Serret, J.-A.

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J.-A. SERRETRemarque sur un mémoire de M. BertrandJournal de mathématiques pures et appliquées 1re série, tome 14 (1849), p. 135-136.<http://www.numdam.org/item?id=JMPA_1849_1_14__135_0>Article numérisé dans le cadre du programmeGallica de la Bibliothèque nationale de Francehttp:// gallica.bnf.fr/et catalogué par Mathdocdans le cadre du pôle associé BnF/Mathdochttp:// www.numdam.org/ journals/ JMPAFUF.ES ET APPLIQUÉES. iH5 REMARQUE SUR UN MÉMOIRE DE M. BERTRAND; PAR M J.-A. SERRET Dans un Mémoire qui fait partie du xxxe cahier du Journal de l'Ecole Polytechnique, M. Bertrand a démontré ce beau théorème : Si une jonction de τι quantités a moins de η valeurs, elle n'en a au plus que deux. Ce théoreme avait été démontré auparavant par M. Cauchv pour le cas de η premier ou égal à 6. La démonstration de M. Bertrand exige qu'entre ~ et η — ·ι il y ait un nombre premier ρ : ce fait a été vérifié pour les valeurs de η supé-rieures à 7, jusqu'à 6000000; mais comme il n'a pas lieu pour n — G. M. Bertrand a cru son raisonnement en défaut pour ce cas particidier. Ayant eu l'occasion d'enseigner cette théorie à la Faculté des Sciences, j'ai reconnu que si ^ est un nombre premier, 011 peut prendre ρ = -■ sans que la démonstration éprouve aucune modification. Le lemme suivant, sur lequel est fondé le théorème principal, continue en effet d'avoir lieu : Si une jonction de η lettres a moins de η valeurs, on pourra Jortnet deux groupes, l'un de ρ lettres, Vautre de deux lettres, tels que la jonction ne soit pas changée par une permutation circulaire opérée sur l'un de ces groupes. Seulement ce lemme serait en défaut dans le cas où i'on prendrait ρ = ^ si, au lieu de ces mots, a moins de η valeurs, on mettait ceux-ci, η a pas plus de η valeurs ; d'où il suit qu'on ne peut plus dire 136 JOURNAL DE MATHÉMATIQUES avec M. Bertrand, dans le cas de ρ = ^ si une Jonction de η lettres a η valeurs, elle est symétrique par rapport à η — L lettres. Cette dernière assertion est la seule qui ne soit pas démontrée par la méthode de M. Bertrand, lorsque entre η — ι et il n'y a pas de nombre pre-mier, mais que ~ est premier. On sait d'ailleurs que cette assertion est inexacte pour les fonctions de six lettres. On voit, par ces remarques, que les recherches de M. Bertrand rendent inutile la démonstration ingénieuse, mais bien compliquée, de M. Cauchy pour les fonctions de six lettres , puisque - ou 3 est tin nombre premier. 

Remarque sur un mémoire de M. Bertrand

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