Mandelbrojt, S.

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S. MANDELBROJTLa recherche des points singuliers d’une fonction analytiquereprésentée par une série des puissancesJournal de mathématiques pures et appliquées 9e série, tome 5 (1926), p. 197-210.<http://www.numdam.org/item?id=JMPA_1926_9_5__197_0>Article numérisé dans le cadre du programmeGallica de la Bibliothèque nationale de Francehttp:// gallica.bnf.fr/et catalogué par Mathdocdans le cadre du pôle associé BnF/Mathdochttp:// www.numdam.org/ journals/ JMPAPOINTS SINGULIERS D'UNE FONCTION ANALYTIQUE. *97 La recherche des points singuliers d'une /onction analytique représentée par une série des puissances ; PAR S. MANDELBROJT l'avis). i. Par analogie avec un théorème de AL Hadamard concernant la détermina lion des singularités d'une fonction analytique représentée par l'expression ex) = j /<)9 ̂  j~ = iαΛbn.t\ en connaissant les singularités des fonctions /("-)— «fo -r <fi - H- S* -t- .. . et ? ( ** ) — "+" b\ * C-â -4- . . ., Ilurwitz a démontré le théorème suivant : La fonction <l) V(jc)= Γψ(ϊ));(.Γ - -Ο t/r, = y ^ + ,3,„«o 111=0 =Jilmi χ»*+1 ' OÙ (*) ψ(Λ.) = ̂  + ίΐ+... et (3) $(.*) = &+£·+.... Journ. de Math., tome Y. — Fasc. II, 15-26. 26 ι<)8 S, MANDKLBROJT. admet comme seuls points singuliers possibles les points d'affixes α 4- β, si les points singuliers de ψ(.*?) sont les points d'affixes α et ceux de la fonction ξ(α;) les points d'affixes j3. ψ(νΐτ) et E(,r) sont donc supposées régulières à l'infini, et la fonc-tion F(a?) l'est alors également. Fixons la fonction ?(.,·)= î" + âi+.... Une fonction ψ (a?) régulière à l'infini, quelconque d'ailleurs étant donnée, nous désignerons l'opération (i) par Ρ(.Γ) = Τ[ψ(.ι·), l.Mi 2. L'opération Τ peut être considérée comme une généralisation du procédé qui correspond à la transformation d'Euler effectuée sur la série entière 0z— oc(*oc, 0 ocso1 -t~. «. · En effet, on sait qu'en posant y= z/z-1 on a '4) = _ ( A0 -h A1 χύ ν H- ... H- A*ae y* 4-... ) = _ ( A0 -h A1 χύ ν H- ... H- A*ae y* 4-... ) οιι Δ*α„ est la kiim différence par rapport au coefficient a0 dans la suite OC,. OC,, 3Câ, « . , , c'est-à-dire l'égalité suivante a lieu : Α*Λ0=«λ.—CiaA._,H- Cl «Λ—Î-K . .=ta0. D'autre part, on voit qu'en posant (5) ;(«*) = ̂  - ~i -+- Ja — · « ·*= ξι F*)» POINTS SINGULIERS D'UNE FONCTION ΛΝ.VIATIQUE. *9î) on a diaprés la formule (i) 1 L y ( Λ" )) Il ( «·*) .1 — .c'"+1 * *mà .νΛ"*" 1 * m = ο n — 0 Fti posant dans (ι) et (5) .r = £» on voit que par l'opération Τ on est conduit dans ce cas, en prenant H (a?) = *i(a-)> à associer à la série (G) Λ0ζ -t- α,ζ5-!-... la série Λ° «o C + A' a0... = ζ ( A° *0 -h Λ1 at0 ζ' π-... ) qui est, à un facteur sans importance près, de la même forme que la série qui constitue la partie droite de la formule (4). Ces considérations permettent de voir que les résultats obtenus en appliquant l'opération Τ seront beaucoup plus précis grâce au théo-rème de Ilurwitz. 3. Nous supposerons le rayon de convergence de la série (6) égale à un, c'est-à-dire que nous supposerons que la fonction ψ(;ν) est régu-lière à l'extérieur du cercle de rayon un, elle admet au contraire sur ce cercle un point singulier au moins. Pour e2(x) = B0/x + B1/x2+..; nous prendrons toujours une fonction qui n'admet qu'un seul point singulier d'aftixe — ι dans le plan tout entier. On sait, d'après un théorème de M. Faber, que la série (3ft«) β^-βι^+β*:»-... (qui n'a, alors, dans tout le plan qu'un seul point singulier d'affixe i) est telle qu'on peut trouver une fonction entière avec (7) I^OK*8" (1-1 = '·), s étant donné, pour r assez grand, pour que l'on ait (8) (3„_— £·(«-Η). 200 S. MAXDKI.mt0.1T, La réciproque est d'ailleurs, d'après cet auteur et d'autres, égale-ment vraie; c'est-ù-dire que de (7) et (8) il résulte que (3 bis) repré-sente bien une fonction n'ayant pour singularités que le point d'allixe 1. 4. Nous posons alors e2 (x) = B0/x + B1 /x2+.. avec β„=^(« + l) 7=0 (« — Ο, I, 2, . . .), £'(s) satisfaisant à la condition (7). Comme on l'a remarqué pour l'opération II(9,/) (qui correspond au théorème de M. lladamard, mentionné au début) remarquons que si l'on a <p(.r) — o,(.r) -h os(.r), on a aussi (9) ;(»*·)] = Ί,[?ι(»0' -H ;(a·)]. Il est aussi très facile de démontrer le lcmme suivant : Lkmmk 1. — 9(^0 " <* qu'un neufpoint singulier d\tffixe α,, la fonction T[o(.r), H(.r)] admet le point (Tuffixe a, — 1 comme point singulier. En elîet, d'après le théorème de llurwitz, c'est le seul point singu-lier possible. S'il n'était pas singulier, la fonction Τ serait régulière dans le plan tout entier (l'infini compris), elle serait donc constante, et d'après (1) on voit qu'on aurait Tt?(·**)» >.(>r)] —o, et encore d'après la même formule (1), on devrait avoir «11=0, «t=o. ..., x„~o {η — ο, ι.λ, ...); le lennne est donc démontré. Il résulte du lcmme 1 et de (9), le lemme 11 : Lomr. II. — «$/ z>([x) n'a qu'un nombre fini de points singuliers non critiques d'à/fixes a,, aa, .... ax, 1rs points d'afjixes a, — 1, aa — 1, ..a* — 1 sont des points singuliers de la fonction T[9(.r),;a(.t·)]. POINTS SINGULIERS D'UNE FONCTION ANALYTIQUE. 201 Dans les hypothèses du 1cmme, on pourra présenter <p(x') sous la forme ?(Ό = ■+" ?:'(><·)+·" + ?*(·*·')> οίι φ,(.*;)(/ = ι, 2, ..., A) n'a qu'un seul point singulier d'afiixe a,. La formule (9) qui est aussi vraie pour un nombre quelconque de termes |'o(.r) = pi(>c) + ©aC*') ~*~ · * ?*(,r) j°in,e au lemme 1 suffit pour conclure le lemme 11. iî. LMIME III. — Désignons piir £&(·*') une fonction n'ayant qu'un seul point singulier d'affixe 6,<3(| £ | = Désignons par y0/x y1/x2+ .·. = T[9^(.r), ;,(.*·)]. .Hors la fonction Κ(δ) définie par V égalité Κ (<3) — Κ (Sr) r- Κ ( — 3r) = li m v| /,f! | = liin' \f | /,7·*' | est une fonction constamment, croissante de la rariable δ pour ο S ϋu En désignant par P(o) = P(rhS-) le point d'afiixe u*'* et par Ρ, (δ) = Pa(rh .θ) le point d'afiixe e*'* — 1, on voit immédiatement que 1Μ<5,)υ > i\(ôa) ο si 0, > Sa, car OP s1 p1 d1> 0Ρ(Χ)Κ(3Γ) |: d'autre part, la quantité K(± S) représentant le rayon du cercle en dehors duquel la fonction T clv xku·)] est régulière, et le point P,( — S) étant un point singulier de cette fonction (d'après le lemme l) et le seul point singulier (d'après le théorème de Hurwitz), on voit que la conclusion du lemme a lieu. 202 S. MANDKLBROJT. On voit en même temps que Ιί(±π) = 2 (*), 6. THÉORÈME I. — Soit (À) Î(c) rr (l04- fli-+ (t*z* . , . une séjûc de rayon de convergence égal à un. Si $(5) η a des points singuliers que sur ce cercle (elle est donc régulière à l'infini)) la quantité (10) φ = arc cos ) avec Κ = yn |, OU y». = ««.+»*( ι) — G„,amg{^) + ...±axg{ni + i)} g(z) étant, une fonction entière satisfaisant à la condition 1*0)1 <eS'"' représente un argument d'un point singulier. Comme cas particulier, on a le théorème : THÉORÈME I bis. — Dans les conditions du théorème 1 la quantité cp — arc cos I 1 — 1 > avec Κ = Λ"α, I, où Δ"α, est la n'hltl' différence de la suite a{ · · « <1 (') Donc la remarque de M. Lindelof (pour le cas considéré) (Comptes rendus, 28 février 1898) d'après laquelle le point d'affixe 1 est singulier si lim 1 = - 3 ~y|*"«ol « entre comme cas particulier de nos considerations si Ton se borne au seul cas traité. POINTS SINGULIERS D'UNE FONCTION ANALYTIQUE. 2θ3 par rapport à Γ élément a, représente un argument d'un point sin-gulier (c est-à-dire qu'un des deux points β*" est un point singulier). Démonstralion des théorèmes I et I bis : Posons dans (A) _ I " cc et désignons par 7t(a?) = £(*)--α0 = ̂  -h ̂  + .... Considérons d'autre part la série E2 (s) = g1/c - g2/c +.. La série Τ[π(·«), Ε,(Λ·)] = & + & H-..., avec y,n~ «m+ié'O ) — CÎ„awl£(a) -K . ,± «iff (»IH- i), est régulière à l'extérieur du cercle de rayon Κ K = liœ7|yml· et elle admet sur ce cercle au moins un point singulier. SoitK*?'0 un de ces points singuliers. D'après le théorème de Hur-witz, et d'après ces hypothèses, la fonctions (α;) doit admettre un point singulier qui vérifie l'égalité e'?— ι — Kc^; ou alors b^ [< 0080-1-1 = 005 9, ( K.sin0 =sincp, d'où l'on tire immédiatement f Ki\ <p = arc cos ( ι — J · L'un des deux points e** (ou tous les deux) est un point singulier de (Λ?), el aussi de la fonctionf(z) Si l'on sait qu'un des deux points e** est un point singulier, alors il n'y a plus de difficultés pour discerner lequel de ces deux points l'est. ûo4 S. MANDELB110JT. Par exemple, pour que <?+,? soit singulier il faut et il suffit qu'on ait lim'(/| rt0—c', 4-—. . .±«„6'"^-?) = 2 (>). THÉORÈME I. — Si${z) iCa qu'un nombrefini de points singuliers non critiques tous situes sur le cercle de rayon un, le point d'af-fix e e±i!f, où ο est déterminé de la manière indiquée précédemment, est le point singulier le plus rapproche du point d'affixe — 1. Soient β,, β2, ..., β* les affixes des points singuliers de la fonc-tion ̂ (r)j^donc les points singuliers de §(z) sont les points d'affixes^ > 1/b2 1/bk On peut écrire ,-?(.f)=/i(.r) + /«(.*·)-κfk x fi{x) admettant le point d'affixe β, comme seul point singulier. En adoptant l'écriture β,= **.· (/=>, ». k) supposons que l'on ait (12) ΡΙΝ^Γ'Ι^Γ- · ·Ί"Α·1· On a d'après les lemmes 1 et II Kd^D-Kd^h-.-v^dSr,!). Il résulte du lemme 11 que lv(|S,|) est le rayon de convergence de T[tï(:f), 5a(a*)], c'est-à-dire que cette fonction restant régulière à l'extérieur du cercle de rayon Κ.(|5;·|), elle admet sur ce cercle un point singulier au moins (d'affixe e~ià· —· 1), c'est-à-dire E( 1 Sj |) = κ = Uiu \/1 7',;f511 = lim \/ |·/„ |, les γ„ étant les coefficients de la série TF x ; e2 = y0/x + y1/cx2 (>) l oir LINDIÎM'IK, Comptes rendus, février ]>)iîh ou UniNiisiiKiM. Comptes rendus de Munich, 1912. L'aualogue résulte aussi du théorème I bis. POINTS SINGULIERS D'UNE FONCTION ANALYTIQUE. 2θ5 Le point e~i5' étant précisément obtenu par (B) on voit d'après (12) que le théorème est démontré. [Il se peut que soit symétrique de c'5' par rapport à l'axe réel, c'est-à-dire que les points et e5> soient tous deux des points sin-guliers de ê(-).] 8. Grace à ce dernier théorème si £(3) n'a qu'un nombre fini de points singuliers, tous non critiques et situés sur le cercle de conver-gence, alors on peut de proche en proche calculer les affixes de tous ces points. Ceci résulte de la remarque simple suivante : Si, ν étant un nombre entier, on considère les points d'afiixes 2ιπ i.iiv: 2 η in sis''-1 —ΐ)ι'π (i3) e2"", .... ..., e ^ , il est clair que quel que soit l'ensemble fini de points a?,, Α·α, donné à l'avance et situé sur le cercle de rayon 1, on peut choisir un entier ν et un autre entier q(q < 2V41) tels que le point x\t) par exemple, soit de tous les points ..., χ m lépointle plus approché 5 ii/π du point er' '1. En effet, en désignant par ί 0 x 1 ) 0 vi «, · · · > Α·\) >£ les distances comptées par les arcs du cercle de rayon 1 entre le point it·,, et les points #2, ..., xh successivement, et en désignant par S la plus petite de ces distances, il n'y a qu'à prendre y > 1 + log ^ car alors on aura π 2V_1 < d. On peut alors trouver un entier q{ tel que, $ étant la distance entre a?0 et xS} on ait que sur l'arc soient situés les points 2 iny,π 2ι'(ί/ι+ΐ)π e 'r'+l et e · Journ. de Math., tome V. — Fasc. II, 192G. 27 2θ6 S. MANDKLRROJT, s'7i-l'un de ces points, par exemple e 2V+I, est plus près de que de le 2qiu point .t*u est alors le point singulier le plus rapproché du point e2Vt" . En désignant par .c0 = on voit que pour la fonction (i l) rf(v) e ^ »v \r -K. r 1 2V Λ,ηΗ-.., 'V*~ '/-j = <70+a„e * Η-rt„e +'" avec (<7s<2v+l) le point d'affixe eK ·' est le point singulier le plus voisin chi point — ι. Ce point sera alors obtenu parla formule (10) appliquée à la série (i4)· C'est-à-dire après un nombre liai d'opérations qui correspondent successivement aux nombres ν = ι, :ι, ..., ρ et en prenant pour chaque ν tous les entiers correspondants <y^2v'H on finit par déter-miner l'affixe du point e v *v , on peut de même tout de suite discerner lequel des deux points est un point singulier. De môme après un nombre fini d'opérations ou aura déterminé les affixes de tous les points singuliers. Π faut évidemment connaître à l'avance le nombre de points sin-guliers, pour ne plus continuer l'opération une fois les affixes de tous les points singuliers déterminés. On voit, d'ailleurs, que de la même manière on pourra déterminer les affixes de tous les points singuliers isolés non critiques (en suppo-sant que tous les points soient situés sur le cercle de convergence). 9. C'est ici qu'il convient de placer la démonstration d'un théorème qui porte, il est vrai, un caractère différent des considérations précé-dentes, mais qui se relie facilement à ces considérations par la démonstration. D'après un théorème d'Eisenstein, une série entière à coefficients rationnels (là) A0 At Asss 4-... qui représente une fonction algébrique jouit de la propriété que l'on POINTS SINGULIERS D'UNE FONCTION ANALYTIQUE. 207 peut trouver un entier Ν tel que les quantités Α,,Ν" soient des nombres entiers. La réciproque n'est évidemment pas vraie. Il suffit, en effet, d'après le théorème déjà classique de M. Fatou, de changer le signe d'une infinité de coefficients d'une série jouissant de la propriété telle que les A,tN" soient entiers, pour que le cercle de convergence de la série ainsi obtenue soit une coupure; donc la fonc-tion représentée par cette nouvelle série, bien qu'elle jouisse de la propriété mentionnée, n'est pas algébrique. Dans le cas où tous les A„ sont des entiers, on connaît le théorème de M. Carlson : ou bien la série (i5) admet le cercle de convergence comme coupure, ou bien elle représente une fonction rationnelle de la forme l(z) / 1-z où Ρ (a;) est un polynome et où ρ et q sont des entiers positifs. Nous allons démontrer le théorème que voici : Si(i5) est une série à coefficients rationnels, tels que l'on puisse choisir un nombre Ν pour lequel les quantités A0, A,N, ..., A;A"S ... soient des entiers, et que la fonction représentée par cette série soit régulière à l'extérieur et sur la circonférence du cercle de rayon ^ et de centre T F OM, en particulier, si cette fonction est régulière à l'extérieur du cercle de rayon et de centre 1^, alors cette fonction est de la forme n=) (1-5)»' où Ρ (χ1) est un polynome, et oà η est un entier positif. Pour la démonstration, posons dans (3) βΜ=Ν«(-ι)«, 1 ο8 S. MXNDELBROJT. c'est-à-dire qu'oïl a F(x) = A1 /x a2 N2 / x2 +.. et dans(2) Λ„=αΛ+ιΐ\"+1, c est-a-dire qu on a F(x) =F(x) = A1 /x a2 N2 / x2 +.. On aura alors pour (1) T[ !·(·«·), «(x)]=2.^î avec ( 16) y„ = (ffjN)N" - G), (Λ, N#) N—1 -4-... rt (Ν» ) Ν. D'après les hypothèses du théorème la fonction F(x) = A1 /x a2 N2 / x2 +.. est régulière à l'extérieur et sur la circonférence du cercle de centre IV et de rayon 1, et d'après le théorème d'Hunvitz la série F(x) = A1 /x a2 N2 / x2 +.. est régulière à l'extérieur et sur la circonférence du cercle de centre zéro et de rayon un. D'autre part, d'après les hypothèses et d'après (16) on voit que les γ sont des entiers. On a donc lin* ν' I y η 1 = 0 < ι ; donc limyrt= o, et comme les γΛ sont des entiers, il en résulte qu'il existe un entier ntl tel que l'on ait γη= ο pour η >*«. On a donc, d'après la formule (4), F(x) = A1 /x a2 N2 / x2 +..F(x) = A1 /x a2 N2 / x2 +.. et l'on a Ao-h A,; + Ao+ sl\psP l— (7~r^ï + 09 — [7~7yi et le théorème est démontré. POINTS SINGULIERS D'UNE FONCTION ANALYTIQUE. 2°9 10. Il résulte de ce théorème en particulier que si l'on désigne par S la distance du point 1 au point singulier (') le plus éloigné de lui, on peut écrire (17) 1/N+1 N-1 + 1 c'est-à-dire en supposant que toutes les singularités sont assez rap-prochées du point 1, et si l'on suppose l'existence des points singuliers autres que celui d'affixe 1, on obtient une limite inférieure pour la quantité N, dont l'existence pour les fonctions algébriques résulte du théorème d'Eisenstein. Car si l'on suppose que (17) n'a pas lieu, il résulterait du dernier théorème que la fonction en question n'a qu'un seul point singulier d'afiixe 1. 11. On peut tirer du dernier théorème des conclusions qui se rapportent aux nombres transcendants. Je l'ai fait dans une Note aux Comptes rendus de Γ Académie des Sciences (février 192G). L'énoncé du théorème étant compliqué, je veux ici reproduire un cas particulier plus net de ce théorème, sans reproduire la démonstration (qui est donnée dans la Note citée). Je remarque seulement, comme je l'ai fait à la page 199, que si une fonction entière g (s) croit moins vite que e2|îl alors la fonction repré-sentée par la série Eg nxn n'a qu'un seul point singulier dans le plan tout entier. THÉORÈME. — Soit ζ un nombre donné. Supposons que Von puisse faire correspondre à tout polynome Q(.r) _ A0+ A ! χ + kpx>' à coefficients entiers et de degré ρ quelconque, une fonction (l) Le point singulier à l'infini doit aussi être considéré. aïo S. MANDELBROJT. — POINTS SINGULIERS D'UKE FONCTION» entière g(z) croissant moins vite que telle que si l'on écrit 6(Λ?) = Q(iv)5^(n)a?,,H = ^4- 6»« + . ..4- 6pap, R(.r) = 4- /vv+,.. + bpXp désignant fa partie principale du pôle à Γ infini de- la fonction Q(»u), on a que les quantités cnk" (η = ο, i,...) sont des entiers, A' <*'/««/ «/* entier convenablement choisi, «/ors /«? nombre ζ os/ transcendant» Nous retiendrons sur les séries de Taylor encore une fois, dans un Mémoire de ce même Recueil» 

La recherche des points singuliers d'une fonction analytique représentée par une série des puissances

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