Lebesgue, V.-A.

Numérisation de Documents Anciens Mathématiques

V.-A. LEBESGUENote sur la résolution de l’équation du quatrième degrépar les fonctions elliptiquesJournal de mathématiques pures et appliquées 2e série, tome 3 (1858), p. 391-394.<http://www.numdam.org/item?id=JMPA_1858_2_3__391_0>Article numérisé dans le cadre du programmeGallica de la Bibliothèque nationale de Francehttp:// gallica.bnf.fr/et catalogué par Mathdocdans le cadre du pôle associé BnF/Mathdochttp:// www.numdam.org/ journals/ JMPAPURES ET APPLIQUÉES. NOTE SUR LA RÉSOLUTION DE L'ÉQUATION DU QUATRIÈME DEGRE PAR LES FONCTIONS ELLIPTIQUES; PAR M. V.-A. LEBESGUE, Professeur honoraire de la Faculté des Sciences de Bordeaux. Après avoir montré que l'équation du cinquième degré peut être résolue par les fonctions elliptiques, M. Hermite a donné des formules pour résoudre par les mêmes fonctions les équations du quatrième degré dont l'invariant quadratique est nul. 11 se présentait donc un problème important, du moins théoriquement, celui qui consiste a trouver pour une équation du quatrième degré dont l'invariant qua-dratique n'est pas nul, une transformée pour laquelle cet invariant fût égal à zéro. M. Hermite a indiqué dans les Comptes rendus du a4 mai 1858 une solution savante et très-générale, mais qui parait en-traîner des calculs assez longs. L'objet de cette Note est d'indiquer une solution effective, fort courte comparativement. Mais néanmoins quand on voudra trouver en nombres les valeurs des racines, c'est toujours à la formule des éléments qu'il faudra recourir. PROPOSITION 1. — Si dans une équation (') ( f (se) — aQxm 4- ma, xm * -+- 7 ^ a3,xm"i ■+■.... ' -+- mam_, χ -+- am = o. on pose χ = y h d'où ',2) f(y) = bQ γ'η -l- mb, ym~K -+- g '* b2y'nTl -+-— mbw_,y-f- bm— o. 39* JOURNAL DE MATHÉMATIQUES • on aura b0 — a0, b, — a0 h -+- ût, b2 — a0 h2 + 2 a, h -4- a3, — aQ Λ® —|— 3a^ h? -f· 3a3h ■+■ a3^ bt = aQh* + k* -+- Qaffi2 -t- l\axh ■+■ at, ........................... C'est la conséquence immédiate de la substitution. PROPOSITION II. — Si dans l'équation (i) on pose αυ χ -f- a, = X, on aura (3) Xm + Sf.^7').A, Xm-2 -4- m[m I I^(3—^ AsXm-s +... H- A,„ = o, e/ les fonctions A3,AS,..., Am c/fii coefficients au, a,, a3,..., amne changeront pas quand on remplacera a0, a,, a2, etc., par b0, bt, b2 , etc. Si l'on faisait disparaître le second terme de l'équation (a), l'in-connue Y = b0j -t- b, serait b0f-1- b, — a0(x — h) ·+- a0k + a{ = a0x + α, = X, on retrouve donc l'équation (3), d'où la propriété énoncée pour les fonctions Aa, A3, etc. Dans le quatrième degré, l'équation (3) devient X4 + 6A2X2-+-4AaX + A4 = o. et l'on a A, —1 UQ a 2 — a , A3 — a-la3 — 3a0at a2 + ia\, A4 == a\ah — as "+" ^aaa\a2 — 3a* —' îIQ a % — l\a, a3 -t- 3 af — 3 ^ a§ a3 — af . PURES ET APPLIQUÉES. 393 or a0a4 — L\aK a3 4- 3a\ ~ I est ce qu'on nomme l'invariant quadratique. On a α;ΐ = A44-3A*. Cet invariant reste donc le même pour l'équation en jr. Il en sera de même de l'invariant cubique J — a0a2at -+- 2a,a2a3 — aaa\ — a4a\ — a\, parce que l'on a al J = A2 A4 — Ag — A®. PROPOSITION III.—L'invariant quadratique de l'équation aux carrés des racines de l'équation a0 χ* 4- 4«4 -+- Ga2x2 4-4a3x -h a4 = o, ou, ce qui revient au même, en posant χ2 = u, de l'équation (a0u3 -t- 6a2 u 4- α4)2 — 16« (a, u 4- a% )2 = C0u4 4- 4C, u3 4- 6Cana 4- 4C3 u 4- C4 = ο est égal à |(ialrt| — 36Ja2 4- I2). C'est le résultat du développement de l'invariant C0C4 - 4C,C3 4- 3Cl. PROBLÈME. — Étant donnée l'équation a0x* 4- 4atx3 4- 6a2x3 4- f\asx + at~ ο dont l'invariant quadratique n'est pas nul, trouver une transformée hQ f4 ■+■ kbi jr3 + 6è2-/s 4-4^/4-^ = 0 dont l'invariant quadratique soit nul. •Toroe Ul (3e série). —NOVEMBRE I858. 5o 3 94 JOURNAL DE MATHÉMATIQUES Solution. — Il faut poser d'après les propositions précédentes d'où ι al b\— 36 Jù + l2 = o, b2 = a0 h2 -+- 2a, h -h ^ ^3 J :+: V^3 — 27^3^· On reconnaît ici la même fonction de I et de J qui se présente dans la< solution de M. Hermite ( Comptes rendus, p. g65). Ayant h, on connaîtra les coefficients de l'équation en u = j2 = {x- ky, et par suite y et x. Dans la pratique il faudrait fixer le choix de la valeur de h, mais ce qu'il y a de plus court sera toujours l'emploi de la formule des élé-ments. Il est bien évident que c'est au point de vue théorique qu'il faut fconsidérer la belle découverte de la résolution des équations des cinquième et quatrième degrés par les fonctions elliptiques. 

Note sur la résolution de l'équation du quatrième degré par les fonctions elliptiques

http://www.numdam.org/item/JMPA_1858_2_3__391_0.pdf

Note sur la résolution de l'équation du quatrième degré par les fonctions elliptiques

Abstract

Similar works

Full text

Available Versions

Numérisation de Documents Anciens Mathématiques