Mathy, E.

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E. MATHYExpression des composantes de l’attraction d’un ellipsoïde homogènesur un point extérieur, au moyen des fonctions θ et ζJournal de mathématiques pures et appliquées 5e série, tome 2 (1896), p. 305-316.<http://www.numdam.org/item?id=JMPA_1896_5_2__305_0>Article numérisé dans le cadre du programmeGallica de la Bibliothèque nationale de Francehttp:// gallica.bnf.fr/et catalogué par Mathdocdans le cadre du pôle associé BnF/Mathdochttp:// www.numdam.org/ journals/ JMPAATTRACTION D'UN ELLIPSOÏDE HOMOGÈNE. 3o5 Expression des composantes de l'attraction d'un ellipsoïde homogène sur un point extérieur, au moyen des fonctions θ ci ζ ; PAR M. Ε. MATHY. I. — Expression par les fonctions 6. 1. Soient «, 6, c les demi-axes de l'ellipsoïde et m le point extérieur. Cet ellipsoïde se décompose en couches infiniment minces à surfaces homothétiques à l'ellipsoïde extérieur; désignons par α, β, γ les demi-axes d'une quelconque de ces couches. Par m, faisons passer une couche homofocale à chacune des précé-dentes ; soient α' β' γ' les demi-axes; mn = e l'épaisseur de cette couche en m et OQ = P' la distance du centre Ο de l'ellipsoïde au plan tan-gent en m, i le point d'intersection du rayon Ο m avec la surface inté-rieure de la couche passant par m. Les deux triangles min et OQm donnent OQ.mi P'd'f Prenant ~ = u comme variable et désignant par Χ, Y, Ζ les com-posantes de l'attraction, on sait qu'on peut leur donner la forme sui-Journ. de Math. (5* série), tome II. — Fasc. III, 1896. 4^ 3o6 ΜλΤΗΥ. vante (') : (Ο >[F(A)(g + f? ) -KF ■- AF')(| + $)] = o; V Y= — 3Μ;η=ζ f if* Γ, >[F(A)(g + f? ) -KF ■- AF')(| + $)] = o; Ces formules se réduisent à X = - 3 M m x d.l' f, Y = -3M;»i^, Ζ = -3Μ,η4.1\ F représentant l'intégrale (=) j | Ç h cibi </î24· d't-Je me propose de rechercher la valeur de F. A cet effet, je pose; tu — /, d'où du=^ γ dl, lu = j,l = y/-ç21 ~ hl\ h est réel et plus petit que i, car dans l'ellipsoïde, on peut toujours supposer α > ù > c. Cette variable auxiliaire transforme l'expression de F qui devient (3) (toc) f A,[2«OLP-H(F-AP)(^S - %*)] = (') Voir, par exemple, M. M. KESAL, Afécani/ac céleste, 2e édition, p. ig8. ATTRACTION D'UN ELLIPSOÏDE HOMOGÈNE. 3θ7 Je fais la substitution ('.) (.06) = du>[2jΟζ,F d'où di = _ μ2(ιΟν(',) + λ2(ρ)ν(ο)^_ v(t>) ^ Comme (4) conduit à |i.2(c) = et v(t>) = i/ t > il vient di = J(\ ■+-l-)(i-l· k'*Î2)dv ou dv — —— ^ En comparant cette formule à (3), je remarque qu'on obtient, pour le module complémentaire, k'= h — * /bl~~c<t. £ vaut. a'~ b\ L'intégrale (3) prend la forme (>) ρ-ΐΓ~ί>ίΛ. La fonction a Pour périodes ω et ω' et possède, dans le parallé-logramme des demi-périodes, un seul pôle double e= la formule connue de M. Hermite f$=r'[$3-D,|o*e'H ( k' étant égal à permet d'écrire, après intégration, (6) F = sK'-Dl»S».W; La composante Ζ est donc déterminée en fonction de 02. (*) Les notations λ, μ, ν, ft, β,, 02, ft3 sont celles de Briot et Bouquet. 3o8 ΜΑΤΗΥ. Pour obtenir Y, il faut dériver le produit /F par rapport à Z, avec cette remarque que ν est indépendant de l puisque = Vu. Quant à X, comme F est symétrique en V et Z, je suivrai la même règle pour déterminer sa valeur; à la limite supérieure, on aura λ ( c) —c* }i(e) ~~ C' En remplaçant Ζ et V par -—-—— et-—-——, il vient les formules suivantes : λIft _ y/''* — <* x= 1 O5f"-Dlo8e»(<') . À ( ν > _- %*)] (7) Y= 1-1 efrsr" — D1°g°î(^) „ Ç h cibi / A>[F(A)(g + f? ) -KF ■- AF')(| + $)] = o; 2. Il est évident qu'on peut obtenir directement X et Y. Si l'on re-prend la formule que suppose le calcul précédent e = 52^f, et qu'au lieu d'égaler cette quantité e à ,l , on l'égale à ——, alors, en pre-nant comme variable ~ = «3, des calculs semblables à ceux qui ont fourni Ζ (') conduisent à .1 (8) y du>[2jΟζ,F' + (F - /<F')(f - % + | - £)] = (') Resal, déjà cité, p. 196. ATTRACTION D'UN ELLIPSOÏDE HOMOGÈNE. 3°9 En vue de l'intégration, soit d'où ,F' + (F - /<F')(f -A>[F(A)(g + f? ) -KF ■- AF')(| + $)] = A2 ayant la même valeur que précédemment. En ayant égard à ces valeurs, je puis écrire (8) sous la forme /««-C* <9) X=-3Mm—f ' Pk f. Si /3 = λ(ρ3), cette expression devient (,o) x = =3Mm^ Γ r.(v>)dv^ Or, dans le parallélogramme des demi-périodes, la fonction double-ment périodique λ2(ρ,) possède un pôle double en vertu du théo-rème de M. Hermite, on a (toc) f A,[2«OLP-H(F-AP)(^S - %*)] Conséquemment, en intégrant et remplaçant k2 par ̂  __ ^ > . _ Jlt* — I -(") X = 1 0iJTp>-Dloge(l'j) Pour calculer Y, je choisis comme variable ~ = w2 ; ainsi ο (ιοβ) f cfefiiflLP + iF-AP)(f? - ©] = °. 3ιο ΜΑΤΗΥ. Posons encore —-j-r~u\ = i\ ; il en résulte du.y = -—r î//2, (a2 — c2)* du>[2jΟζ,F' + (F - /<F')(f - % + f cfefiiflLP + iF-AP)(f (Γοι'ι v/rt« _ (·5 f h ί/ω [ *1 + r, l ) — «-/ζ* do>c Ç h cibi Kn faisant ^^> par des calculs analogues à ceux qui ont servi dans la recherche de Z, on obtient dl, = ^ r, (t + kH\Y{i-k"t\)ï Y = — Γ ' "gsU·.. La décomposition de se faiten remarquant que le pôle double ω -+- ω' est —-— el que, par suite, d'où ν2((·ο) ~~ ASA'2 Le»(°) ° ^ . (13) Y - («'-&«) (ê'-e')Le,(o) 2 °S"»v Les variables ρ,, P3 sont égales aux limites d'intégration; aux limites inférieures, elles sont nulles toutes trois; aux limites supé-ATTRACTION ϋΧ'Ν ELLIPSOÏDE HOMOGÈNE. 3l I ricurcs, on a λ^·ν~" a' * X(t>8) \Ja}— c* v(c2) b' * λ^·ν~" a' * et ces trois formules se ramènent aux trois suivantes : A('·.) = V , > U^)=7J===Jr-< Α(|·)=74=====. (jui sont égales à cause de la relation a— ar — b'2 — b- — c"~ — c2. On peut rapprocher ces nouvelles formes tie X et Y de celle de Ζ el les écrire comme suit : *■ = ,,·. ΤΓ7ι1|__. " , (4) tes ó cri r_C-CQin i LI c„suil_i ; L· = τ—τ, Γ77—■> 7VT I — 7^7—r y — C~ +· y CL" — C D loc Oo ( I II. — Intégration par les signes j> et ζ. Dans le calcul suivant, les fonctions de M. Weicrslrass ont été uti-lisées pour exprimer la valeur des intégrales précédentes. Parlant de «r ; L· = τ—τ, Γ77—■> 7VT I — 7^7—r y — C~ +· y CL" — C D loc Oo ( I 3l2 ΜλΤΗΥ. je pose d'où ce qui donne «* _ 1 à1 ~~ pe —e3' 0 (pf—■«»—a2 + Z>1)* (pe — es-t-c*— a2)1 (pe — 63)' 0 (pf—■«»—a2 + Z>1)* 0 (pf—■«*— a2)1 (pe — 63)' (pe — 63)' 0 (pf—■«»—a2 + Z>1)* (pe — es-t-c*— a2)1 (pe — 63)' La théorie de ρ conduit à poser puisque e3 h- α2 — c~ = e,, c3-f- λ2 — δ2 = e2, c, -h e2 ■+· e3 = o, e3 = ±(b2-h c2— 2a2). En remarquant que p'p = — 2 ~~ ei)(pv ~~ ^a)? X deviendra X = ~ (e3-g,)(e3-ei)i [P("+ »·)-«.]*. Cette expression s1intègre en appliquant la formule alors c>6) λ =(ςΐ^7ΙΓ^[ζ(<)+ <»,)-η,+ «,.], I ou c>6) λ =(ςΐ^7ΙΓ^[ζ(<)+ <»,)-η,+ «,.], I ou encore \ x= (n«_é.)(<l._c.)[i('-'-,-<0j)- 1> + c»t'] (p est défini par pv — e3 = d!r). ATTRACTION D'UN ELLIPSOÏDE HOMOGÈNE. 3ι3 ï Y et Ζ prennent des formes analogues, en posant TJ = w — e Pour le calcul de Y, et — =u2 = pv- c1 pour celui de Z. L'expression (16) de X ainsi que celles de Y et Ζ concordent avec celles que je déduis d'une formule donnée par Halphen ('). Ρ désignant le potentiel d'un ellipsoïde homogène sur un point ex-térieur; α,, a2, αΛ les carrés des demi-axes de l'ellipsoïde ; a, fi, γ l'un des trois nombres i, a, 3, on a (.7) ρ = ̂ν^,α2«ψ<+2;ι^—|-=^-[ζ(«+ωα)«lj, α la transcendante u est définie par ^ = ^(α,-Ηβ24-α3)-'·«» /·. étant la racine négative de >, a = 1 α Je dérive (17) par rapport à x% et j'obtiens TÛT = er.fl,ϊ7Πτ + ((73-^)(^_Γ/γ) KO + ω.) - η. + β.ιι] TÛT = er.fl,ϊ73-^)(^_Γ/γ) KO + ω.) - η. + β.ιι] Cette valeur se simplifie, car, en remplaçant p(u -+- ωα) — <\ par (ez -eb) (ex- ey) dans la troisième partie de la somme entre accolades, il vient - ÉkΣ {e,-^L-er) lP(" + ω«> - e>1 Λ du NTI .r| du d.u% Ad pu — e% dxz ' Λ 4 puisque ̂  *1 e% = » et que (aa-ap) (aa~ aj = (<?, - cp)(<?α- <?γ). (') HALPHEN, Traité des fonctions elliptiques, 2e Partie, p. 492. Journ. de Math, (j* série), tome II. — Faso. Ill, 1896. 4 ' 3ι4 MATH Y. Cette valeur étant reportée dans ( 18), on conclu! (><>) ( = ; A . [ζ((ί 4- (B ) — Jj H- cm] ! =7 τ[ζ(« + ωα) —/]a-f-eaw|. M est la masse de l'ellipsoïde. Note. — Ρ a été obtenu par la considération de l'équation des potentiels avec les arguments elliptiques ; je vais établir directement cette question. On sait que, si xx est une coordonnée rectiligne, Τ = /(j?*) satisfait à l'équa-tion des potentiels, si ̂  = o. Mais, xx étant fonction des arguments «, c, « u·, celle égalité se transforme en ^ Zd^du- \dxx) 2 dudv dxx dxx +* dxx dxi " J — °' Λ 11 faut calculer séparément I -z— ) j ~z— -z—, -r-ï> s appuya"l *ι,ι· (3) g _ (,P" — gq) — e%) (Ρ"' — e*) (βα—e^)(ee—e7) * Comme la qualité E (pu-ex)2, entre dans ces expressions, j'en cherche la valeur. De (2), je tire ( y ,r» — y (g«—ργ) (g*—.p>r) x » (3) — (.Ρ'1 ~.ΡΓ) (,P" ~,P"'^ _ -U.P" — .pi'H.P" — pu'l L'équation E pu-ex = 1, dérivée par rapporl à xX) donne (3') pu — ex J dvx Ad (pu— ex)* ATTRACTION D'UN ELLIPSOÏDE HOMOGÈNE. 315 qui s'écrit, en vertu de (3), v dxa *(pu — ex)(pu — pv)(pu — pw) Donc, 2 J - 2d (pu - eu)' * 4(p„_pl,)(p„_p„,)' A cause de (3), il vient (5) Zk\dx~J ~~ (j ni—pv){pu—pw)' 3 Je reprends la formule (4) pour la multiplier par la valeur analogue -Φ— > et j'étends le produit aux xx. 2d dFu dSl - 2d (pu - eu) (p.. - «.) 4 ( '(pu- p,„) (pu, _ pu)' Mais E (pu - ex) (pv - ex)=0; donc α (6) Σ  du dv = 0. α Je dérive l'équation (3') une seconde fois par rapport à χΛ, et j'obtiens pu—e% (pu — βα)* dx^ P \άχΛ) 2i (pu — ea)â κ 3J> U \dxoJ 2 (pu — euy X P U dx\ 2d (pu — e*y ~°' Dans la somme relative à xx, le premier et le troisième terme s'annuleront; en efl'et, le troisième terme, déduit des valeurs précédentes, est égal à — ; le p' u premier terme vaut h—car p' u p'u~ = bipu — e*) (pu —e$) (pu~ey) 3ι6 MATH Y. — ATTRACTION D'UN ELLIPSOÏDE HOMOGÈNE. et p"u ~2[(pu — e«) (jd« - ep) + ...]. Le deuxième et le quatrième terme se réduisent à ο également; en eiïel, si je substitue à sa valeur donnée par (4), le deuxième terme devient ^χΛρ'u du u {pu — <?«)* άχΛ {pu — ea)3 {pu — pv){pu—p(v) * et en sommant, on obtient — a p'u* V* ·*« (p« — — jw) ^ (j>« —*«)'' et à cause de (5) (p« — — jw) ^ (j>« —*«)'' qui est bien égal et de signe contraire au quatrième terme qui figurera dans la somme. Finalement. j et (i) se transforme en E dx2& = 0. — (jm' -p,v) + _(p»v-pw) + -{pu-yy qui est l'équation des potentiels. 

Expression des composantes de l'attraction d'un ellipsoïde homogène sur un point extérieur, au moyen des fonctions $\theta$ et $\zeta$

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