogué par Mathdocdans le cadre du pôle associé BnF/Mathdochttp:// www.numdam.org/ journals/ JMPASUR LES POINTS SINGULIERS D'UNE SÉRIE DE TAYLOR. 435 Sur les points singuliers d'une série de Taylor situés sur le cercle de convergence ; PAR S. MANDELBROJT J'ai démontré en 1923 (Comptes rendus, mars-avril 1928; Annales de VÉcole Sormule supérieure) le lemme suivant : Si l'on a une série ΣαηχΧη, les λΛ étant tels qu'on puisse en extraire une suite partielle λΛ. telle qu'on ait λΛ.+1 — λΛ< > k, alors y(x) a sur le cercle de convergence au moins k-\-1 pôles ou un point singulier qui n'est pas pôle. Nous avons pu en tirer plusieurs conséquences. En profitant d'un théorème de M. Carlson (Comptes rendus, mai 192/j) nous pouvons énoncer le lemme suivant qui est la généra-lisation du lemme mentionné. Si l'on a ψ (a?) = Σαηχη les au étant tels qu'il existe une suite par-tielle de coefficients a„. {i— 1, 2, . .. ) satisfaisant à la condition lin® ! I a„. I I a„i+x | H- | M — o, alors ψ(#) admet sur le cercle de convergence au moins k-f-1 pôles ou bien elle admet sur un cercle un point singulier au moins qui n'est pas pôle (on suppose le rayon de convergence égal à un) (' ). Ο11 démontre ce lemme en s'appuyant sur le théorème de M. Carl-son dont j'ai fait allusion. En cas particulier de son théorème peut s'énoncer de la manière suivante : Si f(x) à k pôles d'ordre m sur son cercle de convergence de rayon p0 et que les autres pôles sur ce cercle soient d'ordre inférieur à m, il (') C'est M. Mon tel qui a proposé de généraliser mon lemme de cette manière dès que mon Mémoire « Sur les séries de Taylor qui présentent des lacunes » parut. 436 S. MANDELBROJT. y a une constante Β > ο telle que I an | -h... 4- | «rt+A-j | > Bp'j n"l~', En posant p0= i, ce qui ne restreint pas la généralité du lemme, nous pouvons alors écrire (0 | a„ | -H | an+11 -+"··■+ | an+k-1 | > β» même dans le cas extrême (au point de vue de l'inégalité) où tous les pôles sont simples. Donc s'il n'y avait que k pôles on aurait l'inégalité (i), ce qui est en contradiction avec l'hypothèse du lemme. Le lemme est alors donc démontré. Nous pouvons en tirer le théorème suivant : Si l'on a une suite nfi = i, 2, ... ) telle que dans la série Σα,,χ'1 on a (A) lim j | an. | -+-... -h | a„i+k. | { = o, 1ίιηη, = :»; lim/>·,·= ^ (1=1,2,...,). alors la fonction φ (a?) = Σ anx" admet sur son cercle de convergence un point singulier au moins qui n'est pas pôle. On voit en effet que l'hypothèse du lemme démontré a lieu pour k fixe quelconque. Enfin nous pouvons démontrer le théorème général suivant : 0 Si l'on a (A') ' lim J | ani | +... 4-1 d2p «,.+*·,· | j = o, limn/=*>; lim#/=oo (p un entier), et si les modules des an sont bornés {\an \ < M), alors la fonction ψ(χ) = ΣαΛχη de rayon de convergence égal à un ne peut pas être mise sous la forme Q (x) = Q1 (x)/[P (x) 1/p+1 où φ, (χ) admet le rayon-de convergence supérieur à 1, et où Ρ (a?) est un polynome. SUR LES POINTS SINGULIERS D'UNE SÉRIE DE TAYLOR. 437 Je démontre ce théorème d'une manière tout à fait semblable à celle qui a servi pour démontrer un théorème moins général (où l'on suppose : αηι= ο, α„.+1 =o, ..., ^2?ηί+^—°) et que j'ai énoncé et démontré dans ma Thèse (Annales de l'École Normale supérieure, 1923). On remarque en formant la série [<p(^)]2=sbnxn (sur la forme de ces coefficients voirie Mémoire cité) que ses coeffi-cients vérifient également la condition (A') où l'on remplace ρ par ρ — ι, de même les | bn \ sont bornés. En formant successivement les fonctions [?(·*)?·... [Q (x) ]p+1. on démontrera que la dernière fonction F(a?) =[ψ(χ)Ρ^ — 2cnxn, est telle que ses coefficients vérifient la condition (A). Donc cette fonction ne peut pas avoir que des pôles sur le cercle de convergence et alors o(x) ne peut pas être mise sous la forme (B). Je veux enfin démontrer un théorème qui semble être important pour les applications. On sait d'après M. Lindelôf que si l'on a f{x) = 2anxn avec an~ <Ρ(λ) où <p(z) est une fonction holomorphe dans un certain demi-plan et si l'on a | φ(α -i- ρ<?'Ψ | < (£<π), pour II-2 < = y < = II/2 ; alors f(x) est holomorphe pour tout point χ intérieur à l'angle £<θ<2π — θ(οη pose χ — re'0). 438 S. MANDBLBROJT. Noire but est de démontrer la réciproque de ce théorème dans un cas assez général. Voilà le théorème que nous démontrons : Soitf(x) = Σαηχ" une fonction de rayon d'holomorphie égal à un et qui est holomorphe à L'intérieur (et sur la frontière) et l'angle £τ<0<2π — S (£< π), et supposons que f(x) n'a qu'un nombre fini de points singuliers isolés et non critiques, tous situés sur le cercle de convergence, alors on a *«=?(' 0» où f(x) est une fonction entière vérifiant l'inégalité I φ(5) I < e[*+Z]r (z = re1^), quelque soit 1 pour r assez grand. Pour la démonstration rappelons un théorème de M. Feber d'après lequel la condition nécessaire et suffisante pour que Σϋηχα ait un seul point singulier d'affixe 1 est que l'on ait (C) l>n~ g{n) Ou g( ζ ) est une fonction entière vérifiant la condition I « (-) < elr. Nous pouvons présenter la fonction f(x) sous la forme (D) /(*') = f\ix) + MX)+--+MX) où chaque fonction fj(oc) (j = 1, 2, ..., k) n'a qu'un seul point sin-gulier situé sur le cercle de convergence — soit Xj ce point. On a en posant Xj = : (A) β/Ο-En posant fj{x) = la\{)xn, on voit que la fonction fj(x) — Σ a\p x" admet un seul point singulier d'affixe 1. Donc d'après le théorème de M. Faber on a a\p &«**■=. g {n) SUR LES POINTS SINGULIERS D'UNE SERIE DE TAYLOR. 439 où g(z) est une fonction entière avec Ie (Ό I — etr, quel que soit ε pour r assez grand. Considérons la fonction entière ?y(0 = ir(5)e-/fv% on a, en posant « = ,/; 4- iy) (L) I φ;( Ο ί = I g(z)e-*P | = | g{ ζ) | eV< | g{z ) | ΛΙΠ. Donc d'après ( C) l?/(5)l <o^J+î)r, on a comme on le voit ««'= ?/(*)· En posant ?i(s) ■+· 92(s) ■+-'· · + ψ/Λ*") — ?(^)> on voit d'après (D) que l'on a '«« = «λ'Η- <J/4". · .4-a(f;n = φ(/ι\ et d'après (A) on a l9(s) |<e'5+e"·; le théorème est donc démontré. 11 est d'ailleurs évident qu'on peut énoncer un théorème pins géné-ral en ne supposant plus que tous les points singuliers sont situés sur le cercle de convergence. Ils peuvent être situés dans une partie d'une baride circulaire entourant le cercle de rayon un, cette partie étant à l'intérieur de l'intérieur de l'angle précisé. Cette baride étant comprise entre les cercles de rayon R( 1 et R3 1 il suflit qu'on ait : |logll,| + |0y|<& λλ | log Rj j ·+■ Oj I <3 

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