Wolkowitsch, D.

Numérisation de Documents Anciens Mathématiques

D. WOLKOWITSCHÉtude générale et purement géométrique des déplacementsdans les systèmes élastiques à trois dimensionsJournal de mathématiques pures et appliquées 9e série, tome 5 (1926), p. 219-225.<http://www.numdam.org/item?id=JMPA_1926_9_5__219_0>Article numérisé dans le cadre du programmeGallica de la Bibliothèque nationale de Francehttp:// gallica.bnf.fr/et catalogué par Mathdocdans le cadre du pôle associé BnF/Mathdochttp:// www.numdam.org/ journals/ JMPAÉTUDE GÉNÉRALE ET GÉOMÉTRIQUE DES DÉPLACEMENTS. 21 tj Etude générale et purement géométrique des* déplacements dans les systèmes élastiques à trois dimensions (M ; PAR D. WOLKOWITSCH. L'objet de ce Mémoire est d'étudier les propriétés du déplacement infiniment petit en un point d'un système élastique de l'espace. 1. Déplacement en un point d'an système élastique à (rois dimen-sions. Droites nionogyres. — Une force quelconque F, appliquée au point A d'un système élastique, communique à ce point un déplace-ment infinitésimal qui est une viration D ; celle-ci peut être remplacée par deux rotations r, r2 dont les axes sont portés par deux droites con-juguées quelconques du complexe linéaire de droites de moment nui correspondant à la viration; nous écrivons l'équation de ce com-plexe Φ = o. Une force F' également appliquée au point A accomplira, au cours des déformations produites par la force F, un travail dont l'expression sera la somme des produits par r, et r2, des moments de la force F' par rapport aux axes de rotation ; cette expression est proportionnelle à Φ. Si la droite F' appartient au complexe Φ — o, elle produit un tra-vail nul au cours du déplacement dù à la force F. Appelons de même Φ'= o l'équation du complexe correspondant à la force F'. D'après le théorème de réciprocité (Betti), si la droite F' appartient au complexe Φ = o, la droite F appartiendra au complexe Φ' = o. Pour certaines droites F, le déplacement D se réduit à une rotation (*) M. d'Ocagne a présenté à ce sujet deux Notes de l'auteur à Γ Académie, publiées aux Comptes rendus des a jauvier et 5 décembre i()a3. 2 20 I>. WOLKOWITSCH. unique; le complexe Φ = ο est alors spécial et nous dirons que la droite F est monogyre. Définissons la viration parles composantes Imn de la translation, et αβγ de la rotation, /m/* αβγ sont fonctions des coordonnées plucké-ricnnes de la droite F, celle-ci sera monogyre si la relation la -h m β -h ηγ = ο est vérifiée. Les droites monogyres forment, donc un complexe que nous nous proposons d'étudier par la géométrie. Remarques. — 1. Les coefficients de l'expression Φ dépendent seulement de la position dans l'espace de la force F et nullement de son intensité, cela est une conséquence des hypothèses fondamentales de l'élasticité. 11. Supposons les forces FF' appliquées simultanément suivant des droites fixes, et faisons-les varier d'intensité indépendamment l'une de l'autre ; les déplacements du point À pourront etre représentés par deux rotations portées par les deux droites conjuguées communes aux deux complexes linéaires Φ — ο et Φ' — ο; ce sont les deux droites de Schônemann-Mannheim du mouvement à deux degrés de liberté, les deux paramètres étant les intensités des deux forces. 2. Complexe des droites monogyres. — Soient dans un plan V de l'espace deux droites M.r, My. Soient ΦΛ= ο le complexe linéaire correspondant à la force-unité appliquée suivant M.ν et Φν = ο le complexe correspondant à la force-unité appliquée suivant Mr. Soient en outre F une force passant par le point M et contenue dans le plan P, et αβ ses composantes suivant M.r et My. L'équation du complexe correspondant sera Φ K — a Φ ,, -t- 3 Φ ν = ο. Fn faisant varier le rapport ^ nous obtiendrons toutes les droites du plan, passant par le point M; et comme, dans le faisceau décomplexes linéaires déterminé par les deux complexes Φχ et Φ^, il existe deux complexes spéciaux, nous voyons qu'on peut mener dans le plan Ρ ÉTUDE GÉNÉRALE ET GÉOMÉTRIQUE DES DEPLACEMENTS, 22 l deux droites du complexe passant par le point M. La courbe du com-plexe est donc une conique et le complexe est du second ordre. 5. Uyperboloïde adjoint à un plan, à un point. — Traçons dans le plan V une troisième droite Z qui ne passe pas par le point M et rap-pelons qu'un vecteur quelconque F du plan 1? peut toujours être décomposé d'une façon unique suivant les trois cbtés du triangle. Soient αβγ les trois composantes de F suivant M&·, JVby et Z. L'équation du complexe linéaire correspondant à F sera Φ|. ~ &· Φ,<; βφν -t- y Φ - ο, Φ.=:ο représentant le complexe correspondant à une lorce-unitè dirigée suivant la droite Z. Ainsi les complexes relatifs à toutes les forces contenues dans le plan Ρ appartiennent à un réseau de complexes linéaires. Les axes R des complexes spéciaux de ce réseau constituent une semi-quadrique H (M. d'Ocaunk, Couru de Geometric de Γ Ecole / -1ο lytech η iff ti e, G au thier- Vilia rs ). Une droite F' de la semi-quadrique complémentaire rencontre tous les axes de rotation R, le complexe ΦΓ correspondant devra contenir toutes les droites monogyres du plan xMy. Ceci 11'est possible que si le complexe linéaire Φ,,, est special, son axe ρ se trouvant contenu dans le plan. La droite ρ est telle qu'une rotation ayant cette droite pour axe est produite par une force unique; nous dirons que cette droite est mono-dyne. La parfaite analogie existant entre les vecteurs rotations et les vecteurs forces permet de dire que les droites monodynes de l'espace forment un complexe du second ordre. L'hyperboloïde II est dit adjoint au plan. Comme les vecteurs passant par un point ρ de l'espace peuvent se décomposer suivant trois directions fixes quelconques passant parce point, on voit qu'aux droites monogyres passant par le point ρ corres-pondent des droites monodynes constituant une semi-quadrique A, et que les génératrices de la semi-quadrique complémentaire sont des droites monogyres dont les droites monodynes correspondantes se Journ. de Mathtome V. — Fa sc. 11, îy'iG. 29 2 ΊΊ P. WOLKOWITSCII. trouvent sur un cône de second degré de sommet />, et qui est le cône relatif à ce point dans le complexe des droites monodyncs. La quadrique h est dite adjointe au point p. Λ. Congruence des droites à la fois monodynes et monogyres. — Les cônes des deux complexes, de sommet ρ, ont quatre génératrices communes, et les deux coniques des deux complexes d'un plan Ρ admettent quatre tangentes communes; les droites à la fois mono-dynes forment donc une congruence du l\v degré et du 4'' ordre. l>. Points et plans singuliers. — Considérons une droite D, de la congruence; la droite monogyre F et la droite monodyne 11 qui lui correspondent forment un plan P, puisqu'elles appartiennent à deux semi-quadriques complémentaires. La quadrique Q, adjointe au plan P, admet donc la droite 1), comme génératrice commune aux deux systèmes. Cette quadrique est donc soit un cône, soit un système de deux plans. Dans l'un ou l'autre cas, il existe, dans le plan P,, trois droites monogyres au moins qui cor-respondent à trois axes de rotation se coupant deux il deux ; par con-séquent toute droite du plan P, est monogyre. Le même raisonnement montrerait que toute droite du plan P, est également monodyne. On peut voir en outre que si la quadrique Q, dégénérait en un système de plans, ces deux plans seraient confondus; comme consé-quence, l'intersection de ce plan double avec le plan P,, droite mono-gyre, couperait l'axe de la rotation qu'elle produit. Une force appli-quée suivant cette intersection accomplirait donc un travail nul, ce qui est impossible, car ce travail est positif : c'est le Iravail de défor-mation du système élastique. La conséquence de cette impossibilité est que la quadrique Q, est un cône, nous appellerons son sommet p{. Toute droite de l'espace menée par/), est elle-même monogyre, car une force agissant suivant une pareille droite peut etre remplacée par ses trois composantes suivant trois droites fixes auxquelles corres-pondent trois axes de rotation contenus dans le plan P,. Ainsi le pointest un point singulier, le plan P, un plan singulier ÉTUDE GÉNÉRALE ET GÉOMÉTRIQUE DES DÉP2ACEMEXTS. 323 des deux complexes des droites monogyres et des droites monodynes. Toute droite passant par le point />, est monogyre et monodyne, et Taxe de rotation et la force correspondants sont contenus dans le planP,. (>. .Ellipses d'élasticité. — Considérons deux forces F, F2 du plan P, ; II, Ra les deux axes de rotation correspondants, qui passent par le point/>, et ont pour traces sur le plan P, les points /·, et /·,. A la résultante F des deux forces F, Fa correspond la rotation R résultante de R, etlE, et dont la trace /' sera un point de la droiter1r2 Faisons varier le rapport nous obtenons un faisceau de droites F correspondant à des points r en ligne droite. La correspondance est homograpliiqne et le théorème de réciprocité transforme celte homo-graphie en une involution puisque si le point /*se trouve sur une force F' le point r' devra se trouver sur F. Les points doubles de Fin volution sont imaginaires puisqu'une force ne peut rencontrer l'axe de la rotation qu'elle produit. Il existe donc dans le plan P, une conique telle que les points /' et les droites F correspondantes soient pôles et polaires par rapport à cette conique. Celle-ci ne peut avoir de points réels, pôles des tangentes correspondantes, et situes sur ces dernières, ce ne peut donc être qu'une ellipse imaginaire dont l'équation réduite a la forme — 4- ̂  -h ι = o. Les points r et les droites F sont anlipôles et anlipolaircs par rapport à la conique conjuguée — -h — ι = ο qui est réelle. Dans les systèmes à plan de symétrie sollicités par des forces conte-nues dans ce plan, cette dernière ellipse Ε est l'ellipse de Ritter, le point/>, se trouve alors à l'infini sur la normale au plan P,. Le même raisonnement, transformé par dualité, permettrait de définir une deuxième ellipse E', par rapporta laquelle les droites R du plan P, et les traces/des forces correspondantes F, qui passent par le point pn sont antipôles et antipolaires; nous avons rencontre cette ellipse dans les systèmes à plan de symétrie sollicités par des forces normales à ce plan (Technique moderne, septembre 1922), et l'avons appelée ellipse d'élasticité transversale. 22^ D. W0LK0W1TSCII. Appelons p., p3p% les antipôles doubles des deux ellipses EF/, chacun d'eux est un point singulier du complexe. Considérons en effet une force F passant par et soit p» / la trace sur le plan P, du plan/>,F. On peut remplacer F par ses composantes suivant ρ,/λ, et p >i, A la composante correspond une rotation dirigée suivant ρ,ρ, et à la composante p.,i correspond une rotation passant par p, et con-tenue dans le plan ρ, p3p, ; les deux rotations se coupent et la force F est monogyre, on verrait aussi qu'elle est également monodyne par un raisonnement identique. 7. Tétraèdre fondamental. — Nous avons démontré l'existence de quatre points singuliers, il ne peut y en avoir d'autres. Ces quatre points forment le tétraèdre fondamental des deux complexes qui sont tétraédraux. Chaque face contient deux ellipses analogues à F et K' et peut être choisie pour l'étude des déformations du système. Une force dirigée suivant une arête du tétraèdre produit une rota-tion dirigée suivant l'arête opposée. Ce tétraèdre devient un prisme pour les systèmes à plan de symétrie, les arêtes de ce prisme sont normales à ce plan. Dans les trois faces normales au plan de symétrie, les deux ellipses sont conjuguées par rapport aux triangles des sommets correspondants dont l'un se trouve à l'infini sur la normale, elles ont donc un axe commun. Une fois connu le tétraèdre fondamental, l'étude des déformations du système sera très simplifiée car une force peut toujours être remplacée par six forces dirigées suivant les six arêtes d'un tétraèdre, etque l'on connaît la rotation produite par chaque composante. 8. Remarque. — Nous avons admis au paragraphe 5 que les droites FR étaient distinctes, mais elles pourraient être confondues en une droite D2 appartenant elle aussi à la congruence. S'il en est ainsi, la quadrique adjointe à un point q{ de D, admet la droite D, comme génératrice double, elle dégénère soit en un cône, soit en un système de plans. Si c'était un cône de sommet q' (point de Da) la droite q' q{ rencon-ÉTUDE GÉMÉR.VLE ET GEOMETRIQUE DES DÉPLXCEMENTS. 22 5 trerait Taxe de la rotation qu'elle produit, nous savons que c'est impos-sible. La quadrique est donc composée de deux plans qui se coupent sui-vant la droite D2. Quand le point q se déplace sur D,, les deux plans se correspondent homographiquement; aux deux plans doubles cor-respondent deux pointsqui sont les points singuliers conjugués des plans doubles. On définirait de même deux points, ^^4 de la droite Da qui sont les deux autres sommets du tétraè^re^ioncfamental. 

Étude générale et purement géométrique des déplacements dans les systèmes élastiques à trois dimensions

http://www.numdam.org/item/JMPA_1926_9_5__219_0.pdf

Étude générale et purement géométrique des déplacements dans les systèmes élastiques à trois dimensions

Abstract

Similar works

Full text

Available Versions

Numérisation de Documents Anciens Mathématiques