Lebesgue, V.-A.

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V.-A. LEBESGUEDémonstration de l’irréductibilité de l’équation auxracines primitives de l’unitéJournal de mathématiques pures et appliquées 2e série, tome 4 (1859), p. 105-110.<http://www.numdam.org/item?id=JMPA_1859_2_4__105_0>Article numérisé dans le cadre du programmeGallica de la Bibliothèque nationale de Francehttp:// gallica.bnf.fr/et catalogué par Mathdocdans le cadre du pôle associé BnF/Mathdochttp:// www.numdam.org/ journals/ JMPAPURES ET APPLIQUÉES. ι o5 DÉMONSTRATION DE L'IRRÉDUCTIBILITÉ DE L'ÉQUATION AUX RACINES PRIMITIVES DE L'UNITÉ ; PAR M. V.-A. LEBESGLE Une racine de l'équation x" — ι est dite primitive quand toutes ses puissances ρ, ρ2, ρ2,·.·, ρ""', ρ"= ι sont différentes et composent la suite complète des racines de l'équa-tion x" ■=■ ι. Cela arrive par exemple quand on prend p = p ζζζ COS h SUl V — 1 . La puissance ρν· est encore racine primitive si α est premier à /i, mais cela n'arrive pas dans le cas contraire, car si â diviseur de η divisait aussi «, on aurait alors {?«)* = I. Si l'on pose η = pa qb rc■... les nombres p, q. r, etc., étant premiers et différents, et y (κ) = ρΡ-· (ρ — ι)/-* {q - Q·.·, les racines primitives seront en nombre φ («), et l'équation aux ra-cines primitives sera F (x) — o. La règle pour former le polynôme Fix) à coefficients entiers est Tome IV (2* série), — MARS 1859. *4 ιο6 JOURNAL DE MATHÉMATIQUES bien connue : on peut la voir dans les Exercices de M. Cauchy, an-née 182g. L'irréductibilité de l'équation F ( Χ) = Ο assez facile à établir pour η — ρ et η = pa, le nombre ρ étant supposé premier, paraissait l'être beaucoup moins pour le cas général. En 1854 M. Kronecker a donné la démonstration complète dans le t. XIX du Journal de Mathématiques, en employant, pour obtenir des théorèmes plus généraux, la théorie des nombres complexes formés avec les racines de l'unité. Depuis, M. Arndt (Journal deCrelle, t. LYI, p. 178) a donné une démonstration plus courte. En cherchant à éclaircir sa Note, dont la seconde partie est rendue obscure par une faute d'impression qui ne se découvre pas immédiatement, j'ai complété une démonstration commencée depuis longtemps et que le Mémoire de M. Kronecker m'avait semblé rendre inutile, La voici cependant; elle est assez facile à suivre. Ce n'est qu'une modification de la démonstration de M. Arndt. PROPOSITION I. — Soit F (λ:) = ο Γ équation aux racines primitives de Véquation xn = ι, de plus η = paqb rc..., 0 («) = pa 1 (ρ — 1 )q6~t (q — 1)..., comme il a été dit plus haut, et η — ρ" η' : on aura, en posant χ"1' = 1, ρ = F (.r').G(.r'), et, pour ré — 1, p = F(i), PURES ET APPLIQUÉES. 107 la caractéristique G indiquant une fonction de χ à coefficients entiers comme F, et qui se réduit à l'unité pour η' — 1. Quand η renferme plusieurs nombres premiers différents^ on a tou-jours F (Ï) = 1 -Ν. B. Cette dernière partie n'étant pas nécessaire pour la démons-tration de l'irréductibilité, sa démonstration est omise. PROPOSITION II. — Si l'équation F (χ) = ο est réductible, on aura F (a:) =/; (x)f{x)...f{x), les polynômes irréductibles Ji(x) à coefficients entiers étant tous de même degré. PROPOSITION III. — La proposition / montre que la décomposition supposée dans la proposition II est impossible ; de là résulte l'irréduc-tibilité de l'équation F [x) — 0, quel que soit l'exposant η. Voici la démonstration de la proposition I : On a f n\p—\ / n\p— 2 " (a) ——- = \χΡ) + wc" ) xp-h ι ~ F(x). G (χ). ■τΡ — ι Pour η — pa, on voit, par ce qui précède, que G (Χ) = 1. Ainsi, pour χ = 1 on a, dans ce cas, D = F(I). En général, si x'n = I ou x'f" = I, il en résulte x'P — I, et, par conséquent, l'identité (a) donne p = F{x').G(x'). 14.. ι o8 JOURNAL DE MATHÉMATIQUES La démonstration des propositions II et III dépend de théorèmes bien connus. Si de l'équation à coefficients entiers f {oc) = xm -+- Aoc'"-' + ΒΛ:"2-2 + . . .+ M = O, où les racines sont α, β, γ, . .., on passe à l'équation de même degré $ [x') = x'm -+- A, x'm~K + Β, x"n~2 -+- ... -+- M( = o, où les racines sonta*, (3A, γ,·.., k étant un entier positif, les coefficients A,, B(, C,,..., M, sont entiers. Cela suffit pour établir la proposition II ; mais pour la proposition III, il faut ajouter que si k = pa,le nombre ρ étant premier, les coefficients A,, B(, C,,... se changent, en supposant A', B', C',... entiers, en A-t-pA', B-i-pB', C-t-pC'...; de là, en posant xp" = x', on a l'identité [b) f{x') + pty{x') = §{x') où, ce qu'il faut remarquer, ty{x') est aussi bien que f{x') une fonc-tion entière à coefficients entiers. Démonstration de la proposition II. Admettons que l'on ait FW =/{χ)Μχ)···ίΛχ)ι les différents facteurs^/j· (x) étant irréductibles et à coefficients entiers. Soit f/(x)= (x- pK) (x- pi?)· · · et fk{x) = {x - f') {x - f) ... ; ρ étant une racine primitive, et α, β,.. ., a', β',. . . des nombres pre-miers à τι. Si le degré def{x) surpasse celui deyA(,r), en posant aj ~ hn + a', et passant de l'équation f{x) = ο à l'équation {xJ) — o, on chan-gerait le polynôme fi [x) en un autre de même degré ayant le facteur x — p*~, et il s'ensuivrait que ft (x) pourrait se décomposer, ce qui est contre l'hypothèse. Il se trouve donc prouvé que les facteurs ft (x) sont nécessairement de même degré. PURES ET APPLIQUÉES. ion Démonstration de la proposition III. Si d'abord on suppose n = pa, et que l'on ait F(*) =/«(*)/2(*)· ■■/»(*). on trouvera f {x') -+-p<\>{{x') = $, {.χ'), d'après l'équation (b); or ici xH = i, $i(x') devient une puissance de χ' - ι et s'annule pour χ' — r : ainsi f1 (I) = - p y1 (U) ; en multipliant membre à membre toutes les équations semblables, on aura, en posant (— χ y ψ, (ι) ψ2(ι)... ψ„(ι)= Ψ(ι), l'équation F(I) = /.T(I) et, par suite, ι = /-.Ψ(.); ce qui est impossible, Ψ (ι) étant entier. Quand on a η — ρ q , l'équation transformée gi [χ') = ο n'a plus toutes ses racines égales à l'unité; mais comme pour avoir (xp")m=î il faut prendre m multiple de η' [η — pa . ή), l'équation £■(*')= (x' ~ papa)... = ο a pour racines seulement des racines primitives de x'" = I ou x",b = I . Or l'équation qui donne les racines primitives de l'équation x'^ = ι est irréductible ; il faut donc que l'équation §i (x') = ο I JO JOURNAL DE MATHÉMATIQUES les contienne toutes; ainsi, en représentant l'une d'elles par x', on aura nécessairement, en vertu de l'équation fl{x')+p^i{x')^êi{x') l'équation £{χ') = - p^(x>). La multiplication des ν équations analogues donnera F (Λ') = pJy¥{xJ, mais ρ = F(.r').G(,r'), de la ρ = pvW (x').G(x') = ρ·"ξ{χ') ou (c) ι=ρ 'ξ(χ')· Or l'équation en x' est irréductible et de degré ψ (?ê) = λ> donc ξ (χ') se ramène à la forme A0 + A, x' + ... + A;_j x' , de sorte que l'équation (c) devenant — ι -bp (A,, -+- A, x' + . . . -+- A^_ ι χ' ^ — o, le premier membre devrait être identiquement nul, ce qui est impos-sible, — l-bp'^Ag ne pouvant l'être. Ainsi, l'équation P(jc) = ο est irréductible pour η = paqb. Si l'on fait maintenant η = paqb rc = pa n', n' = qbrc, la démons-tration se donnera précisément dans les mêmes termes, parce que l'ir-réductibilité est prouvée pour n' — qb rc. La démonstration s'établit donc de proche en proche. Le lecteur verra facilement, en consultant la Note de M. Arndt, ce que j'y ai pris, et quelle est la part qui me revient dans la démonstra-tion précédente. 

Démonstration de l'irréductibilité de l'équation aux racines primitives de l'unité

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