Hermite

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HERMITESur quelques formules relatives au module dans la théoriedes fonctions elliptiquesJournal de mathématiques pures et appliquées 2e série, tome 9 (1864), p. 313-320.<http://www.numdam.org/item?id=JMPA_1864_2_9__313_0>Article numérisé dans le cadre du programmeGallica de la Bibliothèque nationale de Francehttp:// gallica.bnf.fr/et catalogué par Mathdocdans le cadre du pôle associé BnF/Mathdochttp:// www.numdam.org/ journals/ JMPAPURES ET APPLIQUÉES. 3i3 SUR QUELQUES FORMULES RELATIVES AU MODULE DANS LA THÉORIE DES FONCTIONS ELLIPTIQUES; PAR M. IIERMITE Extrait des Comptes rendus des séances de l'Académie des Sciences, t. LVII, séance du 21 décembre 1863. Les expressions en produits infinis des fonctions elliptiques, savoir : îKt: 1 2V^sin,z(i—1<]2 C0S2.T -+- q') (1—27s cos ix q') (1—2ç6 C0S2.Z -j- qn). . . Sill atn ^ ^ 2q C0S2Xq2) (l— 2e/5 COS2.T -+- q") (1 — iq* COS Ι χqiv). .. 2K.J jfj<y, y η COS.K (l+ 2 q2 COS2X + Ç() (1+ 2 q' COS 2 X ~4~ <?' ) ( I 4" 2 q" COS 2 X + q12) . . . π V ^ ί1 — 2q COS2X q2^ (I — iqz C0S2a; -+- q6) (i — 1qh COS2.r q"). . . 2K1 (1 + 2.7 CQ5 2X-+- g2) (1 -+- 2y3 COS237 + gs) (r -+- 2g·5 cos2,r g"). ■ ■ 7Γ (i 2Ç COS2.r-f-çj2) (l— 2 q2 COS 2 X -+- q6) ( I 2 q2 COS 2 X -+- ι?10) . . . donnent immédiatement, pour la racine quatrième du module et de son complément, des fonctions uniformes à l'égard de la variable ω définie en posant q — e"™1. C'est ce qu'on voit dans les Fundamenta, § 36, où sont établies ces relations : II = r/2 lia (, + 7')(' + 9<)(l'+9')-·- . (, + 7')(' + 9<)(l'+9')-·-ilk' — (' —?)(' ——95)··· (' + ?)(' + ·73) C1 -+" ?5)··· ' ou encore sous forme entière y k = V'a · \!q [( t + q*) (1 4- q" ) (ι + qa ). · -]3 [(1 - q ) ( ' - q* ) (1 - q* ) ·. -], [(ι + q*) (ι + q") (H- q'). ··][(> ~ ?) (' - f) ~ <f )· ■ ■]'■ Tome IX (2E série). — Septembre 1864. . 4o 3x4 JOURNAL DE MATHÉMATIQUES Mais cette conséquence importante ne résulte pas des développements sous forme de quotients de séries des mêmes fonctions, savoir : 2K1 1 zjqsmx— 2 i/o9 sin 3x -+-2 J qK sin 5x .. π \jk 1 COS2X-H lqiCOSL±X— 2ÇS COSOuT—|—. . -2li.x j k! 2 i/q cos a: -|-2 t/q" COS 3 x -4- 2 t/q^ cos5-r-+-... . 2Ka ΓΓ, 1 -+· 2σ C0S2a· H- 2(74 COS^X+ 2O9C0s6.r -t-,.. 7Γ * I — 2q COS2ar -i- 2qi cos4ar—2 q3 cosoar H- ... car c'est seulement alors la racine carrée du module et celle de son complément qui sont données en fonction de q par ces formules a \j g + a ^V-(-2 y/iy" +... /P — 1 — 29 + 3y' — 27» + · . . I -+- 2 q -+- 2 g1 2çs -1-. . . Dans cette Note, je me propose d'établir, pour sinamx, cosama·, Aamx, de nouveaux développements en série de sinus et de cosinus, analogues aux précédents, mais qui donneront aussi bien que les pro-duits infinis les racines quatrièmes de k et k' comme fonctions uniformes de la variable ω. On en déduira, en effet, ces fornmles remarquables, où le signe ̂  s'étend à toutes les valeurs positives et négatives de η : si2 .yq^ï'™" sjk ' qin*+n \k = ■ » 2 (—1n2 V'2 ■ jq ^ Vif = — ' iy _ g,a,+" sjk ' ^(— O" 9-8 sjk' = . 2 (—1 _ Σ(— sjk' = ' Σ»" PURES ET APPLIQUÉES. 315 et auxquelles Jacobi est déjà parvenu dans son Mémoire intitulé : Uher unendliche Reihen, deren Exponenten zugleich in zwei wer-schiednen quadratischen Formen enthalten sind, en les déduisant des produits infinis en q rapportés plus haut. Les propriétés si importantes auxquelles donnent lieu ces quantités y A' et qk', lorsqu'on y. rem-place ω par ^7^5 a, b, c, détant des nombres entiers assujettis à la condition ad—be = 1, résultent de ces formules, et peuvent être établies, comme j'espère le montrer, d'une manière simple et facile. I. Pour abréger l'écriture, je conviendrai de désigner les quatre fonctions θ(^), H(^), par 9{x), Ô, (χ), τη (χ), rj, (χ), de sorte qu'on ait, en mettant en évi-dence la quantité ω dont il a été question tout à l'heure : 0(x, ω) = ι -+- 2çcos ix H- iqkcoi,[\x — iq1 cosôx +..., 9,(x, ω) = ι 4- ι q cos a x-\- 2q* cos4x + 2 q" cos 6 χ ..., η (χ, ω) = a y q sin χ — a \:qa sin 3 x -+- a y t/25 sin 5 a: —..., 73,(χ, ω) = 2 \'q cos χ + 2 yq" cos3χ + 2 \'q2S cos Sx .... Cela posé, la transformation du second ordre donnera ces deux sys-tèmes de relation : !2θ2{χ,ω)= y/ï +k Q ^x, ^ + y;i —kô, ^.r, J | 2$\(χ, ω) = ^x, -f- y'i —k$ (x, ̂  J y/7^' | 2V72 (x, co) = [\J1 + k 0 ^x, ̂  — y i—k 0, (x, ̂  J \J~ , I 2-n\{x, ω)= [y'i + Ar0,(x,^ — y'i -kO (χ, ̂  ]\/~' 40.. 3ι6 JOURNAL DE MATHÉMATIQUES θ[χ, ω) S,(x, ω) = sjk'ô (j«, 2ω) y—' Yj(x, ω) Y],(x, ω) = \jk' -η[aχ, 2 ω) y/— » u(ar, w)0(ar, ω) = ̂  ^ y/^. I ω) 0,(λτ, ω) = y^x, ̂  \J~-> ÎTt { \ Λ \ e ^ \Jkk' ( 6) + i\ /2R îtî Ι Υΐ,(χ, Ω) Θ (Λ·, Ω)= -—rti[x, y/V ' et c est le second dont je vais iaire usage comme il suit : Considérons, par exemple, le sinus d'amplitude: on aura 2K1 1 vi (χ, ω) ι ν) (χ, ω) 0, (.ν, ω) π y/7 θ ω) y/7 θ (λ, ω) θ, (χ, ω) Or, en employant la première et la cinquième de ces relations, on ob-tiendra de suite ίπ ( ω-4-ΐ\ π y/2 \jk 9(2«, 2Mj ou bien, s»n am -— = y_r —γ— 5^— , et le même procédé de transformation, appliqué à cos am et Δ am ——, donnera les résultats que voici 2Κλ. g 8 « {*, , fol! 12 ?M,+"sin ι)χ·. yi2yk 8(«, 2«) yk I 2R, , >μ' JI· ^v?2^cosi4« + i)* Ι 2Κλ. l4 "■ (·*> 7) ^y2"i+"cos(4/i-hi)^ \ '1 ri—2—) Zu(~ i)"?'"i+"™s(4" + »)■*· PURES ET APPLIQUÉES. 3i7 et, en second lien, -ô- 1/2 J/o3 V ç8"+,"sin (8«-t-2).r ~ ^ η, (j, 0> \ ^ ( l)"9s",+" COS(4« + l)x ce, «m— = ^τ,-~— - ' 2Κχ ~¥ —*\Χ,0~ζ~) __2(_ I)"?2"i+"sin^" + 0* 1 —J ^ g2",+" sin (4« +i)x Tels sont donc les modes nouveaux de développements des fonctions elliptiques, qui manifestent immédiatement que les quantités \j k et y'A' sont des fonctions uniformes de ω. Il suffit en effet de poser χ = ο dans les deux dernières équations du premier groupe pour obtenir 4 - e~T (°' ^ ~ y/2 6(0,20.) ^(-OV'5 _1Ξ i0'^) 2(~T)"g2"'+" c'est-à-dire deux des formules rapportées plus haut d'après Jacobi, et dont les autres se tirent aisément, comme nous le verrons bientôt. Quant aux équations du second groupe, elles donneraient, en prenant le rap-port des dérivées, deux termes pour χ = ο, \/b y/73 y {kn+ Γα» = — —, 2(4« + i)(— I)"72"'+" _ Σ(4» + ι)92"ΐ+" y A'3 = , (4«+·!)(— 3ι8 JOURNAL DE MATHÉMATIQUES les signes ̂  s'étendant, comme précédemment, aux valeurs positives et négatives de n. Mais ces nouveaux développements n'ont pas seulement pour objet de conduire à ces conséquences, que je devais donner principalement en vue de l'étude des quantités \jk et \!k'; j'en indiquerai encore un usage dans la question suivante : II. La dérivée de sinama? étant exprimée par V;(i — sina ain.-r) (i — k2 sin2am.xj, il est naturel de se demander si les combinaisons suivantes des facteurs du radical λ (x, k) = \J[i 4- sin Amx) (r -+- k sin mux), λ, (x, k) = V(i + sin ainx) (ι — A:sin amtrj, représenteront aussi bien que cosam^ ==v/i—sin2am.r et Aamjc = \Jι — k2 sin2 am a; des fonctions uniformes de la variable. Or, en désignant par a une racine quelconque des équations λ(α?) = ο, λ,(.τ) = ο, on recon-naît aisément que les développements λ (a -+- ε), λ, (a 4- ε) commencent par un terme proportionnel à ε, de sorte que d'après les principes connus [*] on peut assurer déjà que ces fonctions sont uniformes. On trouve en effet, par exemple, M Tr \ , r ν/1·—ésin'ams—cosamsAams et la quantité sous le radical est une fonction paire de ε, qui s'annule avec cette variable. Mais il reste à trouver leur expression analytique, et on y parvient d'un manière facile comme il suit. j Changeons k en ^ et χ en (14- k')x, en employant la formule Γ, 1 — kΠ (ι 4- k') sinamxcosami [*] Voyez l'ouvrage de MM. Briot et Bouquet sur les fonctions doublement pério-diques. PURES ET APPLIQUEES. 319 on trouvera λ[(ι + K)x, = —-— <J ι — k2 sin4 am χ -+· ι sin am χ cos am χ A am χ, λΗ [(ι +Α·')χ,-|^7 = —-— \Ι ι — ik2 sin2 am χ -+- A2 sin* am χ + 2 A7 sin amxcosamxAam.r. Or il arrive que les quantités sous les deux radicaux sont des carrés parfaits, à savoir : (cosamar -+- sin anuAamx)2 et (A'sinamjc + cos amx Aam.r )2 de sorte qu'il vient simplement λ ( ι -t- A; ) χ, — = sin am χ -+- = sin ami -+- sin coainjc. λ, 11 + A: )x, 77 = cos ami Η = cosami + cos coam.r. Posons encore avec Jacobi ίόν — ^ μ ι Ké2) = —-—K, ces quan-tités désignant ce que deviennent k et K. par le changement de </ en n2 ou de ω en a ω, et mettons -— au lieu de.r : on aura ^ Γ4κ.(2)# ; ,.i . 2K# . 2ic# .. Γ4Κ(2,λτ /(2,Ί 2K# 2ic# C'est à ce moment que nous ferons remarquer l'avantage des nou-velles formules 2K# e 8 "{*' 2 ) 2K# I 4 jk' "'(Χ'2) car elles donnent, avec le même dénominateur, smcoam = - » p, cos coam = — \/~ -1 320 JOURNAL DE MATHÉMATIQUES de sorte qu'ayant, comme on le vérifie de suite, ri Ur, c*> H— i U\ (*.ï±i) = V3. V (χ, = ) + «,(*, £ ) = on en conclut, en remplaçant χ et ω par ^ et an'-d-n : /ζΚ&· Λ Ι_ΗΤ,4)_ cos(4^-0(—) ^ π ' \/&t_ θ \/&ι_ (— l)"ç"*C0S2/Z.r <'* /77" „ /a·® —t ω + 3 Y 2n'+n 4/ζ 3 ,V/?2(—1)"î 2 cos(4«-hi) V 2 (—τ )* g"1 cos 2/m: Dans ces formules, et désignent ce que deviennent le module et son complément par le changement de ω en -> et ont pour valeur b 3 ^ /-' 1 h Sous forme de séries simples, on aurait \ (ï*± + K A - W3 y/g , ,„g"cos(4/»- + i)^ xliM + K:k) = zJEiiy (-

Sur quelques formules relatives au module dans la théorie des fonctions elliptiques

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