Lamé, G.

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G. LAMÉSur les surfaces isothermes paraboloïdalesJournal de mathématiques pures et appliquées 2e série, tome 19 (1874), p. 307-318.<http://www.numdam.org/item?id=JMPA_1874_2_19__307_0>Article numérisé dans le cadre du programmeGallica de la Bibliothèque nationale de Francehttp:// gallica.bnf.fr/et catalogué par Mathdocdans le cadre du pôle associé BnF/Mathdochttp:// www.numdam.org/ journals/ JMPAPURES ET APPLIQUÉES. 3O7 Sur les surfaces isothermes parabolo'idales ; PAR M. G. LAMÉ [*]. Dans mon Mémoire sur les surfaces orthogonales toutes iso-thermes [**], j'ai fait voir que le système paraboloïdal n'était qu'un cas particulier des surfaces orthogonales et isothermes du second ordre ; mais il ne sera pas inutile de rechercher directement ce système, afin d'éclaircir, par un nouvel exemple, la méthode générale quej'ai indiquée pour résoudre des questions de cette nature. Soit donc proposé de trouver les surfaces isothermes comprises dans l'équation (x) 2 Ix -+- my3 -+- nz3 — ι, laquelle s'étend à tous les paraboloïdes, tant elliptiques qu'hyperbo-liques. Le problème d'Analyse qu'il s'agit de résoudre consiste à regarder les coefficients Ι,τη,η comme des fonctions inconnues d'un paramètre λ, et à déterminer ces fonctions par la condition que le quotient (2) dx1 df- dz* [*] Ce Mémoire de mon savant ami et regretté confrère doit remonter à l'année i843 ou au moins à ι844· J'ignore par quelle suite de circonstances il a été retardé à l'im-pression, puis négligé et comme oublié par son illustre auteur, qui n'est mort que longtemps après, en 1870. Enfin il se retrouve aujourd'hui, et je m'empresse de le communiquer au public, car on le lira encore avec plaisir et avec profit. Lamé pos-sédait un talent très-pénétrant, d'un genre tout particulier, et en ce sens on peut dire qu'il n'a pas été remplacé jusqu'ici. (J. LIOOVILLE.) [**] Lu à l'Académie des Sciences, le 21 août i843, et imprimé la même année dans le Journal de Mathématiques, t. VIII, p. 397 ; voir aussi p. 5i5. 3G.. 3o8 JOURNAL DE MATHÉMATIQUES soit exprimable en λ seul, lorsque, considérant à la fois toutes les sur-faces comprises dans l'équation (i), ce paramètre λ devient une fonc-tion de X-, y, z, donnée par cette même équation. Désignons par L le premier membre de l'équation (i); posons pour simplifier (3) l2 m3 y3 + B¥ = M; enfin employons une notation connue, en représentant par la même lettre accentuée une ou deux fois (F', F") les dérivées première et seconde de toute fonction (F) de λ, prises par rapport à ce paramètre seul. On déduit de l'équation (i), par des differentiations successives et l'élimination, (4) abre de l'équation (i): po L" (S+ % + s) = 4 («·'" ML·- Û±ÏL»), d'où l'on conclut pour le rapport (a) M'L' — ML" — L" ce qui réduit le problème proposé à faire en sorte que l'équation (5) M'L' — ML" — L'3 dans laquelle ψ ne contient que λ, soit vérifiée en même temps que l'équation (ι), ouL = i. La question se simplifie encore si .l'on élimine χ entre les équa-tions (i) et (5). En effet, en posant (6) V y- (lin' — I'm)y3 + (In' — l'n)z2 = N, la valeur de χ tirée de l'équation (i) donne JL' = N, IL" = N', PURES ET APPLIQUÉES. 3og et l'équation (5) devient (7) M'Ny - Μ(Ν'φ -+- %') — ?N2 = o. Or cette équation finaledoit être identique, quelles que soient les deux seules variables indépendantes y et z actuellement présentes. Donc, pour trouver les familles de surfaces isothermes comprises dans la formule (1), il suffit de chercher les fonctions l, m, η, ψ de λ qui peu-vent vérifier l'équation (7), quels que soient y et z. Le premier membre de cette équation ( 7) se présente sous la forme d'un polynôme du quatrième degré, à puissances paires dey et z ; mais il se réduit au second degré seulement si l'on pose (8) Î — — car Ν (6) se réduit à V, et N' à l". Les équations (8) donnent par l'intégration (9) L — αψ, m — |3ψ, η = γψ, ψ étant une fonction de λ; α, β, y des constantes; d'où l'on conclut (10} t M = <p2F, M' = 2ψψ F, ( F = cca-+- β'2y2 -+- γ2ζ-2. Toutes ces valeurs, substituées dans l'équation (7), la transforment ainsi (») («a -t- j32y2 + v2z2) = V—1, et pour que cette équation soit vérifiée, quels que soient y et z, il faut que l'on ait (12) dT~ Ο' ! = -?■ Rien n'empêche de prendre ψ = y et ψ constant, pour satisfaire à la 3ιο JOURNAL DE MATHÉMATIQUES première équation (12); la formule (1) devient alors (i3) 2 ocx -+- β(y2 — ζ2) = λ, et représente une famille isolée de paraboloïdes hyperboliques, qui sont évidemment isothermes, puisque la fonction λ (i3) satisfait à l'é-quation <?λ dn _ Cherchons maintenant à vérifier l'équation (y) sans poser les rela-tions (8). Comme cette vérification doit avoir lieu indépendamment des coordonnées y et z, on peut les supposer constantes quand λ varie, et écrire l'équation (7) de cette manière: (ï4) rfxLrJ ~ 219 ' c'est-à-dire que le problème proposé sera résolu si l'on fait en sorte que la fraction (i5) Ν {M — ml')y7 -f- [In'— ni') z2 se réduise identiquement à une fonction ψ de Xseul ; car l'équation (14) deviendra (16) φψ m -y η et servira à déterminer la fonction φ. Pour que la fraction (i5) soit indépendante de y et de z, il faut et il suffit que (r7) d1- d1- dl or rien n'empêche de prendre pour le paramètre λ la fonction j> d'où PURES ET APPLIQUÉES. 3II £== ρ et les équations (17) donneront, par l'intégration (18) / = r m = n = ΰΤ=-ΤΫ β et γ étant des constantes différentes. On aura alorstj; = - = — 1, et l'équation (16) deviendra, par la substitution des valeurs de l, m, », ψ, (*9) £ _l(_l . 1 \ équation dont l'intégration donnera (20) ψ = £λ — β \/X — γ, ou φ=\/λ — β \j~j—λ, ou φ = ψβ — suivant que λ surpassera γ plus grand que β, ou sera compris entre γ et /3, ou enfin sera moindre que β. Ces trois cas différents conduisent aux familles conjuguées des para-boloïdes, représentées par les équations (21) Τ + λ (λ -β) λ (λ -7J — ~λΓ λι(·λ. — β ) λ, (γ — λ, ) 1 » 2Λ7 2' dans lesquelles on a λ > γ > λ, > β > λ2 > ο· La fonction ψ étant déterminée, on sait que la température est ex-primée par le binôme A et Β étant constants; si donc on représente par ε, ε,, ε2, l'intégrale prise entre telles limites que l'on jugera convenable, pour les trois familles (21), on pourra poser, d'après les valeurs (20) de φ, (22) ε ε, — ε2 ""Λ 3l2 JOURNAL DE MATHÉMATIQUES et la température sera une fonction linéaire de ε, ou ε,, οιι.ε2, suivant le système de surfaces isothermes (21) que l'on aura en vue. Les intégrales (22) peuvent s'obtenir par les méthodes connues, et l'on trouve que les fonctions λ de ε, λ, de ε,, λ2 de ε2 sè mettent sous la forme (23) >·={Ψ) +■ M B^')· λ·=(^t1) - (M)coss" λι=(Ι±£)_(1ΐ1)(£±ί=). On pourrait, au lieu de λ, λ,, λ2, preudre pour paramètres des sur-faces (21) les transcendantes ε, ε,, ε2. Les limites de ces nouveaux paramètres sont, pour ε, zéro et l'infini; pour ε,, zéro et π; pour ε2, zéro et l'intégrale complète (24) JrP da. qui est telle que l'on a (25) é* -+- er~u 7 -t- β On remarquera que les limites supérieures et inférieures se correspon-dent pour λ et ε, pour λ, et ε, ; mais qu'il y a réciprocité entre l'ordre de ces. limites pour λ2 et ε2. Les valeurs de x,y, z, en λ, λ,, λ2, obtenues par l'élimination à l'aide des trois équations (21), conduisent aux relations suivantes : (26) aa: = λ -t- λ, -t- λ3 — β — γ, j ν/γ — β —Α — β ν/λ. — β\Ιβ — λ2, Ζ ν/γ — β = \/λ — γ ν/γ —λ. ν/ν ~ λ*· PURES ET APPLIQUÉES. 3I3 Ces valeurs vérifient les équations I + (λ-ρχλ.- β) — (λ —γ)(γ —~" °' 1 ~ (λ-β) (β-λ,) ~ (λ-7) (γ-λ,) - °' 1 ~ (1< —ΡΚΡ—>») + (7-λ,)(7-^) ~~ °' lesquelles expriment que les trois systèmes de surfaces (ai) se cou-pent à angle droit. La première et la troisième des équations (ai), aux paramètres λ etX„ représentent des paraboloïdes ayant leurs axes principaux sur la même droite, qui est l'axe des.r, mais en sens opposés; quant à la fa-milleau paramètre λ,, elle se compose de paraboloïdes hyperboliques. Sil'onfait z=o dans les équations (ai), on trouve, pour les équations des courbes d'intersection par le plan des xy, ìrsection pai Λ<-!—■*=VA2-*-(■*-!)'' * + |-x> = v/r2 — f)a ; c'est-à-dire que ces sections principales sont des paraboles ayant toutes pour foyer le point B, dont les coordonnées sont z = o, J = o, x = ~· Pareillement, si l'on Ml y = ο dans les équations (ai), on trouve pour les équations des traces sur le plan des zx, x-j-x=vAa ·+-(*-!)', * ■+■ ι - λ«=\Λ2-+-- ι)'ι = J)*ï Tome XIX (a* îérie). —Αουτ ifiji}. 4o 3x4 JOURNAL DE MATHÉMATIQUES c'est-à-dire que ces sections principales sont des paraboles, ayaftt toutes pour foyer le point C, dont les coordonnées sont J — o, *= o, x — \· Le paraboloïde elliptique de la famille ε2, qui correspond à ε2=et(24), ou à λ, = o, a pour équation (27) 7Γ ΤΓ — 2 ^ > son sommet est à l'origine A, et il enveloppe tous les autres parabo-loïdes de la même famille. Celui qui correspond à la valeur zéro de ε2, ou λ2 = β, devient une aire plane, sur le plan des zy, ou y = o, limitée extérieurement parla parabole ayant, sur l'axe des ar, son sommet en Β et son foyer en C. La surface ε correspondant à ε=o, ou λ=γ, est une aire plane, située sur le plan des xy ou ζ — o, limitée extérieurement par la parabole ayant son sommet en C et son foyer en B. Tous les autres paraboloïdes ε ont leurs sommets plus éloignés que le point C, et sont tournés vers les abscisses négatives; leurs sections parle plan des xy ont toutes leur foyer en B, et leurs sections par le plan des zx en C. Tout paraboloïde hyperbolique ε, a son sommet en D sur l'axe des x, à une distance de l'origine égale à c'est-à-dire entre B et C; sa sec-tion par le plan des zx est une parabole s'ouvrant vers les abscisses positives, ayant son sommet en D et son foyer en C; sa section par le plan des xy est une parabole s'ouvrant vers les abscisses négatives, ou vers l'origine, ayant son sommet en D et son foyer en B. Le paraboloïde correspondant à ε, = o, ou λ, = β, est une aire plane, située sur le plan des xy comme la surface ε2 = o; mais cette aire est limitée intérieurement par la parabole ayant son sommet en B et son foyer en C ; en sorte que l'intérieur de cette parabole est la surface ε2 = o, ou λ2 = β, et l'extérieur, la surface ε, = o, ou λ, = β. Le paraboloïde correspondant à e, = π, ou λ, = γ, est une aire plane, située sur le plan des y χ comme la surface ε = o; mais cette aire est limitée intérieurement par la parabole dont le sommet est en C PURES ET APPLIQUÉES. 3i5 et le foyer en B; c'est-à-dire que sar le plan des y χ l'intérieur de cette parabole est la surface ε = ο, ou λ = γ, et l'extérieur, la surface ε, = π, ou λ, = y. Les surfaces (ai) forment donc un système particulier de surfaces orthogonales, qui pourra être utilisé dans des recherches spéciales. Si l'on prend λ, λ,, λ2 pour paramètres de ces surfaces ou pour coor-données curvilignes, les paramètres différentiels du premier ordre h, kf, h2, déduits de la première équation (4), transformée à l'aide des valeurs (3), (18) et (26), sont (28) — =A = 2 γ _ r y ί, d\, ^ ^ y/λ,— (3 y/y— λ, d\2 1 ___ y/β λ2 s/y λ, Si l'on adopte pour paramètres les transcendantes ε, ε4, ε2, les para-mètres différentiels du premier ordre ÏJ, y],, yj2 seront plus simplement 09) ds y/λ — λ, ν/λ — λ, 6?ε, 2 — «2 — v/x_^ ^ ^ Les équations (26) serviront de formules de transformation quand on adoptera les paramètres λ, λ,, λ2. Dans le cas où l'on choisirait ε, ε,, ε2, il faudrait se servir de celles-ci : (3o) 2a? = + (M) — COS£' + E^2^' y = (γ - P)E (|)sin (fjc \î) ' 3 = (7 - β)c \i)cos(ï)E\i) ' 40. 3r6 JOURNAL DE MATHÉMATIQUES dans lesquelles on a posé généralement, pour simplifier, (30 = Ε (a), e—fl = C(u). et (Jui se déduisent des équations (a6) en y substituant les valeurs (23). Dans les formules (38) et (39), «/s, dst, ds2 représentent les éléments des courbes d'intersection des surfaces (ai), courbes qui sont, comme l'on sait, les lignes de courbure de ces surfaces. Pour faire une application du système coordonné qui vient d'être défini, proposons-nous d'évaluer le volume compris entre le parabo-loïde ε2 = zs (37), ou λ, =o, et un des paraboloïdes ε. La différentielle du volume est ctsdSi uSi — . , — = ——5 et l'intégrale qu'il s'agit d'obtenir est, d'après les valeurs (28), (3a) 8 Jo J β Jy Ρ V* — ν A — i* */7 — /P —λ» v'r — ou, d'après les formules (29), (33) Y==$f f*f ~λ»)(λ— λ, λ,, λα, dans cette dernière intégrale, étant les fonctions respectives de ε, ε,, ε,, données par les équations (23). On a identiquement (Xj — X2)(X — λ3) (λ — Xj) —(Xj — X2)Xa-t-(Xa — X)XJ ·+■ — λ, )Xg, et l'intégrale (33) se décompose ainsi: (34) V = g J^e2 f X, dt, — £if X2^a) fX*di + hdh ~ e*fλί/ε) f dt, JC I2 di2~6*/:Xds. en prenant d'abord toutes les intégrales depuis ε = ο, ε, = ο, ε2 = ο. PURES ET APPLIQUÉES. 317 Les fonctions (a3) donnent successivement, en adoptant la nota-tion (3i), ΧλΛ φνφΜ· Χ"λ,Λ,=( jf X&2= ε* — (Ιτ^) JT'X'A = (^)% +^Φ)+ΐ(^),[^)^)+£], et — sine, -h ^ ^—^'(cose, sjn£i 6|j4 jf λ|ί/ε2 = ε2 - ï_l.e(ea) ■+■ £ (5L_Jj2[E(e2) C(e2) + e2J; et ces valeurs substituéesdansY (34) donnent, toutesles réductionsfaites, (35) Y = ^ je[E(e2)— cose, ]C(e2) sine< ■+· ε»[Ε(ε) -+-Ε(ε2)]£(ε)£(ε,) — e2[E(e)-f- COSE, ]C(e) sine, j. Enfin, si l'on fait ε, =π, ε2 = rs, il vient, pour l'intégrale (33), (36) v = - 0)8 TO + EWJ c(eTO)· Si l'on remarque maintenant que, d'après la formule (a5), -7-P7—ß7ÏT et que la valeur λ (a3) donne successivement X=LÎ[E(6)+EM, x_j3=Lf[E(£)+.], λ-γ=Ζ=![Ε(.)-ι], uHtmeuaui que, a après la ion d'où réunissant L%(<)+EM]=X, lTie(,)=v/X-(3VX-7; lTfi(») = Vj3r, 318 JOURNAL DE MATHÉMATIQUES et en multipliant &-_!£ [ε (ε) -h E(®)] e(6) & (©) = VPy λ s/λ^ V'X - 7, on voit que l'intégrale (36), et par suite ( 32), ont pour valeur (37) «/ο β * y — 7 — β ^7— — ^·2 ν'7 ^·ι ou que l'on a (38) p p p (λ, —λ,)(λ, —λ)(λ —λ,)<&ι*Χ,4λ, = 27Γ v//3yX \/λ— ρ ν^λ·— γ. Les deux paraboloïdes elliptiques opposés, qui limitent le volume V (37), sont homofbcaux et se eoupentà angles droits; λ est le double de la distance qui sépare leurs sommets : ces paraboloïdes ont pour équations (39) ΐΐΤ=1-|-ΜΓΤ7ί + Χ = '. T + --2X = o; et, par l'élimination de x, on trouve (4o) β(λ-ρ) + γ(λ-7)-ί pour l'équation du cylindre droit à base elliptique qui contient leur intersection à double courbure. Or le volume de ce cylindre, limité à deux bases tangentes aux sommets des deux paraboloïdes, et qui a conséquemment pour hauteur-, sera évidemment, d'après l'équa-tion (4o), ^ — β ν» ou aV(37)· * On peut donc dire très-simplement que le volume cherché est la moitié de celui du cylindre droit, -à base elliptique, qui l'enveloppe. 

Sur les surfaces isothermes paraboloïdales

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