Lejeune-Dirichlet, G.

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G. LEJEUNE-DIRICHLETSur la possibilité de la décomposition des nombres en trois carrésJournal de mathématiques pures et appliquées 2e série, tome 4 (1859), p. 233-240.<http://www.numdam.org/item?id=JMPA_1859_2_4__233_0>Article numérisé dans le cadre du programmeGallica de la Bibliothèque nationale de Francehttp:// gallica.bnf.fr/et catalogué par Mathdocdans le cadre du pôle associé BnF/Mathdochttp:// www.numdam.org/ journals/ JMPAPURES ET APPLIQUÉES a33 SUR LA POSSIBILITÉ DE LA DÉCOMPOSITION DES NOMBRES EN TROIS CARRÉS; PAR M. G. LEJEUNE-DIRICHLET. Journal de Crelle, t. XL, p. 228. TRADUIT DE L'ALLEMAND PAR M. J. HOLEL. La théorie de la décomposition des nombres entiers η qui ne sont pas de l'une des formes /jA', 8A + 7 en trois carrés sans diviseur com-mun, est l'une des plus compliquées de l'arithmétique transcendante, lorsqu'on veut développer cette théorie complètement, c'est-à-dire, non-seulement démontrer la possibilité de la décomposition, mais en-core déterminer en même temps le nombre de toutes les décomposi-tions possibles, nombre qui peut être exprimé, soit, comme Gauss l'a fait voir le premier [*], au moyen du nombre des formes binaires de déterminant — /2, soit encore indépendamment de ce nombre [**]. U y a cependant des cas où il suffit de supposer la possibilité de la dé-composition, comme cela a lieu, par exemple, dans la démonstration donnée par-Cauchy [***] et simplifiée depuis parLegendre, pour le théorème de Fermât relatif aux nombres polygonaux, démonstration qui s'appuie seulement sur ce que tout nombre, à l'exception de ceux qui ont été précédemment exclus, est la somme de trois carrés. Il semble donc qu'une démonstration simple de la possibilité de la dé-composition n'est pas tout à fait dépourvue d'intérét. Nous allons en exposer une dans la présente Note. [*] Disq. Arith., art. 229. [**] Journal de Crelle, t. XXI, p. i55. [***] Exercices mathématiques, parCauchy, 2e année, p. 9.65. Tome IV (2e série), — JUIN 1839. 3o s34 JOURNAL DE MATHÉMATIQUES On a besoin d'abord, pour cela, de cette proposition connue, que toute forme ternaire positive de déterminant —i, c'est-à-dire toute expression telle que (i) ax3 + by3 -+- cz3-h ia'yz + ab'xz -+- ic'xy, dont les coefficients sont des nombres entiers satisfaisant à l'équation (a) aa'3 + bb'3 -+- cc'3 — abc — a a' // c' = — i, et soumis en outre aux conditions que a, b, c, be ~ a'3, ac — b'3, ah — c'3 soient positifs (conditions dont la'première et la quatrième entraînent d'ailleurs les quatre autres), est équivalente à la forme (3) χ3 + γ3 -t- ζ3. Il suffit, pour démontrer cette proposition, de se convaincre que, pour le déterminant — i, l'expression (3) est la seule forme réduite positive. Si la forme (i) est une forme réduite, alors, en vertu de la proposition démontrée à la fin du précédent Mémoire, abc ne doit pas être plus grand que a; d'où, si l'on suppose aSb<e, il résulte immédiatement a = b = ι. Mais comme d'ailleurs,par la définition des formes réduites, a c' et ib'. absttaction faite du signe, ne doivent pas être plus grands que a, ni ia' plus grand que b, il vient a' = b' = c' — ο et, par suite, en vertu de l'équation (a), c = i. Gela posé, la possibilité de la décomposition du nombre positif a sera établie, dès qu'on aura trouvé une forme ternaire positive (i) de déterminant — ι dont le premier coefficient soit a. En effet, une telle PURES ET APPLIQUÉES. a33 tonne étant équivalente à la forme (3), celle-ci peut être transformée dans la première, et il vient a — α2 + a'2 a"2, a, a', a" étant trois des neuf coefficients de la substitution et ne pou-vant avoir aucun diviseur commun, parce que chaque terme du dé-terminant formé avec ces neuf coefficients contient en facteur soit a, soit a', soit a", et que ce déterminant est égal à l'unité. Tout revient donc, en considérant a comme donné, à satisfaire à l'é-quation (2) au moyen de cinq nombres entiers b, c, a', b', c', qui doi-vent en outre être assujettis à la condition que bc — a!2 soit positif, lin prenant b' = 1, c' = ο, l'équation devient b = a A — 1, où l'on a posé Δ = bc — a'2, et il ne reste plus qu'à faire voir que l'on peut choisir le nombre po-sitif Δ de telle sorte que — Δ soit un résidu quadratique de b = a A — 1, puisque, dans cette hypothèse, on peut toujours déterminer c et a' de telle façon, que l'on ait a'- — bc = — Δ. Nous allons maintenant faire voir que la condition dont nous parlons peut toujours être satisfaite au moyen d'une valeur impaire de Δ, et que pour cette valeur, si a est de la forme l\k -t- 2, b — a Δ — ι de-vient égal à un nombre premier impair p, tandis que si a est impair sans être de la forme 8A1 + 7, b est égal au double d'un pareil nombre premier p. En commençant par le second cas, nous avons l'équation 9. ρ = rt Δ — ι, où nous ne supposerons pas encore tout d'abord que ρ soit un nom-bre premier, mais seulement un nombre impair. En posant Δ — 81 —1~ s, 3o.. 136 JOURNAL DE MATHÉMATIQUES ε étant égal à l'un des nombres i, 3, 5, 7, on voit immédiatement que, dans chacun des quatre cas que peut présentera relativement au divi-seur 8, Δ admet deux formes relativement au même diviseur, ou bien s admet deux valeurs, lorsque p doit être impair, comme nous le sup-posons. Pour chacun des huit cas qui se présentent ainsi, appliquons la loi de réciprocité au premier membre de l'équation © = (ΐ)· laquelle résulte de ip — a A — i, et où la notation de Legfendre est employée avec la signification plus étendue introduite par Jacobi ; rem-plaçons ( —par sa valeur connue et multiplions ensuite par (©) = *'· où l'on connaîtra aussi le signe de ± r, d'après la forme linéaire que ρ aura dans chaque cas particulier. On obtient ainsi les résultats sui-vants : ί Δ — 8ί + 3, ρ — 4-f + ι ? (——) — + 1 s a = 8k + ι, V P ' [Δ = 8ί + 7, p = 4λ + 3, = — i, I Δ — 8f ι, ρ — 4ί+Ι> ("JT") — + ' > a = 84· + 3, < N p ' i Δ = 8i + 5, ρ = 4^~ρ3, ^ = -t- r, ί Δ — 8ί -+- 3, ρ — 4î + 3, (~r~)— + L a = Sk-h5, < _ ' Ι Δ = 8ί + 7î p = l\s + \, —ι, ί Δ = 8ϋ + ι, ρ — Î\s + 3, = — ι» a = 8k + 7, < /\ [Δ = 8ί+5, ρ =ζ Î\s + Ι , ί—-j = — ι. On voit que si l'on n'a pas a == 8/e -4- 7, la condition = 1 Peut PURES ET APPLIQUÉES. ■ι'$η toujours être satisfaite. Mais aussi dans chacun des huit cas ρ peut être un nombre premier, comme cela ressort de l'expression ρ = a A — 1 ) — l\at ^(αε — 1), dans laquelle ^(«£ — 1), d'après le choix de ε, est impair et, de plus, sans diviseur commun avec a. Cette expression est donc le terme gé-néral d'une progression arithmétique qui contient nécessairement des nombres premiers. Si l'on a maintenant un nombre premier ρ pour lequel ^—-j soit = τ, alors — A est résidu quadratique de ρ et par suite aussi de 1 p. c. Q. F. D. Dans le cas de a pair, nous poserons de suite η — [^k + 2, parce que l'on sait d'avance que, pour a = Î\k, la condition ne peut être remplie. Puisque, dans l'équation ρ = a A — 1, nous supposons Δ impair, ρ est donc de la forme 4·? + 1, et l'on a (ΐ) = (!) = (f) = (?)· Il faut donc donner à Δ la forme 41 ~+- 1 pour que ^—-j devienne = r. On obtient ainsi ρ = 4 at + a — 1, expression qui peut encore être un nombre premier, auquel cas — Δ est résidu quadratique de p. L'application du procédé que l'on vient de développer n'est pas res-treinte au cas du déterminant — 1, et nous allons encore en donner un second exemple pour le déterminant — 3. En cherchant encore, comme précédemment, les formes réduites appartenant à ce déterminant, la condition abc*:6, a38 JOURNAL DE MATHÉMATIQUES dans l'hypothèse de a^bSc, donne pour a la valeur i, tandis que b peut être = ι ou = a. Maintenant <id et 2b' ne pouvant être numé-riquement plus grands que a = 1, il s'ensuit que b' — c' — o, et l'équation d'où l'on doit tirer le déterminant se réduit à a'% — bc — — 3. Ûr 2 a' ne pouvant être non plus > b numériquement, on a donc, pour b — 1, a' — o, et par suite c = 3. Si au contraire b — 2, on a alors m' —ο ou χ a' — ± n. La première de ces valeurs ne satisfait pas à l'équation précédente dans laquelle ùc>4· H ne reste donc qu'à supposer a' = ± 1, d'où résulte c = 2. En négligeant le signe inférieur, ce qui revient à un simple changement de signe de z, on obtient les deux formes ré-duites (J?2 + j2 + 3Z2, ^ I ar2+2y2 + 222 + 2jz, de sorte que toute forme ternaire positive (τ) de déterminant — 3, c'est-à-dire dont les coefficients satisfont à l'équation (5) aa'2 -h bb'* -t- cc'2 — abc — %a!b'c' — — 3, sera équivalente à l'une des formes (4). En cherchant maintenant les résidus que donnent les expressions (4) par rapport au diviseur 8, lors-que dans ces expressions on donne aux éléments ar, jr, ζ toutes les combinaisons de valeurs paires et impaires, à l'exclusion du seul cas de trois valeurs paires simultanées (puisque nous supposons tou-jours les éléments sans diviseur commun), on trouve que la pre-mière des formes (4) donne tous les résidus possibles relativement au module 8 , tandis que la seconde expression n'admet pour aucune combinaison ni l'une ni l'autre des formes 8# + 5, 4k. Si l'on consi-PURES ET APPLIQUÉES. dère en outre que deux formes équivalentes représentent toujours les mêmes nombres, on en pourra conclure immédiatement que si une forme de déterminant — 3 représente un nombre 8â + 5 ou» 4 A (ce qui arrive toujours lorsque l'un de ses trois premiers coefficients, b par exemple, est un nombre de cette espèce), cette forme n'est pas équi-valente à la seconde des formes (4), et qu'elle l'est par conséquent à la première. Pour démontrer maintenant que le nombre donné a peut être re-présenté par la première des formes (4), en procédant alors comme ci-dessus et posant derechef dans l'équation (5) b' = ι, c' = ο, Δ = be — α'2, il ne reste plus qu'à établir que le nombre positif Δ peut être déterminé de telle sorte, que b = αΔ — 3 prenne la forme 8 A 5 ou 4k, et que — Δ soit en même temps résidu quadratique de b. Nous nous restrein-drons ici aux nombres a qui n'ont avec Je déterminant aucun facteur commun, c'est-à-dire qui ne sont pas divisibles par 3. Si l'on pose Δ = 8 Δ', Δ' devant être impair et non divisible par 3, alors b sera premier avec Δ' et de la forme 8 A H- 5, et nous n'aurons plus qu'à remplir l'autre condition. De l'équation b = 8 a\' — 3, résulte immédiatement (r)=m ou, en remarquant que b~ ι (mod. Δ), et appliquant les propositions connues, omines] Eu multipliant par (ï) = (î)=-24ο JOURNAL DE MATHÉMATIQUES on en tire ~(y> et l'on voit que la condition \~r)— 1 est satisfaite lorsque l'on fait Δ' = 61 — ι et, par suite, b — !$ at — 8 a — 3, Or comme évidemment cette dernière expression peut devenir égale à un nombre premier, il est donc démontré que tout nombre non divi-sible par 3 peut être représenté par la forme χ2 + J* + 3 z2, de telle sorte que x, jr, ζ n'aient aucun diviseur commun. Des consi-dérations analogues peuvent s'appliquer aux nombres divisibles par 3, la possibilité de leur représentation étant soumise à une condition fa-cile à apercevoir; elles peuvent également s'appliquer aux nombres qui peuvent être représentés par la seconde des formes (4)· 

Sur la possibilité de la décomposition des nombres en trois carrés

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Sur la possibilité de la décomposition des nombres en trois carrés

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