Genocchi, Angelo

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ANGELO GENOCCHINote sur quelques sommations de cubesJournal de mathématiques pures et appliquées 2e série, tome 11 (1866), p. 177-187.<http://www.numdam.org/item?id=JMPA_1866_2_11__177_0>Article numérisé dans le cadre du programmeGallica de la Bibliothèque nationale de Francehttp:// gallica.bnf.fr/et catalogué par Mathdocdans le cadre du pôle associé BnF/Mathdochttp:// www.numdam.org/ journals/ JMPAPURES ET APPLIQUÉES. 177 NOTE SUR QUELQUES SOMMATIONS DE CUBES [*|; PAR M. ANCELO GENOCCHI. I° On connaît plusieurs solutions, en nombres entiers et positifs, de l'équation (0 .r3 4- (χ 4- r)3 + ( χ -+- 2 rf = y3. On peut en déduire un nombre infini d'autres solutions, en multi-pliant par un même facteur les valeurs déjà trouvées de χ, r et y. Ces solutions seront dérivées; nous chercherons d'autres solutions primitives de la manière suivante. Faisant χ -+- r = 4s, y — 6t, on a (2) s (r -+- 8A2 ) = 9*; pour résoudre celle-ci, on pose Α = 9ί'3, r -h s y'— 8 = (p -f- q sj — 8)\ d'où l'on tire '■= PÎP* - 24</2), S = q{3p2 - Sfy2), [*] Cette JNote a été imprimée en italien dans les Atti dell' Accademia Pontifecia de' Nuoei Lincei (t. XIX, anno XIX, sessione I, del 3 décembre i865), et dans les An-nali di Matematica pura ed applicata, publiées par le M. professeur Tortolini (t. VII, η" III). La traduction que nous communiquons à nos lecteurs, sur la demande du prince Baltjiasar Bopcompagni qui nous l'a transmise, est.de M. Narducci. (J. L.) Tome XI (2E série).— MAI 1866. ad 178 JOURNAL DE MATHÉMATIQUES et, par conséquent, t'3 = s'(p2 — 2Î\s'2), en faisant q — 3s'. Ensuite on fait s' — 271"3, ρ -t- ^ = (r' s" )J, d'où p = r' (r'2 + 72j"2), / = 3s" (r12 8î"2 ), c'est-à-dire s" (r'2 -4- 8Ί"2) = 9t''3, équation semblable à l'équation (2), et qui étant résolue avec les mêmes nombres peut servir à en trouver successivement autant de solutions que l'on désire. Prenons la solution T* = s" = t"= 1 : nous en déduirons s'= 27^ = 27, ^ = 3j'=8i, ρ = /■'(r'2 4- 72.Ï"2) = 73, r — ρ {ρ2 — 24q2) = j32 (73 — 24 · 812) = — 73. i52i35, s — qftp2 — 8 q2) = 81 (3.73* — 8. 812 ) = — 81. 365οι, et par conséquent r = — 111 o5855 et x = 4·? — r = — 720469. En changeant le signe, nous aurons les valeurs entières et positives x = 720469, /■ = χ 1 io5855, qui satisferont à l'équation (1) avec γ aussi entier et positif. 20 On peut appliquer la même méthode à l'équation (3) x' -t- (x ■+- r)3 -h (x -h 2 r)8 -t-... + (x -t- nr — r)3 — j3, en supposant η > 3. Faisant s — îï+ (η — i)r, cette équation de-PURES ET APPLIQUÉES. 179 vient, comme l'a remarqué M. Le Besgue, (4) ns [s- -t- (η2 — i) r*] = 8y* ; par conséquent, dans le cas de η — 4, on a (5) α(α2 -I- τ 5 r'1) — ij3, et si l'on fait i = a/3, s -t- r\>— ι 5 = (p + q \j — i5)3, il en résulte as" = p(p2 — fiq2), r=?>q(pi - 5q2); faisant ensuite ρ — 2Jγ'3, ρ -4- 3q s/5 — (i" -t- r' s/5)3, on a 3? = r'(3s"2 + 5r"2), a"(a"2 + i5r'2) = 2/'3: la dernière de ces équations est semblable à l'équation (5). Prenant r'= i, s" — 25, jr' = 20, valeurs qui correspondent à l'égalité I Is + I23 -t- i33 -h i43 = 203, on trouvera ρ = — 3.20% s' =j' (a"2 ·— 5r'2) = 20.620 = 20s. 3i, s = 2s'3 = 2.206,3i3, q — ^ (3A"2 -4- 5r'2) = = 20 .94/3, r — 3 <7 (p2 — 5q2) = 2. 204 .—(203.4.9 — 472) = 2 .204 . — .285791. On peut multiplier par 9 et diviser par 2.204 les valeurs de r et A en les réduisant ainsi à r — 47.285791 = 13432177, s ~ 9 ·2ο! . 3i3 = 107247600, 23.. I 80 JOURNAL DE MATHÉMATIQUES d'où x = s — 3r 66961069 Donc, en multipliant par 2 ces valeurs de χ et r, on aura une nouvelle solution de l'équation (3), pour η = 4, en nombres entiers et po-sitifs, ^ = 66951069, r= 26864354. 3° En général, pour satisfaire à l'équation (4), faisant par abrégé n~ — 1 = m, posons .ç = n2 s'3, s -h r\l — m — (ρ 4- 7 — m)3, d'où r = (]{3p2 — ιη(/2), n2 s'3 = p{p2 — 3/117°); posons en outre np — 8χ'3, ρ +- 7 \jôm— (s" -+- Ρ v/3 'n)3, d'où 7 = 3 r'[s"2 -f- tnP2), ρ = s" (s"2 -+· 9/nr'2); alors, en faisant 3 r'= r", nous aurons une équation semblable à l'équation (4), savoir ns"[s"2 + (n2 - ι )r"!] = 8/3. Ainsi, étant donnée une solution de l'équation (4), les mêmes nombres pourront être pris pour les valeurs de. r", s" et y", et de ceux-ci 011 déduira r', p, 7, r, s, d'où l'on aura une nouvelle solution de l'é-quation (4), qui pourra pareillement en donner une autre, etc., etc. Mais il est clair que les solutions obtenues de cette manière pourront n'être pas les seules possibles; en outre, quoiqu'on trouve des valeurs positives pour s et r, il peut se faire que x se trouve négatif, et que par conséquent on n'ait pas pour l'équation (3) une solution en nombres positifs, quoiqu'on en ait une pour l'équation (4). Prenant /■» = ,«=,, y = l, PURES ET APPLIQUÉES. 181 il en résultera r=v p = n-, ? = —» r=/i«.-3--(*> - 0^—) ' \ — η6 — n1 ( rr — ι ) ces valeurs de r et de s sont tontes les deux négatives lorsque n est plus grand que 16, de n — 3 à η = η, r est positif et s négatif, niais dans les deux cas on a s < [n — ι ) r, abstraction faite des signes, et à cause de cela dans le premier membre de l'équation (3) quelques cubes seront positifs, d'autres négatifs. De n — 8 jusqu'à n — 16 sera s néga-tif, r positif, mais en valeur absolue sera s > (« — ι) r, par conséquent χ sera négatif et tous les cubes indiqués seront aussi négatifs; d'où il résulte qu'un simple changement de signes suffira pour rendre posi-tifs tous les termes du premier membre de l'équation (3). 4° On peut trouver d'autres formules plus commodes pour déduire d'une solution de l'équation (4) une nouvelle solution. Soit une solution * =/» '■ = g-, 2y = Κ et retenant la même valeur de s, supposons r = g -t- z, ij — h + pz : en substituant, en ôtant les termes qui disparaissent à cause de l'équa-tion (4), et en divisant ensuite par z, nous aurons nmf(2g + z) = 3 h'ρ + 3 hp2z + p3z2, où m = n2 — ι ; posant ensuite p = 2mmfg/ 3h2 nous aurons mnf— 3 hp2 z = p3, 182 JOURNAL DE MATHÉMATIQUES et par conséquent une solution de l'équation (4) sera aussi * = /> r = g + ~ p, ' = - 7: " Posant la valeur de p, posant pour h3 la valeur h' = »/(/+ "l§2)> qui résulte de l'équation (4), et faisant (6) /=8m2/g% g'=27/' * 18 mf3 g2 — tri2 g\ h'=imgh(9/2='«g%, on trouvera /' g' h' ί —8m*gS r~8Ζ»ν' 2·^~ 8«»2g3' il est clair par conséquent que l'équation (4) sera satisfaite aussi par les valeurs s =/', r — g', ιγ = h' qui sont données par les formides (6), et qui seront entières si/, g, h sont entiers. Prenant f — g = 1, h = n, les formules (6) donneront J — Sm% g' = 27 + 18w — m3, h'— 2mn(m-+-q) : la valeur de g' sera positive par η = 3 et η = 4, négative par « > 4> et par conséquent au moyen de η > 4 on changera g' en — g', mais depuis n = 3 jusqu'à η = 11 on aura en valeur absolue j ' > (η — ι)g', de sorte qu'il en résultera des solutions de l'équation (3) avec des va-leurs entières et positives de r, χ et y. Par exemple, pour η — 6 on a "/' = 8.35% g'-8.71, et en otant le facteur commun 8, il en résulte x = 252-5.71/2 = 435, r=71 On peut faire aussi a — -j; s a a — -j; s a PURES ET APPLIQUÉES. 183 d'où (7) a ~~ + ~ a2)2; et s'il résultera a' < i, il sera f2 > mg'* > (π - i)s g'a, et par conséquent f>(n-i)g', de sorte que l'on pourra avoir encore une solution de l'équation (3) en nombres entiers et positifs. Pareillement on pourra calculer d'au-tres quantités a'",..., qui dépendent de a', a",..., comme a dépend de a, et lorsqu'on arrive à une de ces quantités qui soit < i, on aura une solution de la même équation (3) en nombres entiers et positifs. 5° On doit remarquer aussi que même pour des valeurs de n aussi grandes que l'on voudra, on peut satisfaire à l'équation (3) avec χ et y entiers positifs, en supposant r — ι : il suffit de prendre pour n un cube qui ne soit pas divisible par 3. Cela résulte des formules à l'aide desquelles M. Camille Pagliani, cadet dans le corps royal des Pion-niers de Modène, résolut le problème de trouver mille cubes entiers consécutifs dont la somme soit un cube [*]. Car, en changeant η en n3 et en faisant (»'— »)' — 3("3+ ') b on trouve (x -h ι)8 + (x --l· 2)s -h . . . -+- [χ -+- n3)3 — ^nx + " ^ , et l'on voit d'une part que le numérateur de la valeur de χ est toujours un nombre pair, d'autre part qu'il est aussi divisible par 3, lorsque n ne l'est pas, attendu qu'alors n3 — ι est divisible par 3 ; par conséquent, dans ce cas, χ sera toujours un nombre entier. Si l'on prend n divi-[*] Voir Annales de Mathématiques, par Gergonne, t. XX, p. 382-38"j. 184 JOURNAL DE MATHÉMATIQUES sible par 3, sera un nombre entier, et en multipliant l'équation précédente par 3% on aura égale à un cube la somme des cubes de η3 nombres entiers formant une progression arithmétique dont la raison sera 3. 6° Si l'on demande que la somme des termes d'une progression arithmétique élevés au cube ne soit pas un cube, mais un carré, on aura, au lieu de l'équation (3), la suivante : (8) .r3 -ι- (x -h r)3 -i- (,r + 2r)3 + . . - + (x+ n/'- r)3 = y-, qui pourra être ramenée à la forme (9) /«•[j® -+- («2 — i)r2] = δ/2. Faisant ij — nst, nous tirerons de celle-ci s2 -t- (M2 — I ) R2 = 2 nst3, d'où s — rit- ± — 'rr — i)r2 : ensuite nous poserons n2t4 — («2 — ι)/·2 =?= (nt2 -- rpf. et nous obtiendrons ( ι o) 2 npt2 r = î «'-1+ Ρ2 a laquelle correspondront deux valeurs de s, (") s = in(n''— ι) t' inp't' in(n''— ι) t' inp't' En assignant des valeurs ratiounelles, telles que l'on veut, à ρ et t, on aura donc des valeurs rationnelles par r, s et y, et ainsi les formules (ι ο ) et (xi) donneront la solution générale de l'équation (9) en nombres rationnels. Les deux valeurs (11) peuvent être réduites à une seule, parce que la seconde devient identique à la première si l'on y change ρ en " ~1, PURES ET APPLIQUÉES. 185 ce qui ue change pas l'expression de r. De la première de ces va-leurs (n), on déduit (ia) x — "(* — ')(* + ' —p)r . ri — !-(-/)' ' voilà donc la formule qui, jointe à la formule (10), donnera la solu-tion générale de l'équation (8) en nombres rationnels. Si nous prenons t — ι, ρ — η — ι, nous trouvons r — i, χ = i, solution qui est très-connue. Prenant ri' — ι ρ = 5 on aura 2 rit2 rit2 r = 2n2-1, x= 2n2-1, par conséquent il viendra χ = r, r — 2, si l'on pose (.3) a η2 — ι = η21-, c'est-à-dire 2«'- — ι carré, ce qui correspond aussi à une solution connue. Les valeurs de η qui satisfont à l'équation (i3) sont comprises dans la formule (i4) ' _ (^2+ — l)' 2 ys où i indique un nombre impair positif, 70 Les anciens arithméticiens ont observé que les nombres χ = 3, γ = ί\, z = 5, î = 6 vérifient simultanément les trois équations (i5) XJ = 2S, X- -h J - = Ζ1. Ά3 -ri J3 -)- z3 ~ ,v3 : Tome XI (*ie série). — MAI I8ÎJ6, 24 186 JOURNAL DE MATHÉMATIQUES on peut démontrer que, parmi les nombres entiers, ce sont les seuls qui jouissent de cette propriété. Car la solution la plus générale de la deuxième des équations (i5) en nombres entiers est ;r—m(a2 — b2), y = 2inab, ζ — m (a2 + b2), si m, a, b sont des nombres entiers, dont les derniers a et b peuvent être supposés premiers entre eux ; par conséquent la première des équations (i5) donnera s — m2ab{a2 — b2), et en substituant le tout dans la troisième on aura 2 (a* + 3b* -l·- 4ab3) — m3 ab3 (a2 — b2)3. Il suit de cette équation que doit être un nombre entier, et en supposant b premier à a, sera b2 diviseur de 2, et par conséquent b = ι. Donc 2 {a" -+- 3 H- 4a) = m3a(a2 — ι )% c'est-à-dire, en divisant par a ■+- ι, ι (a — ι)2 + 4 = ιη3α{α2 — ι) {a — i)1; et par conséquent 4 divisible par (a — ι)% ι divisible par a — i, et ainsi, a — 1=2, 011 bien a — 1 = 1, ce qui donne /7 = 3, ou bien a = 2. La dernière équation par a = 3 deviendrait 12 = m3 . 3 . 8 . 4> c'est-à-dire 1 = 8 m3, ce qui est absurde avec m entier : il reste donc seulement a = 2 qui donne 1 — m3, m = ι, et par conséquent les valeurs déjà indiquées de χ, χ, ζ, s. Au lieu de la troisième des équations (i5), on pourrait proposer la suivante plus générale (16) x3 + y3 -4- ζ3 = s"lj PURES ET APPLIQUÉES. 187 dans laquelle t est une nouvelle inconnue et η un exposant donné en-tier et >■ 1. En procédant comme auparavant, on trouvera une équa-tion 2 (a* -t- 3bl -(- 4cib*) = m'in~3 a"~2 If (α2 — 42)"ί, de laquelle on déduira entier, et par conséquent h = 1, si l'on veut que t aussi soit entier. On aura ensuite 2 (a — i)2 -f- 4 = nrn~3a"~2 (a — 1 )n(a -h i)"~21, et pour cela .—5—. et —-— entiers, d'où a = 3 ou bien a = 3. Pre-nant α = 3, on trouve 12 = m-"~3 . 3"~3 .4"_3i, ce qui, pour η > 2, donne l'égalité - = m2"-3. y~3. 4n^81, absurde avec m et t entiers; et pour η = a donne 3 = mi, et par con-séquent m = 1 et i =■ 3, ou bien m = 3 et t = Ï. Prenant β = 2, on a 6 == m2"-*. a"-2. 3"-21, ce qui est absurde lorsque η > 3, donne m — t—i si η = 3, et mi = 6 si η — a, de sorte que l'on a alors pour m et t les valeurs 2,3; 1, 6. 24.. 

Note sur quelques sommations de cubes

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