Lebesgue, V.-A.

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V.-A. LEBESGUEDémonstration nouvelle et élémentaire de la loi de réciprocité deLegendre, par M. Eisenstein, précédée et suivie de remarques surd’autres démonstrations qui peuvent être tirées du même principeJournal de mathématiques pures et appliquées 1re série, tome 12 (1847), p. 457-473.<http://www.numdam.org/item?id=JMPA_1847_1_12__457_0>Article numérisé dans le cadre du programmeGallica de la Bibliothèque nationale de Francehttp:// gallica.bnf.fr/et catalogué par Mathdocdans le cadre du pôle associé BnF/Mathdochttp:// www.numdam.org/ journals/ JMPAPURES ET APPLIQUÉES. 4^7 Demonstration nouvelle et élémentaire de la loi de réciprocité de Legendre, par M. Eisenstein , précédée et suivie de remarques sur d'autres demonstrations qui peuvent être tirées du même principe ; PAR M V.-A LEBESGUE, Correspondant de l'institut, Professeur à la Faculté des Sciences de Bordeaux. La démonstration de M. Eisenstein, dont je veux parler ici (car M. Eisenstein en a donné plusieurs), est celle, qui a paru en 1844 dans le tome XXVII du Journal de M. Crelle. 11 est dit, dans le préambule , que dans l'espace de près de trente ans, on n'avait rien ajouté de nouveau aux six démonstrations de M. Gauss. Désirant connaître le fondement de cette assertion, j'ai relu les six démonstrations de M. Gauss et celles qui sont parvenues à ma connaissance; j'ai été conduit à quelques remarques que je vais exposer brièvement : i". La démonstration de M. Jacobi, communiquée à Legendre en 1827, et qui a paru en 183o dans la troisième édition de la Théorie des Elombres, on, ce qui revient au même, la démonstration donnée par M. Cauchy, en 1829, dans le Bulletin de Férussac, peut être regardée comme une simplification de la sixième démonstration de M. Gauss. 2°. Le principe fondamental de la démonstration nouvelle et élé-mentaire de M. Eisenstein paraît emprunté à la sixième démonstration de M. Gauss. En d'autres ternies , ces démonstrations emploient le développement suivant : "Σ (j) up x' q = e q Tome XIl — λυνρ.ΜΒΒΓ. iSj1? 58 458 JOURNAL DE MATHÉMATIQUES où le symbole représente -+- ι si i est résidu quadratique du nombre ρ, premier impair et positif, et — ι si i est non-résidu qua-dratique de p. M. Gauss suppose x tout à fait indéterminée. MM. Jacobi et Cauchy supposent ocp = ι , ne imaginaire. M. Eisenstein suppose χ1' = ι, χ = ι. o°. La démonstration que j'ai donnée dans le tome 111, page i4^ de ce Journal ( Recherches sur les Nombres), peut être considérable-ment abrégée par l'emploi du développement indiqué plus haut, ou plutôt par celui-ci, i = p-1 E i=1 xi, 7 qui s'y ramène immédiatement quand xp — i. I. I. La sixième démonstration de M. Gauss dépend du développe-ment de la somme ξ = Σ x' élevée à la puissance q. L'auteur, qui emploie une autre notation, commence par montrer que la quan-tité ξ» _(_,)'■/ρ est divisible par ι -i- χ + x2 -t-... -t- xp~* — Σ x'; le nombre ρ est supposé positif premier et impair. La quantité x est tout à fait arbitraire. On voit donc que pour xp = ι, on a ξ2 — (— 0 2 ρ -- Ο, ce qui avait été déjà prouvé par le même auteur dans ses Recherches arithmétiques ■ PLUIES ET APPLIQUÉES. 45g ΛΙ. Gauss donne ensuite line double expression de la somme £7, d'où résulte une identité qui conduit à la loi de réciprocité. 2. La rédaction cpie Legendre a donnée de la démonstration de M. Jacobi n'est pas complètement satisfaisante. D'après une Note qui se trouve à la page 17a du tome XXX du Journal de M. Crelle, la démonstration de M. Jacobi serait celle que M. Eisenstein a exposée dans un article intitulé : « La loi de réciprocité tirée des formules de » M. Gauss, sans avoir préalablement déterminé le signe du radical » Journal de M. Crelle, tome XXVIII). La démonstration de M. Cauchy n'est qu'indiquée dans le Bulletin de Férussac (septembre 1829) : elle se trouve avec tous les développements nécessaires dans la quatrième Note du Mémoire sur la théorie des nombres (Mémoires de Γ Aendémie royale (les Sciences, tome XVII). Voici, avec une légère modification , la rédaction de M. Eisenstein. Soit: •-ς'(?)«·.'ΊΣ φ —%-(*)·» comme on a s- = (- 0 2 p, d en résultera. ς 7-1 = / I ! 2 2 ρ' ■! d'oii S.S7 — I p.i— I p~; d'ailleurs S'Sv - - O^XJ)' donc s (S7 - S,,) = - I LΡ -1 1 ' Λ /' - (p Mais on reconnaît tout de suite que S7 — S? se réduit à une somme de termes de la forme qkx1 011 À est entier, pourvu que q soit un nombre .18.. 46o JOURNAL· DE MATHÉMATIQUES premier et impair; il en sera donc de même de S (S? — S9), et l'on aura m — (— r) 2 ρ (- 0 a" 2 Ρ 2 - Γ-)(- 0 a" 2 Ρ 2 - Γ-) — q (A4- Bar Car''-"2 + Hxp-1). Soit donc l'équation m = g (A + Β χ -t- ... Gxp~2 + H xp~' ), où m, q, A, Β,..., II sont des nombres entiers; comme on a çrH(i + a: + .r2 xp~<) = ο, l'équation précédente deviendra m = q[(A — H) -t- (B — M) χ -K..-+- (G ~ Iijxp~2]. Or l'équation I X + X 2 -+-... + ΧΡ~' = Ο est irréductible : il faut donc qu'on ait Β = H, G = H, et m — q (A — H), ce qui montre que q divise m, et, par conséquent aussi, (- 0 2 ' 2 Ρ 3 - (|)' puisque q est premier à p. D'ailleurs qp = (-1) p-1 pq), est aussi divisible par q ; il suit de là que qp- (-1) p-1 2 q-2 2 (pq), sera également divisible par q, ce qui ne peut arriver que pour qp = (-1) p-1 2 q-2 2 (pq), ce qui est la loi de réciprocité. PURES ET APPLIQUÉES. /46) <">. Cette démonstration a été donnée comme la plus courte; mais si l'on remarque qu'elle suppose la démonstration de l'équation ?' = (-«) a P, on reconnaîtra qu'elle est réellement plus longue et d'ailleurs moins simple que la troisième démonstration de M. Gauss. Quand on fait in-tervenir l'équation xp — 1 dans la démonstration de la loi de récipro-cité, la démonstration la plus courte est, ce me semble, celle que M. Liouville a donnée dans ce Journal (février 1847); l'équation ¥ = (-1) 2 ρ est remplacée par la suivante, où ρ est une racine imaginaire de l'équa-tion xp — 1, ρ = (- 0 2 (ρ* - p~')a(p2 - p-2)2··· \p 2 -p aJ; l'élévation à la puissance — 1) donne, comme on le voit aisé-ment , We-P~" / = tWe-P~" / = tWe-P~" / = tWe-P~" / = tWe-P~" / = tWe-P~" / = t Cette équation , comparée à celle-ci, (qp) = i ( P = (- 1)2 π (ρ«-ρ~«γ, donne immédiatement la loi de réciprocité. Quant à l'équation fondamentale P = (- 1)2 π (ρ«-ρ~«γ, où α = r, 2, 3,..., c'est une conséquence presque immédiate de l'identité 1 + a: H- χ2 x1' 1 = [χ — ρ) (χ — ρ2,... χ — ρρ~'). 11 est à remarquer que l'équation ?' = (-«) a P,?' = (-«) a P,?' = (-«) a P, 46-j. JOURNAL DE MATHÉMATIQUES revient à (pq) = I B p2u q sin B 2u q cette équation, combinée avec cette autre (pq) = I B p2u q sin B 2u q (B=1 B=q-12) , a conduit M. Eisenstein à une démonstration qui a son analogue dans la théorie des résidus biquadratiques et cubiques. Voyez son article sur l'application de l'algèbre à l'arithmétique transcendante (Journal de M. Crelle, tome XXIX). II. î. La démonstration nouvelle et élémentaire de M. Eisenstein s ap-puie sur le calcul de certaines sommes ψ (μ, ν), qui se présentent tout naturellement quand on développe E u = E 'ip) xiu = (1p) x+ (2p) +...+ (u-1p) xp-1 υ. dans l'hypothèse de xp — i. En supposant ρ premier, le terme général du développement de ς" sera © (i) - · au, en représentant par a1, a2, .... au, des nombres égaux ou non pris dans la série I, 9., 3,.... ρ — ι. Si donc on pose ci, -j- a2 ~4~ ... -f- clf) zzzn v ( mod. ρ) ? PURES ET APPLIQUÉES. 463 et qu'on fasse Σ(α\ (a2\ iaf\ = y 'u, v), on aura f = ψ (μ, ο) + ψ (μ, ι) χ + ψ(μ, 2)λ-2 ψ(μ, ν)^·' -+- ψ (μ, ρ — ι) ■ Or c'est précisément de la considération des sommes ψ (μ, ν), définies comme il vient d'être dit, que M. Eisenstein tire sa démonstration. Pour χ = ι , ξ = ο, il en résultera donc ψ (μ, ο) ■+ ψ (μ, ι) + ψ (μ, a) +...+ ψ (μ, μ — ι)= ο. Soient d'ailleurs les congruences a, -+ + ...+ α^=Κ, a{~Kbt, a2^Kb2,..., aμ~¥i.bμ (mod.μ). il en résultera , R n'étant pas divisible par μ, bt + b2 +...+ bu~ J (mod. μ); et comme \p)\p) \P/~\P) \P)\P) \P/'\p)\p) \P/~\P) \P)\P) \P/' on en conclura l'équation Ψ(μ»κ)= 0· i°. Soit μ = a λ + ι ou impair, alors ψ (·2 λ + I , Κ) — ^ ψ (2 λ + I , 1 J J de là ψ (2 λ + 1 , ! ) -Η ψ (2 λ +- I , 2) +... -Η ψ (2 λ + I , μ — I ) — Ο , et, par conséquent, ψ (a λ -Ρ ι, ο) = ο. 2°. Soit p. = a λ ou pair, alors ψ (aλ, Κ) = ψ (αλ, ι); 464 JOURNAL DE MATHÉMATIQUES donc ψ (2λ, ο) + (ρ — χ) ψ (a λ, Κ) = ο, ψ(2λ, ο)— ψ (a λ 5 Κ) = — ρψ (a λ, Κ), ψ(2λ, ο) — ψ (a λ, ι) = — ^ψ(2λ, ι ). Par ce qui précède, on ramène ψ(μ, v) à dépendre de ψ (p., i); on peut aussi faire dépendre ψ (μ, ν) de ψ (μ — r, ι). On posera ακ + α2 αμ—, ~ ν — αμ (mod. ρ), (a1 p) (a1 p) (a1 p) (a1 p) x (a1 p) (a1 p).. (au-1 p et il en résultera Ψ(μ>υ) =2("f) Ψ(ρ· - Ο ν ~ α^.), où il faut donner successivement à αμ les valeurs i, 2,..., ρ — τ. Pour ν = ο, on a Ψ(μ>°) =2(^)ψ^~ — a*)> or pour p. = 2 λ, on a ψ (μ — Ο — Ο = ψ (μ— ι, ι), de là ψ(ρ,ο)=2(-^-) ψ (μ — ι, ι), ou bien ψ(μ,ο) = (ρ - ι) ψ (μ — ι, ι), mais, dans ce cas, ψ (ρ, ο)=(ι - ρ) ψ (μ, ι). On a donc, pour μ = a}., ψ (μ, ι) = - (-y) ψ(μ - ι, ι) = ψ (μ, ν). PURES ET APPLIQUÉES. i< Mais si u. = a), -t- Γ, on aura ■il pa λ ·+- ι , y ~ ^ V j ψ (2 λ, θ) -t-(,d + ;J) + - lV) I (,d + ;J) + - lV) I ψ ; 2 λ. 1 = (j) ίψ(;ίλ'°; ~Ψ ν2λ' Of — — ( - I Ρ à ! 2 λ , ΐ). Voici donc le résumé des formules obtenues : ψ (2 /.+·!, ol ~ O, ψ(αλ+ι,ν) = -(-) ζ-» ψ (a λ, ι;. ψ (aλ, ο) — (py-) \Ρ — ι)ψ(2λ— ι, ι), ψ(2λ, ν) = - (~y) φ(2/.— 1.0 On aura donc, pour y — ι, ψ (aλ + ι, ι) = — /?ψ (2λ, ι), ψ (2 λ, I) = - (-y) ψ (2 λ - 1, l) ψ fa λ — ι, ι) = — ρψ(2>, — 2, ι). ψ (3 , ι) = — /'ψ (a, ι), Ψ0». 0 = - (ppr) Ψ(θ '3 et comme ψ(ι, 0 = ι et j —(—-ι) ··» , la multiplication donnera ψ (ι λ -f- I , I ) = ι — I ) 2 ρ , φ(α).+ ι, ν) = (^) {- 1 : 2 "ρ Φ (a λ + ι, ο) = ο, ψ λ, ! '' = ψ (2 λ, ν) = — (-U 2 'ρ , ψ (2 λ, θ) = (-ΐ) ' ( ρ— 1 )ρΧ~ι. on aura, par exemple, ψ (a, ι) — ψ (2, y) = — (— ι) 2 , φ (2. ο) = ! — I ) 2 ( Ρ — I ) , TcmicX!! ?, ι;νΐ'ΛΐΓ'.,[ ιSp . Γ)ό 466 JOURNAL DE MATHÉMATIQUES d'où l'on tirera f = (-i )^p. 5. Pour déduire des formules précédentes la loi de réciprocité, on prendra un nombre premier impair <y, et l'on aura 5 p~— 'H‘b 0 =(- 0 25 p~— 'H‘b 0 =(- 0 2 sous la condition -H (ïj -t-.. (tg — ι (mod. pj. Or il y a un terme qui donne ^ | iïj ~1 - ». » 1 j et, par suite, qaK ~ ι (mod. ρ) ; de là une seule valeur de a,, telle que 0^) = ^'~j· La somme ψ (q, ι) contient donc un terme ( a1p)q = (qp). D'ailleurs des nombres α,, rt2,..., aq, qui ne sont pas tous égaux, donnent, dans le cas de q premier, un nombre d'arrangements mul-tiple de q ; on aura donc Σ £)(?)■·· (?) = (j) + M<<· le nombre M étant étant entier. Il suit de là que (-q—·—p—_( 2)(-q—·—p—_( 2) est divisible par q, et que l'on a , par suite, (qp) = (-1) (-q—·—p—_( 2)(-q—·—p—_( 2) ce qui est la loi de réciprocité. Ρ [1RES ET APPLIQUÉES. 46? III. β. J'ai montré dans mes Recherches sur les nombres que, étant donnée une formule pour le nombre des solutions de la congruence x21"+" X\ + ΧΊ -= a (nl0(l· p) > on en tirait très-facilement la démonstration de la loi de réciprocité. Voici une rédaction simple et. nouvelle de cette démonstration. Représentons par n" le nombre des solutions delà congruence précé-dente, ce. nombre étant déterminé ainsi qu'il suit. On fera les ( ρ — 1) ' arrangements des nombres 1 , 1, 3,..., ρ — ι pris η à <p le même nombre pouvant être répété. Soit OC ι CZ, J OC 2 — #25···? OC q Ci g un de ces arrangements; ce sera une solution si l'on a a\ -t- a\ +...+ a0; ==« (mod. ρ). Le nombre de solutions ainsi obtenues est celui que l'on représente par n". Il faut distinguer trois cas : i°. a — o, le nombre des solutions est n". 2". Soit n un résidu quadratique, on reconnaît de suite que si l'on prend pour a un quelconque des ρ~—- résidus quadratiques de p, le nombre de solutions restera le même, ce qui résulte de ce que tous les résidus sont contenus dans la formule αγ2, où a est résidu. Un remplacera donc ri, par n\ ou nq. 3°. Si a est un non-résidu quadratique, comme aY1 sera la formule des non-résidus, n". conservera une même valeur, quel que soit le non résidu a. Cette valeur sera représentée par rit. De là et de la manière d'obtenir les solutions , 01» tire l'équation n<! +■ —-ς- (nr/ -t- ri,) — ( p — 1)0. Si l'on voulait admettre ο an nombre des valeurs données ans 09.. 468 JOURNAL DE MATHÉMATIQUES inconnues, on remplacerait n,n ηΊ par N,j\ Nv, Ν',, et la relation analogue à la précédente serait Noq+ '-ν (Ν, + κ) = p", les nombres pris q à </ étant ici ο, i, a ,..., ρ — ι, et, par conséquent. en nombre p, 7. Cela posé, à : -+■ .r1 -+- x* χ1 -K..-+- xiP~': = y ρ (— ι) '·» ; ajoutons r h χ X2 + xp"' — o. i! viendra : -+■ .r1 -+- x* χ1 -K..-+- xiP~': = y ρ (— ι) '·» ; dans cette équation on a remplacé les exposants par les carrés qui leur sont congrus ou équivalents. Quant au signe du radical, il reste indéterminé; le radical sera représenté par ξ et disparaîtra du résultat final. L'équation X1 -+- Xk Χ'1' = ξ — 1 donne , par l'élévation à la puissance q et en vertu des remarques laites plus haut, n\ + nv Σχα + ή., Σχ6 — (ς — i)g, en représentant par Σχ" la somme des termes χ"", τ'",.. . avant pour exposants les ^ ' résidus quadratiques, et, de même, par Σχ* la somme des —■ - termes χ·*, a*",..., ayant pour exposants les - ----- non-résidus quadratiques. Comme on a Σχ" ·— Σχ·* - = et ι -■!- Σ.χα *■ Σ.ι1' --- ο. PURES ET APPLIQUEES. d»o ι eu résultera ι -f- a Σχ" — ι -t· a Στ" — - - £ ; ni aura donc ' A'·. a /i" — -f- — «Q ; ~ 2(1 — |)L Eu parlant de l'équation ι -t- a ' + .*/*1 χ p 1 £. on irouverait tout à fait de la meme manière .1)· a Nf -■ N„ — 1ST + (TN7 — NQ ξ — ■>,£'' Calcul dc.i nombres \*J, ΓΝ"γ, \7. 1°.Soit (f — l'équation (B) devra se partager ainsi : 2 Ν y - - m; = 2 ξ'', 1N„ - |N, o: joignant a ces deux équations celle-ci. V/ + '' λ ' Y, -4- IN', ι —p9. : viendra p]V«; y/' -h (/7 - il TNV — Nf ^ N1/ - £'' ι. M1 t=\A~r?, donne ξ1? = — ο a "■> /;T on a donc Ν"- 'u-(-i) 2 './'·ι /' ' - IN,,—V y>*· Γ ■ ' ;/L , Soit <j impair, l'équation (B) se partagera ainsi : 2IN." - Nf/- NI, - ο, Ν7 — Ν1 —■ 2£'v D'ailleurs on a Ν · -+- { N,; ! Nj o..p9 ; 47° JOURNAL DE MATHÉMATIQUES donc Ν f = ρ''-1, N? = pi~< + ξ»-1, Ni = ρ*-' - ξΐ~* ; et comme I?-' =(_,)·,· -i ρ ν. f ou aura Νa=p*-\ #\=ρΡ-*-{-I)~"~P vΝa=p*-\ #\=ρΡ-*-{-I)~"~P v Calcul des nombresand, nq, nq', Si q est pair = a r, en posant ξ — y p( — l) 2 = Vp, / =r ; — l) 2 J , ie développement (ξ — i)? deviendra (ς — i)? = Ρ — Q|; en posant Ρ = (ρίγ + {pi)r <+...+- q'~ pi +1=1+ /H.R. R — ipiy-' + -y - - (/»')r~8+....+q.q-1 1.2 Q - q ipiy-' + L'L^r- ipi)'-* +···+ '/' on aura les équations a -( n,, + ) = aP, = -aQ, 2 «*' + ( ρ — ι) («?+«, )—aQ> —i't*r qui donneront nqo = (p-1) (p-1 q-1q+1 p + iR -, /2 ^ ^——i — ?R — Q, η, - - '''"i - /R + Οη, - - '''"i - /R + Ο Si q est impair = ir + i, on aura (| — ι)* = PS — Q, Ρ ( pi y + ----- (/"')r ' +■■· + q, Q = Ί (pi)r+ y'V^3 (f)'"' +··■+ —-2 ,/"'+' = ' + PiR ! R = 7rp/)- + ̂ ^|=3 (/,/)-+...+ ̂  PURES ET APPLIQUÉES. 47 t On aura, de plus, les équations 2«0 — nq—ri,, = - A Q, — 2 P, 3 «'' 4- (ρ — Ι)('L)='*{[> —i)9R d'où l'on tire <=(p- i) p - 1) q-1 1 p - iR n'n = (p-1)q + 1p + iR - P. n'n = (p-1)q + 1p + iR - P. H. Pour tirer des formules précédentes la loi de réciprocité, il tant d'abord remarquer que la congruence x2 ~ ni (mod. p) a toujours deux solutions, quand elle est possible : l'une de ces solu-tions étant χ — ζ, l'autre sera χ — p — z. Il suit de là que les nombres 7/,?, nq, n\: sont de la forme a»s,°, a»s„ 2"s;, c'est-à-dire multiples de 1,''. Quand la congruence x\ -+- x\ -4- ...4- x2 ~ a (mod. p) est satisfaite par X2 Ύ% ■ —■ rvI '2 on a qx\~a (mod. p). Ainsi ( qx,)2~ aq (mod. ρ), nq doit être résidu quadratique de p. Réciproquement, si aq est résidu quadratique, on pourra résoudre qx\~a (mod. ρ), et la congruence sera satisfaite par x21 = x22 = ... = x3. Il suit de là que ΓΟΙΊ a S7 = </Q 4- 1 si q est résidu quadratique de ρ, et S? = ^Q si q est non-résidu ; ίχηι JOURNAL DE MATHÉMATIQUES car des nombres χ®,..., inégaux donnent un nombre de solu-tions multiple de q, si q est premier. De même S,', = q Q -+- ι si q est non-résidu quadratique de p, et S', — qQ si q est résidu quadratique. D'ailleurs on a nq 2 Sf/, ri. ~ a S', (mod. q) : ilorii· n„ ι -h (-) (mod. q), n'q =1 ~ îj'j (mod. q). Pour le cas de q premier impair, l'équation nq = (p-1)q+1 p + iR +P ion tie nq — pq~K x) 4 2 ρ 2 (mod. q); d'ailleurs «,= i+ (î) (mod. q), de là = ι) 2 2 ρ 2 (mod. q), ce qui revient à la loi de réciprocité (qp) = (-1) v-1v2 q-1 (Pq) Si l'on voulait employer les valeurs de N?, il suffirait d'établir la formule N? = nq -t- qnf/_( -f- —ρ ? - nq -i + ...-+- qn,, d'où H , = Ny - N?_2 + ?N(, PURES ET APPLIQUÉES.473 Pour le cas de q premier, il en résulte Nq = nq (mod. q) ; ainsi Nq =' + (?)■ Mais nq = TS"? — c^7-2 + ■■· — <7^ 1 ■ la comparaison des deux valeurs de donne, comme plus haut, la loi de Legendre. Dans mes Recherches sur les nombres, je n'ai donné que les va-leurs de n?, Kr, celles de ra°, nq, ?ln pouvant s'en déduire au moyen de l'équation nq = TS"? — c^7-2 + ■■· — <7^ 1 ■ Le calcul donné plus haut est plus simple. TON,Ρ XII. - NOVEMBRE 1847 6θ 

Démonstration nouvelle et élémentaire de la loi de réciprocité de Legendre, par M. Eisenstein, précédée et suivie de remarques sur d'autres démonstrations qui peuvent être tirées du même principe

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