Lebesgue, V.-A.

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V.-A. LEBESGUEExtrait d’une lettre adressée à M. LiouvilleJournal de mathématiques pures et appliquées 1re série, tome 11 (1846), p. 336-337.<http://www.numdam.org/item?id=JMPA_1846_1_11__336_0>Article numérisé dans le cadre du programmeGallica de la Bibliothèque nationale de Francehttp:// gallica.bnf.fr/et catalogué par Mathdocdans le cadre du pôle associé BnF/Mathdochttp:// www.numdam.org/ journals/ JMPAJOURNAL DE MATHÉMATIQUES KXTRAIT D'UNE LETTRE ADRESSÉE A M. LIOUVILLE, PAR M. V.-A. LEBESGUE. « Bordeaux, le ^5 juin » Un de mes collègues vous remettra sous peu une Note rela-tive à la théorie des nombres, et la partie d'un Mémoire sur les surfaces du second degré, qui traite des parallèles qui ont pour axe un des axes principaux de la surface. C'est le cas le plus simple et le seul jusqu'ici qui m'ait conduit à quelque résultat remarquable. Vous avez vu, mon-sieur, par ma dernière Note, que j'appelle parallèle d'une surface le lieu des points de cetîe surface pour lesquels la normale fait un angle constant avec une droite fixe nommée axe du parallèle. La considé-ration des parallèles facilite surtout la quadrature des surfaces du second degré. On parvient ainsi en quelques lignes à la formule de Legendre pour l'ellipsoïde, et l'on reconnaît, pour l'ellipsoïde et l'hy-perboloïde à une nappe, l'existence d'un théorème analogue à celui de Fagnano sur les arcs d'ellipse. Quant aux théorèmes plus généraux de M. Chasles, vos dernières recherches sur les lignes géodésiques des surfaces du second degré me font douter que leur extension dépende de la théorie des parallèles. Je vous ferai remarquer, monsieur, que le théorème de M. Joachimsthal, dont on vous doit une démonstration géométrique [*] peut s'énoncer ainsi : « Toute ligne de courbure plane est un parallèle dont l'axe est per-il pendiculaire au plan de la courbe. » (*] Voir page 87 du présent volume. Je profiterai de l'occasion pour ajouter la re-marque suivante à l'article cité par M. Lebesgue. Il est prouvé, dans cet article, que · le long d'une ligne de courbure quelconque, la variation infiniment petite qu'éprouve » l'angle compris entre le plan tangent à la surface et le plan oscillateur de la courbe , » quand on passe d'un point à un autre point infiniment voisin, est toujours égale PURES ET APPLIQUÉES. 33 7 » Voici une propriété curieuse des directrices : « Pour l'hyperboloïde à une nappe et pour le paraboloïde hyper-» bolique, les plans menés par les directrices des sections principales » et perpendiculairement à leurs plans, sont des parallèles. » » Il y a un théorème analogue pour l'hyperboloïde à deux nappes. » J'ajouterai encore que l'aire S d'un segment elliptique ιαβχ2 = β/2 + αζ2, déterminé par le plan χ — α, est donnée par la formule 8«v'a«S '■ \ Γ dQ Γ jù / M Γ <10 où l'on suppose α > β, n = —— - , A'2 = ( 1 — -*)-η, Δ = y' 1 — A".sin2 6. » La fonction elliptique complète de troisième espèce peut être éli-minée par une formule de Legendre. » ; l'angle que forment entre eux les plans oscillateurs relatifs à ces deux points. » Cela posé, admettons qu'une ligne de courbure soit en même temps une ligne géodesique; l'angle du plan tangent à la surface avec le plan osculateur de la courbe sera constam-ment droit: sa variation étant nulle, les plans oscillateurs successifs feront entre eux des angles nuls; la courbe sera donc plane. Ce dernier théorème est dû à M. Jacobi home II de ce Journal, page 1^9). Il est curieux de le retrouver ici. (J. I.TOUVILI.E.) Tome λ 1 ■ Smi.MFCIIE 18^6. 43 

Extrait d'une lettre adressée à M. Liouville

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