Duhem, Pierre

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PIERRE DUHEMNote sur le problème général de l’ÉlectrodynamiqueJournal de mathématiques pures et appliquées 7e série, tome 1 (1915), p. 99-103.<http://www.numdam.org/item?id=JMPA_1915_7_1__99_0>Article numérisé dans le cadre du programmeGallica de la Bibliothèque nationale de Francehttp:// gallica.bnf.fr/et catalogué par Mathdocdans le cadre du pôle associé BnF/Mathdochttp:// www.numdam.org/ journals/ JMPANOTE sun LE PROBLEME GÉNÉRAL DE L'ÉLECTHODYNAMIQUE. 99 Note sur le problème généra! de l ' É leetrod vna mi que ; PAR PIERRE DUIIEM. Deux erreurs se sont glissées dans notre Mémoire intitulé : Le problème général de VÉleclrodynamique pour un système de corps immobiles ('). L'une est une inadvertance qui ne change aucune conclusion; l'autre, au contraire, exige que deux de nos conclusions soient restreintes au cas où le système ne contient qu'un seul corps homogène. La première de ces erreurs consiste dans l'oubli du facteur -^= au second membre de l'égalité (3o) et de celle qui la précède immédia-tement; il en résulte que, dans toutes les équations qui, au Chapitre II, viennent après celle-là, et dans nombre d'équations des Chapitres IV et V, on doit remplacer le facteur a \ji par le facteur a2. Cette correc-tion, nous le répétons, n'altère aucune des propositions que nous avons énoncées. La seconde erreur s'est introduite dans l'établissement de l'éga-lité (47)· Pour que cette égalité pût se tirer de celle qui la précède, dans le cas ou le système est formé de plusieurs corps séparément homogènes, il faudrait que, à la surface de séparation de deux tels corps, ^ demeurât continu; or c'est ce qui n'a pas lieu. L'égalité (35) donne, en effet, <JU _ 1 <W (P W àt ρ Οι or-De même que la fonction potentielle W, les quantitésdW/dt, d²W/dt² demeurent continues à la traversée de la surface considérée; niais il n'en est pas de même de ρ et de K/, en sorte qu'en général cette surface est, pour une surface de discontinuité. (!) Journal de Mathématiques, Γν série, t. MJI pp. 3^7 EL suiv. loo P. DÛHEM. L'égalité (47) doit donc être restreinte au cas ou le système ren-ferme un seul corps homogène; partant, il en est de même des consé-quences qu'on en déduit, au n° 17 et au n° 19, touchant la détermi-nation de la fonction W et touchant la stabilité de l'équilibre élec-trostatique. Touchant la stabilité de l'équilibre électrostatique, nous n'avons pas trouvé, jusqu'ici, de moyen propre à lever cette restriction; mais la démonstration suivante nous paraît la pouvoir lever en ce qui concerne l'absence d'ambiguïté dans la détermination de la fonc-tion W. Écrivons l'équation (36), en tenant compte de la définition (35) de la fonction U et de la correction indiquée au début de la présente Note; elle deviendra (.39) ( "57" p~ ) — * (KTF + -p -w) = °-Multiplions-la par ofe, et intégrons le résultat pour le volume entier du système; nous trouvons — 2 7tfl!A / Κ — r-τ-dxa — πα'Α-p / - —— dtv = o. — 2 7tfl!A / Κ — r-τ-dxa — πα'Α-p / - —— dtv = o. Si S,2 est la surface de contact de deux corps distincts, 1 et 2, et Σ la surface terminale du système, on a, en remarquant que est continu au travers de la surface S,2, <l4l) J "5ΓΔΓϋΓ + — w)rfra r-τ-dxa — πα'Α-p / - —— dtv = o.(.39) ( "57" p~ ) — * (KTF + -p r-τ-dxa — πα'Α-p / - —— dtv = o.(.39) ( "57" p~ ) — * (KTF + -p r-τ-dxa — πα'Α-p / - —— dtv = o.(.39) ( "57" p~ ) — * (KTF + -p r-τ-dxa — πα'Α-p / - —— dtv = o.(.39) ( "57" p~ ) — * (KTF + -p NOTE SUR LE PROBLÈME GÉNÉRAL DE L'ÉLECTRODYNAMIQUE. toi Mais, en tout point de la surface S,2, l'égalité (3i) peut s'écrire : (,4a) D - ——f- -—-τ— — D;- γ— -(- — — Si nous posons r-τ-dxa — πα'Α-p / - —— dtv = o.(.39) ( "57" p~ ) — * (KTF + -p <« ' =MSWSSH£S)>· les égalités (i4o), (i41) et (i4'-*) nous permettront d'écrire : (,,,) j v_ _<te=_j __ _ j ̂  _ _ + . _ j _Λ. Supposons qu'on donne : i° A tout instant, en tout point de la surface Σ, soit W, soit dW/dN; 2° A l'instant initial, en tout point du système, W, et ̂ r* Demandons-nous si W est alors déterminé sans ambiguïté. Supposons qu'on en puisse donner deux déterminations distinctes, W', W", et posons (i46) W = \V"-W'. W vérifiera encore l'égalité (i4^). Mais alors, on aura : i° A l'instant initial, en tout point du système, 047) W = d, -57- = ο- -λΓ=ΟΪ 2° A tout instant, en tout point de la surface Σ, (•4°) soit \V = O, SOlt TCT — O. En vertu de ces égalités (14^ )» l'égalité (i4^) deviendra (.49) '•lr"/'Jk UT1>Fdm Tu' 102 P. DUHEM. En chaque point du système, on peut écrire, en vertu des égalités (147) et de la formule de Mac Laurin, r-τ-dxa — πα'Α-p / - —— dtv = o.(.39) ( "57" p~ ) — * (KTF + -p 0 étant un instant compris entre ο et /, instant qui peut, d'ailleurs, varier d'un point à l'autre du système. L'égalité (i4q) devient donc < π"·*'νκ-5όΐ ~~ lit' Nous allons maintenant soumettre W à la RESTRICTION suivante : On peut déterminer une valeur assez petite de τ, pour qu'entre t = ο et t = τ, —riéprouve de changement de signe en aucun point du système. En un point donné, mais quelconque, du système, entre l'instant ο et l'instant /, toutes les valeurs de qui ne sont pas nulles, sont de même signe; ce signe peut, d'ailleurs, changer d'un point à l'autre du système. Considérons un instant t compris entre ο et τ ; 0 est aussi compris entre ο et τ; si donc les quantités ^ ^ sont, toutes deux, différentes de o, elles sont de même signe. A un tel instant t, le pre-mier membre de Légalité (ioo) est assurément nul ou positif. D'après l'égalité ( 144)? J ne peut être que nul ou positif. Il en est de même de H, d'après l'égalité (i43). Cette égalité, jointe aux égalités (147)5 montre, d'ailleurs, que H est nul à l'instant initial; si cette quantité n'est pas constamment nulle, elle commence par croître; on peut donc trouver une valeur assez petite de τ' pour que, entre ί = 0 et / = :', ̂  soit constamment nul ou positif. Ainsi, à tout instant compris^entre t = ο et t = τ', le second membre de l'éga-lité (15o) est nul ou négatif. Soit T la plus petite des deux quantités τ et τ'. A tout instant NOTE SUB LE PROBLÈME GENERAL DE L'ÉLECTRODYNAMIQUE. io3 compris entre l == ο et t = T, le premier membre de l'égalité (i5o) est nul ou positif et le second est nul ou négatif; l'égalité (i5o) ne peut donc être vraie, à moins que ses deux membres ne demeurent constamment nuls entre / = ο et t = T. Pour cela, il faut, en particulier, que J demeure constamment nul durant ce laps de temps, ce qui exige, en vertu de l'égalité (144)» d*\V d*W à1 W ô r dt ~ °' ày ()f ~ °' ôz dt ~~ °" Mais -jj· est supposé continu dans toute l'étendue du système; ces égalités exigent donc qu'à un même instant quelconque, compris entre l = o et / =* T, ait même valeur dans tout le système. Or, sur la surface 2, en vertu des égalités (148), W et, par conséquent, -jj-sont constamment nuls. Partant, en tout point du système et à tout instant compris entre t = ο et / = T, on a dw/dt = 0. W est, en chaque point, indépendant du temps, et donc nul, puisque, d'après les égalités (i47)> sa valeur initiale est o. On peut ainsi trouver une durée finie T telle que les deux solutions W' et W" demeurent identiques entre elles entre / = o et t = T. Mais, en reprenant le même raisonnement à partir de / = T, on trouvera qu'elles demeurent identiques entre elles jusqu'à J = 2T, et ainsi de suite; elles ne peuvent donc jamais différer l'une de l'autre. Sur la démonstration donnée au n° 17 de notre Mémoire : Le problème fondamental de l'Electrodynamique, cette démonstration présente un avantage ; elle n'est pas bornée au cas d'un corps homogène unique; mais elle a l'inconvénient de soumettre les propriétésde d²W/dt² à une restriction que, peut-être, certaines intégrales ne vérifieraient pas. 

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