de Séguier, J.

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J. DE SÉGUIERSur la représentation linéaire homogène des groupessymétrique et alternéJournal de mathématiques pures et appliquées 6e série, tome 7 (1911), p. 113-121.<http://www.numdam.org/item?id=JMPA_1911_6_7__113_0>Article numérisé dans le cadre du programmeGallica de la Bibliothèque nationale de Francehttp:// gallica.bnf.fr/et catalogué par Mathdocdans le cadre du pôle associé BnF/Mathdochttp:// www.numdam.org/ journals/ JMPALA REPRÉSENTATION DES GROUPES SYMÉTRIQUE ET ALTERNÉ. Il3 Sur la représentation linéaire homogène des groupes symétrique et alterné; PAR M. ,1. DE SÉGU1ER. Dans un Mémoire paru ici-même (*) sous le même titre, j'ai étudié la structure des tiguratifs du groupe symétrique et du groupe alterné de degré n. Peu après, M. Schur publiait dans le Journal de Crelley t. 139, p. i55-25o (191 i), un Mémoire plus étendu où certaines de mes assertions relatives aux cas n — 6, 7 étaient contredites. J'ai donc été amené à revoir mes démonstrations relatives à ces cas particuliers, qui demandent un traitement spécial, et j'y ai reconnu certaines inexactitudes que je voudrais rectifier. Je profiterai de l'oc-casion pour ajouter quelques observations. Les notations seront tou-jours celles qui ont été indiquées précédemment (M.y p. 387 et Ρ·4ι3)(·). 1. Tout figuratif q du gf symétrique (ί^4)Γ de champ 1, ..., t a pour équations (M., 25) I σ,= α, = β, {ba)l-* — yy (ab~iab)*=d, (ab~'abJ)*= ε ι f/ = a, ...,τ, τ étant le plus grand entier S -)> ( I ) « = «', β==ε « * « \ y = β£r, (.r = o, ι), ! ε* = 1, ατιεαζ= b~leb = e} la détermination dey n'influant pas sur ç. (*) Λ Λ/., 1910, p. 387-436. Je renverrai à ce Mémoire par la lettre M. (') Il faut lireL (a, π) au lieu de Γ (a, π) à la ligne 3 du n° 26. Journ. de Math. (6· série), tome VII. — Fasc. I, 1911. IU ιι4 J. DE 8ÉGUIER. Les transpositions de Γ sont toutes conjuguées, et à chacune d'elles répondent deux éléments de (j ayant pour carré α3 = a. Or, si / φ 6, le système des transpositions de Γ est caractéristique, c'est-à-dire que tout automorphisme de Γ transforme ce système en lui-même (HOLDER, M, A.y t. XLVI, p. 345). Il est clair alors que les deux déterminations de (j répondant àa? = o, 1 sont distinctes. Mais si t = 6, on ne peut rien conclure, parce que Γ a alors des automorphismes contr&grédients qui transforment ses transpositions en si auxquelles répondent dans $ les conjugués des deux éléments de a.b~u ab2 .b~* ab* J £ J (HÔLDER, loc. cil., p. 33Q). Or, en supposant χ = 1 (donc β = ι), l'un quelconque d'entre eux, tel que ab~2ab~2ab~~2 a pour carré (ab~2a) b~2 (ab~*a) b~2 (ab~*a) b~~2 — 1. Les deux figu-ratifs sont donc isomorphes (Cf. SCHUH, Cr.y t. 139, p. I65). On peut le voir d'une autre manière qui présente un intérêt parti-culier. Considérons le groupe J = J 0(2,9), |ξ3, η3| = σ( d'ordre 2.720. Les substitutions (a) t . Wn + Pn -l a = o b = o e = «•ς-*-*) j ι: — rt où i est une racine primitive de C9 annulant r -h i— 1, vérifient les équations (1) pour χ = 0 et engendrent J (dont les facteurs de com-position sont 2, 360, 2). Les substitutions (3) «ξ—*» ,, '(ξ — r0 —; α' = σ , b'= σ , ε — , — ξ-t-rtj rc-t-τ] —η vérifient les équations (1) (où l'on remplace a par a' et b par //) pour χ = 1 et engendrent J. Donc J csl l'unique figuratif de Γ. 2. Voici comment l'on est conduit aux formules (2) et (3). On sait que le g,M„ j© (2,9), ίζ, ζ*! contient trois g72e non isomorphes £ = }©, ιζ |, £ = J Ϋ, ζ3 J isomorphe à Γ et = 5 Ό, «ζ3 [ (HÔLDER, loc. cil.y p. 313). Écrivons a, A, c, dy eyfy g, A, A, l respectivement pour 1, iy i-y i3, i\ i*, i6, f7, o, ac. représente le groupe des substi-tutions opérées sur les 10 g9 j 123, 456 j, J124, 356{, J1 *20, 3461, {126, 3451, Ji34, a56j, |i35, 246;, J136, 245',, |i45, 236',, U46» 235;, }i56, 2341 de Γ quand on les transforme par Γ, et l'on voit, en les LA REPRÉSENTATION DES GROUPES SYMÉTRIQUE ET ALTERNÉ. I l5 désignant respectivement par o, /% ιτ, ι, ιβ, ί·, /*, ï1, x, ou par k,c, Λ, />, </, β, a, / (alors iï = abcdefgh = y), que (') « = 12 corresponde af.de.gf= (ζ1)E / i²C + I 6 = 123456 à ahegdc.bkl■=. (ζ*)iC + I / C ix ζ == φ* = aceg. bdfh à 14. 2536, ξ-f-i =χ ■= ahc.bfk.deg à i56.a34, — ζ~ι = ψ = «e.6rf./A.A7 à ι4·56» Çs= ω = bd.eg. fh à a3. I Or ο transforme é φ* en os, χ en adb. cgk. ef/ι = y 9* y ?~V ψ en ag.bf.ee.kl = 9', ω en ag.ce.dh = iii 9"', et comme /> = ψχυ [en posant ω3-2χ et en désignant par la même lettre les substitutions correspondantes de Γ et de £] a = b(ûb~l, l'automorphisme correspondant de Γ change be η ι34·56 et a en 15.26.34. Or 15.26.34 est transformé en 12.34*56 par 25 = ab~*abw.υ.ab~xab* =. bl.ce.fk — (ζ*) —~ \ — θ. Donc, quand on transforme paryO, a est remplacé par «'=12.34.56 = «6- ,α6,.6*«6- ,= («6"*)* = bh.ckjg=(r)(f±f>), b par 6' = i34.26 = «.6- ,«6*.6- ,α6.α.α.6«6- ι.α = ab~iababiab~la = akhcdl.be/= (ζ') (|^)· Les substitutions α, by a', b' des formules (2), (3) répondent dans J à a, by a'y b' de Γ. (') On ne confondra pas les substitutions que je vais désigner par a, 6, avec les symboles a, b. ιι6 J. DE SÉGUIER. Il est clair qu'on pourrait vérifier directement que les équations(i) sont satisfaites quand on y remplace à par a = (ab~*y et b par b' = ab~'2 ab ab2 ab~K a. 5. Le second point que je voudrais rectifier est relatif au cas parti-culier /1 = 7. Il s'agissait de savoir si le multiplicateur du g7 alterné est d'ordre 2 ou 6, et cela revenait à chercher s'il existait un groupe X d'ordre 3.^ (7!) vérifiant ί α5 — ι, &β=ι, (&α)ν = ι, (ab~lab)3 = 1, (ab -*αϋ*)*ζ=: ι., (4) jc3=i, (cflO'rni, (cb~x aby ~ 1, (cb~*ab* )* = λ, (cb~3abiy= 1, ( λ3 — ι, a~lla = b~i\bz=c~i'kc — l. J'ai montré que, si X existe, il admet une représentation X' de degré 63 et une représentation X" de degré 45. Mais, par suite de fautes de calcul, j'ai conclu à la non-existence de X' et X". C'est ce calcul que je vais reprendre brièvement en commençant par X'. Con-sidérons les substitutions ««-(«!«») («3α7> (α4αθ) («5«Ιθ) («««Il ) («1»«!·) ( «I» «17 ) («1·«!·) (')» è«= (ajaaava,ae) (α,Λβα,α,βα,,) (α,,α^α,,α.,α,ϊ) («υ«ΐ7«!»«η«ι»), ca = (αια*α7) (a,a,,a8) («4ai3«9) (α8α,Λα,0) (α6α18α,,), qui vérifient Jes équations déduiles de (4) en y faisant λ = ι et four-nissent par suite une représentation du g7 alterné (il/., 28). Désignons par «ξ, £ξ, Cç ce que deviennent αα, ce quand on y remplace les α par des ξ, et posons ao—ΛααρΛγι è0—6α6β6γ, C0—C&cpCy, ai=(α,β/y,), λ = Π3,σΛ Λ? = Π} *»;■«, 5=Π31σ;'·. Si Χ' existe, on peut déterminer les et les z( de manière que α = αύχ1 b = bn, c = c0z vérifient (4). Les équations de la première ligne de (4) donnent par la méthode indiquée (M., 34) les congruences (!) Dans l'expression de αα, à la page 43o de mon Mémoire, il faut lire αΙ0·αιι pour cti0asl. A la page 4*9, dans la formule (55), il faut lire y = a'λ'-*'-*' au lieu de y =r g~x'-r'% A la page 431, dans la définition de as, ..., a,B, il faut lire partout y au lieu de x. LA REPRÉSENTATION DES GROUPES SYMÉTRIQUE ET ALTERNÉ. 117 suivantes (mod 3) : \ ο = d?j = Λ?υ= »Γΐ4= a?u= λ*|7= a?u= a?jo= a;ji, (5 ) i 1 37, | = 379 = — 37j = <374, 47,0 = ~~ 3?j, =: i*j = θ»4 ~H 375 = — 37, — — 37,· Les équations de la seconde ligne de (4) donnent, en tenant compte de (5), (6) O = S,6 = 5„, I = -Zi7 Ξ 51»=5Μ> -15 — Z\i= —-β 11 51<=5»Ξ;ϊΐ -8» -11= -ίο—I =—I = Zff .C7 = 3?jH-I, -β= -8= 1 ι -5 =Jl = —«"ι—15 -I——1 — Zi ) 37k=—37,— I, 37 5 = I — 37,. Les xt et les zt sont ainsi déterminés, mod 3, en fonction de x21 z2j z2 qui restent arbitraires. M. Schur m'ayant communiqué (sous une forme un peu différente) la solution répondant à x2 = z2 = ο, z2 =—ι, j'ai pu trouver plus vite où mon calcul était en défaut. Je ne reproduis pas d'ailleurs ce calcul, qui est sans intérêt une fois la méthode indi-quée. En faisant #2, z2 et z% nuls, on a α = α0σ*σ5σ*σ,σΐ 0σ,, = («»«β) («3«7> («η«ιβ) («u«i7) («Ι»αΐ8) («4β») (a5yio) («ββιι) (βίββ) (βίβτ) (βι*βι·) (βιιβη) (βιββιβ) (β* y#) (βδ«ΐο) (P«yn ) (y j y») (ysy?) (y»yie) (yuy 17) (yi«yu) (y4as) (-/δβιο) (ye«M), C — G J «8 «7 «9 «10 «1 , O"* 4 «17 «î 8 «f 9 «80 = («ι«ίβ7) («»yir/i) («4«ηβ») (αΒ«ΐ4βιο) (aeyisyn) ( βΐ βϊ y7) (βί^Ι*01») (βΐβΐ3/») (βδβΐ^ΐο) (βθ«15«Ιΐ) (yiy*«7> (/»βι«β·> (yvyija,) (yey,4«io) <7·βι·βικ) («17 β η Υπ ) («18 y» βίβ) ( a8»y 89 βΐ» ) («8θβί<^ΐθ)· 4. Pour former Χ", considérons les substitutions aa= (a,a„) (a,a,*) (asas) (a,«u) (aea,j) (a7a|0), 6a= («1«8«8«β«1ΐ) («J«U«4«18«7) («8«ll«U«19«9)l Cet = («1 «8«13) («a«6«e) («3«15alo) («*«11«$) (*7<Xl»<*u)j qui vérifient aussi les équations déduites de (1) en y faisant λ = i, et fournissent par suite une représentation du g7 alterné. On obtient τ ι8 J. DE SÊGUIER. cette représentation soit comme je l'ai indiqué (Af., 37), soit en for-mant, dans le gj® des substitutions linéaires à quatre variables (mod 2) "ï isomorphe au g8 alterné (JORDAN, Traité, n° 516) A8, le diviseur cor-respondant au diviseur de A8 qui fixe un symbole (voir S70). Posons encore, en gardant les mêmes notations, ao = a&aBay, bo = b&by, co = c²& σ/=(α,·β/7/), λ = Π;*σ„ .τ = Π}8σρ, 5 = Π|8<γ;·. Si X" existe, on peut déterminer les Xj et les zh de manière que α—α0χ, b = b^ c = c0z vérifient (4). Les équations de la première ligne de (4) donnent (mod 3) (7) b= x1 = xX h Ξ= .27,,, 1 = ̂ =^, > = .Τ, a = .Tjj, x14= = — #7 = — Xl>x8 = x2 + 1 Celles de la seconde ligne de(/j) donnent, en tenant compte de (7), <8) ϋΞ;| = ΐ,= Ζg = 3g = 3g = 3,3, Ιβ-,Ξί,Ξ 3,», 3,,= 3,g— — or,, Z- = Xt-+- l, 3IS ~— ^,4Ξ34=^, I, ■rJ = — xi — · » etarj reste arbitraire. En faisant £r2 = o, on a la solution a =α0σ*(73?6σ8σ;,σΐ# = («»«») (««atu) (ατ«·ο) (*«β·)(«»7ι») (*«7») (βίβΐί) ( βίβ|*) ({^βίο) (fii'J») ( i^Sal3) ('/■Vis) (yr/u) (77y·*4^ ('/tae)i'/sPis) (7ββυ)· c = €0σ3<τΙσ7σ9σ„σησ'„ = (α,α5α„) (α,α6α8) («»715710) β9) (χ7βιι'/η) (β.β.β.,) (βίββββ) (βΐ^υ^ι®) (β4βιι7sH 1^77ΐ5ΛΙ^) (7ι7«7·«ΐ (7*7«7*) (7»β·δ?ιφ) ^7*7ιια») (7:αΐίβϋ)· 3. Le figuratif £ du g® alterné Γ contient un diviseur isomorphe à U(2, 5). Car soit 011 = Je,λ| (ε3 = λ5= ι, λε = ελ), le multiplicateur (d'ordre (>). Au gee A déjà considéré (A/., 34) de <j\dTL répond dans ç\ jλ{, un gl20 Β qui n'est pas produit direct (puisque ε est le carré des s3 de Β qui répondent aux s, de A) et qui est par conséquent isomorphe à U(A,5) (HÔLDEH, M. At. XLVI, p. 354-355). Le gs.iao G qui correspond à A dans £ est le produit direct de Β par J (HÔLDER, loc. cit ). LA REPRÉSENTATION DES GROUPES SYMÉTRIQUE ET ALTERNÉ. lI9 £ contient aussi un figuratif F du g4 symétrique, F étant défini par (9) l'rrg, 64 = ε, (6α)'=ε, (ab~lab)* = ι, (ab~*abr)l = Et ε2=ι, αε = εα, 6ε = ε6, et isomorphe à j U(2,3), |ρξ, = pyj| J (ρ2 = — ι )(M.y 26). Car sans cela les équations de <|' établiraient entre a et b des relations autres que les conséquences de F, relations qui résulteraient des équations de (J jointes à λ = I. Or le groupe (j, défini par les équations de <i jointes à λ = i, n'étant pas le produit direct d'un g,eo simple par }ej (puisque ε est dans son commutant), est isomorphe à U(2,9) (S., 92), et, en identifiant les éléments correspondants de ces deux groupes, on peut prendre a=ρς + prj —ρζ + ρ-Ο — ξ — pn -p^ — pu ρς — υ Le diviseur \ a,b \ de U(2,9), vérifiant (9) et contenant ε = | — ξ, — η| est isomorphe à F. Donc les équations de (j, n'établissent pas entre a et b d'autres relations que les conséquences de F. Soient maintenant (J le figuratif du g7 alterné Γ et Oli = je, λ| (ε2 = λ3=ι, λε = ελ) son multiplicateur. On voit de même que (/|jX; contient un g„e B isomorphe à U(2, 7), et Cj un gj.sSeC produit direct de B par )λî. |JXJ contient aussi un diviseur X isomorphe à un figuratif du g5 symétrique défini par les équations de (j jointes à c = X = I. En eflét, |;ÎIL- contenant un groupe isomorphe au g5 symé-trique (défini par les équations de £ jointes à s = X = c=i), pour que X ne divisât pas il faudrait que les équations de jointes à λ= ι entraînassent ε = ι, ce qui n'a évidemment pas lieu [(/1JX j serait d'ordre 3(7!)]. On voit en même temps que X est isomorphe à G's (M., 26). Au gj.l20 X répond dans £ un ge.l20 Y dont le commutant Q y a l'indice 2 ou 6. Cet indice n'est pas 2, car Y serait figuratif du g5 symétrique. Il est donc 6, et λ est hors de Q. Donc Y est le produit direct de Q par ;λ|. Le même raisonnement montrerait, indépen-damment des théorèmes cités de M. Hôlder, que le groupe nommé C pour η = ti ou 7 est un produit direct. Il est clair d'ailleurs que, pour n^> 7, le figuratif (j du g" alterné Γ contient le figuratif du gf symétrique (/=/1 — 2) pour lequel α = ε. I20 1. DE SÉGUIER. β. Il me reste à indiquer comment des équations que j'ai obtenues pour les figuratifs du symétrique et de l'alterné on déduit celles de M. Schur et inversement. Posons, dans les équations (i) du figuratif du symétrique, (10) a = su (i— i, —a); d'où — 1 >*(#—*) si-isi_t...si=bl-i(aây-te<e-'>ii+i-f "= ύβ-'γε * ; (, —If' si « = ,t 2 ( Ο SI i = 2Z-hl On aura s²h = Ex , E² = 1 ESh = ShE, (SiSi+1) (h = ι, . ...t— ι; i = i, .... I — 2:.v = o ou i), (II) (sjSj+a)*= ε ou SjSj+K.= iSj+kSj (j = i, . — 3;/c=2, j — i). Inversement, en posant 5, = a, b — .çf_a... -s,, on aura d'abord, d'après (ι i), b-ishb = sh+ie'-i, donc S/,+J— b~lSjtbBt~l = . . . = b~'"1 S/t_/ b'+1&{Î+lHt~l) = . . b~hS{ εΛ ( r •I)J puis, par récurrence, en observant que (ί,. . . SA_, ) Sh (sa _i ... *1 ) = (shsh-,... .i, )$, ( st... sh ), (sA...I1)/=(sA...5,)rs1...5/.(IA...51)/-'e' * ; d'où, pour // = /· = /— ι, rit n , (/—!>»(/-(S1-1 .....ίι),= (*,_,...«,)/-,« * =... xll/- 1 H-(/-S )+... 4-1 ]+;[!/-!)'(/—*) + (/-« + ..+Λ1 ] ou, en désignant par λ le plus grand entier <l / 2, r/</—η λιλ-1) (12) * * . LA REPRÉSENTATION DES GROUPES SYMÉTRIQUE ET ALTERNÉ. 121 Donc I i / — 1 » XI T— ■ » bl — % 8 ; ,./(>- ι> T(T-1> / T _ I si / — 2Γ ( )'-* — ε * * , y== . (mod 2). FO SI Ί —2T-J-I On obtient d'ailleurs de suite (abl ab t* ~ (ab~^ab^y=e (y—2 O· Il est clair, d'après (11), que le figuratif j contient le figuratif |sA,; (12) permet de calculer l'ordre des deux éléments correspondant, dans ce dernier groupe, au cycle (Λ, A -H 1,...,// -+- q -+- 1) de Γ et par suite l'ordre des éléments répon-dant, dans Js,,..., s,., (, à toute substitution de Γ. Pour rc>7 ou /* = 4, î, les équations du figuratif du g" alterné que j'ai obtenues sont : ( 13 ) «a=£, Α' = β, {ba)l~*=y, (ab~laby = el, (αύ_/«Λ')8 = ε, ε8=ι, c3=e1+·*, (ac)3—£l+z, (<?ύ_ΑαύΑ')2 = ε; tit 11 . τιτ — ii β=ε 2 1 . y—$s*, t — n — 2 = 27-1-1 «u ·2τ; y = 2, ...,τ; Α·=ι,...,ί — 2; a?, y, s sont arbitraires. Si η =5, il faut supprimer l'équation (ab~Jα&)*=ε', s' λ = 4> il faul supprimer toutes les équations où figure b [(fta)<_,=: y permet alors d'exprimer b par a]. Rn faisant, dans les équations de la première ligne, le changement de générateurs (10) et en prenant x = z = o, on obtient un système formé des équations (1 f) où χ — ο et des équations 04) c3=g, (acy—ε, —ε. C'est le système de M. Schur d'où l'on revient comme précédem-ment à {i3). Pour a =6 et 7, il suffit, dans (i3), de remplacer (cù'-aù1)2 = ε par (cb~* ab'1)'2 = ελ (λ3 = ι, a-%\a — b~* Àù = c- ,Xc = X) et, dans (14), (es,)2 = ε par (c.vs )a = ελ, le changement de générateurs restant le même. Journ. de Math. (6* série), tome VII. — KIMC. 1, 1911. >-16 

Sur la représentation linéaire homogène des groupes symétrique et alterné

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