Serret, J.-A.

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J.-A. SERRETDéveloppements sur une classe d’équations relatives à lareprésentation géométrique des fonctions elliptiquesJournal de mathématiques pures et appliquées 1re série, tome 10 (1845), p. 351-363.<http://www.numdam.org/item?id=JMPA_1845_1_10__351_0>Article numérisé dans le cadre du programmeGallica de la Bibliothèque nationale de Francehttp:// gallica.bnf.fr/et catalogué par Mathdocdans le cadre du pôle associé BnF/Mathdochttp:// www.numdam.org/ journals/ JMPAPURES ET APPLIQUÉES A5i Développements sur une classe d'équations relatives a la, repré-sentation géométrique des fonctions elliptiques ; PAU M. J.-A. SERRET Je me suis proposé d'étudier ici avec attention les équations algé-briques que j'ai désignées par nra(ç)= ο dans mon Mémoire sur la représentation géométrique des fonctions elliptiques. Les résultats auxquels je suis parvenu me semblent devoir intéresser les géomètres; on verra que les polynômes Π,„ ont une ana-logie frappante avec les fonctions si remarquables résultant du déve-_ i. loppement de ( ι — aaÇ -+- a2) La forme que je trouve pour l'équa-tion Π[ζ) = ο est assez simple pour qu'on puisse reconnaître immédiatement la nature des racines. ce qui est essentiel dans l'analyse où j'en ai fait usage. I. Rappelons d'abord en peu de mots la formation des polynômes II,,, : soient ' ^·" (z-t-a)"+l ' Vl . — a)m+' ' où a et α désignent des quantités quelconques, m et η des nombres entiers positifs; on démontre aisément l'identité y"(a) _j_ fi—g) __ 0 1.2. ..m ι.ι.,.η ' '35 a JOURNAL DE MATHÉMATIQUES en sorte que les équations çp'n (a) = ο, ψ" (— a) = ο établissent entre a et α une relation unique. Si l'on suppose, ce qui est permis, que m ne soit pas supérieur à η, on trouve facilement y-(a) = ρ—m (/=»/ ι-ίαί"m Γ,η + ι) ' r{m-p+i) Γ(ρ+\] Γ {m-q+i)Y (r/+ï)r(n+m-p-q+l) pz= o 9=0 en désignant toujours par Γ (μ) le produit des μ — ι premiers nombres entiers. Soit maintenant (a 4- a)- j, 4 aoc -et posons π„(ζ) = ρ—m y —ni ^ ^ ^ I/! Γ(/??-/)4-ι)Γ(^-|-ι)Γ(/κ-94-ι)Γ((7-|-ΐ)Γ(«-)-ί7; p-q-\~l) Ç^ao.\m ρτ= Ο q—o Π,„ ( ζ) sera une fonction entière et rationnelle de ζ , et du degré m, et l'on aura £±^n„(ç,. Telle est la loi de formation des polynômes 1T,„ que nous allons étudier. II. De l'équation ?(*) = - (z+,r. -on déduit par la differentiation (zt-J-f/.z'--a2z -Λ2αΊ<ρ'(ζ)=|(»ζ — ι) za4-[(/n-n)rt 4- (/η+η}α]ζ 4- (?w-m) πα 4-(η 4- i)n2j <p(i), ΡIJUES ET APPLIQUÉES. AT! et si l'on différentie m + 2 fois cette nouvelle équation, 011 aura < z3 -h az2 — a2ζ — a2 a) <pm+3 (ζ) + "'γ 2 (3z2 + 2 αζ — a2) <pm+2 (z) Ù ^Z + ̂  f ® + 1.^3~ (Z> = {{m— I)Z2 + [(/?2 —72)22+(/72+72) α] z +(//2 — 7/) aa-h (η— 1) a2} ψ'η+2 (ζ·) + '-Γ— [a (m — 1) z + (m — H) a + (m + η) α] φ'"+ι (ζ) vk 2 ('n ~ 1 ' ? ^ ' équation que nous représentons, pour abréger, par Α.ψ'η+3(ζ) -h Βφ'η+2 (ζ) -+- Cfm+i (ζ) + Ώψ'η (ζ) = ο, en faisant A=(ζ — a) (ζ + a) (ζ + α), Β = (2/72+7) ζ2+ [(/72 — /2+4)« — (»ι — η) λ] ζ—(//2+/2+ 3 )α2—[m — η)ασ.. C =(/72 + a) [(/72 + 5) Ζ — (/2 — I ) α — (771 — 72) α], D = (/72 + 2) (/72 + ι). Si l'on fait maintenant ζ = α, on aura (ι) A<pm+3 (α) + B?m+2(α) + (α) + Όφ,κ(α) = υ, avec ÎA= %ν. (α2 — α2), Β= (3/72 — 72 -4- 1 ι) α2 — 2 (/72 — 71) 2201 (/72+ 71 + 3)222. C= (/72 + 2) [(/72 — 72 + 6) α — (/72 — 71)θ\. D= (m + 2) (/72 + 1). III. Désignons par φ, (ζ), <ρ2(ζ), φ3(ζ); les valeurs que prend φ (ζ) quand on change successivement m en /72 + 1, m + 2, /72 + 3; on aura Φ, (z) = (z — 22 ) y (z), <p2 (ζ.) = (ζ-Λ)2φ(ζ), φ 3 (ζ) = (ζ — of ψ (ζ) ; Tome Χ. — SEPTEMBKE Ι845. 45 354 JOURNAL DE MATHÉMATIQUES d'où l'on déduit très-aisément φ"'+2 (ζ) = — 3 (m + L+' W + -Ρa) (m -Pi) y"(ζ) ζ — a φ"'+2 (ζ) = — 3 (m + L+' W + -Ρa) (m -Pi) y"(ζ) ,λ/«+3 [Ρ* __ f3+3(s)-3(/«4-31^+2(z)+3(»2+3)(/n+2)î™+l(z)-(w+3)(w+;?·) ('n+i)¥m(z; (*_*)» Faisant z = α dans ces équations, et portant ensuite dans l'équation (i) les valeurs qui en résultent pour φ'""1"' (α), φ'"+2 (α), φ"14-3 (α), celle-ci deviendra (3) Μφ'"+3 (α) -Ρ Νφ^* (α) + Ρ?\(α) + QÉ" (α) = °> en faisant, pour abréger, M= > α — a Ν =-3 (m + 3)-^- + Β. Ρ = 3 ( m -p 3 ) ( m -ρ ι ) g_g — a [m -ρ 2) Β -Ρ G (α — a), Q = — (m-Ρ 3) (m + i)(m + i) ^ΖΓα + (m 2) (m + 1 )® — (m -p i) C(a — à) -p D fa — «)a.; ou, en vertu des équations (2), f M= 2α (α -ρ α), I Ν = - (3/72 + η + y) α! — (8/72 — 2« -ρ 18) αα. ,, j — (/η-ρ « -Ρ 3)α2, ί -τ. , . Γ (τη -Ρ n -ρ 2) α2 -ρ (8m — 2η -ρ 12) αα Q = — 2(7« -4- 2) (772 -ρ τ)2 a (α + α). PURES ET APPLIQUÉES. 355 IV. Ueia posé, on a, par la définition même des fonctions Π,„, f- = n,„ O'»-« (g -h g)''-”-' a"*' a**1 om+2h) = π am+i (σ) ■— n.m-n+^"· ~P a)"~"' s °m+' π et. en substituant dans l'équation (3), ; | 8a2 α Π,η+3 -+- -χα Ν nm+2 ·+■ (a -4- α) Ρ IIm+t ( — (m+ 2) (/« -4- 1 ι2 (a -s- α)3 ΓΙ,„ — o. Dans cette équation les quantités Ν et Ρ doivent être remplacées par leurs valeurs tirées des équations (4). Voici donc une relation linéaire entre quatre fonctions consécutives H,·« r Ρ m, ( > nm+3, nm+3; mais, à caisse que ces fonctions sont symé-triques en a et a, on pourra former une équation qui n'en renferme que trois. L'équation (5) ne cessera pas d'avoir lieu, si l'on change les lettres a et α l'une en l'autre , et si l'on désigne par N' et P' ce que deviennent TS et Ρ par suite de ce changement, on aura 8αα2n„i+3 + aaN Π,ί+, -f- (a + a)V'Um^, ιοί ( — [m + 2) (m+ 1 )2 (« ~h a)3 Iim = o. en sorte qu'on pourra, à l'aide des équations (5) et (6;, éliminer à vo-lonté, soit ΠΓ„, soit On trouve ainsi, en remplaçant partout par ζ, I'h«+3 = [(» + m + 3) ζ — (η — m — 2 )J Π,„+2 — (in -f- 2P et ΓΙ,η+2 ~~ [(n -+- m -4- 2) ζ — In — m — i)j Π,„+) — m -+- ι)2 ζ \\m. 4·').. 356 JOURNAL DE MATHÉMATIQUES On voit que la première de ces équations se déduit bien de la seconde par le changement de m en tn ι -, ce qui donne une vérification par-faite de nos calculs. V. Si, dans la dernière des équations précédentes, on met m au lieu de m -+- ι, on aura (7) H,„ = [(« + m) ζ — (η — m ■+■ 1)] Π,„_4 — (m — ι)2 ?Π;Λ_2. On pourra, à l'aide de cette formule, calculer les fonctions Π2, Π3,..., Π„, car les deux premières Π0 et Π, se forment immédiatement; on trouve Πο — X, Π, — {η -+- ι) ζ — η. Calculons Π2 à l'aide de l'équation (7), nous trouverons Π2 = (n + 2) (η + i)Ç2 — 2(n-t- 1 )ηζ -+· η [η — i); on aurait de même Π3 = {η -+- 3) (η -+- 2) in + 1) ζ3 — 3 (η 2) (η -+- ι) η ζ2 -t- 3 (η -+- ι) η (η — ι) ζ ~■ η (η — ι ) (η — τ.). L'examen des valeurs que nous venons de trouver pour Π,, Il2, ΓΙ3, fait présumer que l'on aura généralement (o\ π V f r\p Τ {n -h m ~p -h i)T {m -+- \) „m_p ' Γ {η — p-\-i)T[m — ρ -+-ι) Γ (ρ + ι) ' P=ο et il est, en effet, facile de démontrer que si Π,„_4 et Π,„_2 se forment d'après cette loi, il en sera de même de ITm. D'abord il est évident, d'après l'équation (7), que le premier et le dernier terme de Tim se for-meront d'après la loi que nous venons d'indiquer; il suffit donc de la vérifier pour l'un des termes intermédiaires. PORES ET APPLIQUÉES. S57 On a, par hypothèse, p—m— ι — ZÀ V Ο Γ (RT — —L— I) Γ (JÏÎ ■— Y^) R ( F -T- , ) ' P=ο p—m—i "m-î — ^ l. Ο Γ(„_/,_Ηι)Γ(^__/;_ι)Γ(/, + Ι)ί5 p=0 D'après cela, et en vertu de l'équation (7), le coefficient de i — 1 )ΐ'ζ'"-ΐ' dans Π,Π sera « -+- ; rr ï ) Γ (f/) V ι- '"■) Γ 4_,^ r _y,) r ( /7H— 1 ) -1- (m — λ\* + /7)r(w— 1) ou , d'après la définition des Γ, Γ (« 4- m — ρ -+- ι ) Γ ( m ι ) Γ(η — p + ι)Γ [m — p + 1) Γ(/?-(- 1)' ce qu'il fallait démontrer. VI. On peut, d'après cela, donner à la fonction Π,„ une forme très-re-marquable; on a, en effet, p—m r" (r — τ Y" — V f_ I^P 1 (m + 1 ^ -sn+m-p p=0 et, en différentiant m fois, p—m d*m- ΓΓ _ ν y r(/z+m-p+i)l>, + i; Ρ=ο d'où l'on conclut π _ I άη.ζη(ζ— i)m m j,„_m ' 358 JOURNAL DE MATHÉMATIQUES En particulier, on aura nn = di" si l'on fait C — - = - χ il viendra ι d".[x'— i)" ce qui montre que notre fonction particulière II„, divisée par ι.ι... η, n'est autre que la fonction X„ de Legendre, qui représente Je coeffi-cient de a" dans le développement de (ι — ηax ■+■ a1) J. VII. On sait que la fonction Il„ satisfait à une équation différentielle du second ordre, qui joue un rôle important dans la théorie de ces fonc-tions; nous allons montrer que l'échelle de relation précédemment déterminée et qui nous a conduit à l'expression de la fonction plus générale Π,„, peut aisément se transformer en une équation qui ne ren-ferme que la fonction Π,„ et ses deux premières dérivées. Soit ®(Ç) = ζ" (ζ - ι)'", d'où rfm— d-qn. — S "m, si sr, désigne ce que devient et quand on y change m en m -4- 1 , on aura (?) = (? — 1) W (ζ), d'oii - (? - OrfçST + [m -+- I J —, et, en remplaçant dm^vst dmm t d d"'zτ ' dlm ίϊζιΐζ™ PURES ET APPLIQUÉES. 359 par leurs valeurs, IW, = [{n 4- 1) ζ - (η - m)] Π,„ + ζ [ζ ~ ι) ΓΙΙ , on pourra (le la même manière exprimer Π,„+2 à l'aide de Π,„τ, et de IÉ„+, ; d'ailleurs ces deux dernières quantités s'expriment à l'aide de Π,η, n,'„ et Π",, et l'on trouvera finalement = [(« 4-2) (η + r) ζ2 — a(n+ 1) (η — τη)ζ 4- (η —m) (η —m— 1)] Tl,n 4- <ιζ(ζ — ι) [(» 4- a) ζ — (η — m)] ΠΙ, 4- ζ2 (ζ — ι)2 Π"„. Portant ces valeurs de nm+., et Π,„+2 dans l'équation Π,η+2 = [(« + m 4- 1) ζ -- (η — m — 1)] Yim+I — (m 4-1)2 'CTim, on aura ζ (ζ — ι) Πΐ4- [(« — m -4 2) ζ — (η — in 4- ι)] Π'„, — m (ti 4- 1) Π,„ = ο, ou, en posant ζ — \ χ 4- \, ix"*· — 1) Π", 4- [(η — m 4- 2) ar — (η — ?«)] Π'„, — /« (η -4 t) II,„ = ο, équation dans laquelle II,„ est fonction de la nouvelle variable χ con-sidérée comme indépendante. Faisant m = n, on obtiendra l'équation connue à laquelle satisfait la fonction Π„, savoir, (λ?2 — ι) II", -4- 2 χΠ'„ — η (η 4- ι ) Π„ — ο. VIII. Pour que ζ puisse exprimer, comme cela est nécessaire dans notre analyse, la valeur d'une quantité de la forme « et α étant des imaginaires conjuguées, il faut et il suffit que ζ soit réelle, positive et < 1. Nous démontrerons donc un théorème important en faisant voir que les m racines de l'équation nm(Ç) = ο où nous supposons toujours η au moins égal à m), sont réelles et coin-36η JOURNAL DE MATHÉMATIQUES prises entre ο et ι. Or, pour y parvenir, considérons, à l'exemple de M. Sturm, une suite de m fonctions Π, savoir, Π,π, Π,Π2, Π,, Γ10. La dernière de ces fonctions est constante et ne peut changer de signe quand on fait varier ζ ; en outre , l'équation (7) montre que si l'on fait varier ζ depuis zéro jusqu'à une valeur positive quelconque, deux fonctions 11 consécutives 11e peuvent s'annuler en même temps, et que si l'une d'elles s'annulie, celle qui la précède et celle qui la suit sont de signes contraires; d'où il résulte clairement que le nombre des va-riations que présente la suite des signes des fonctions Π ne peut s'altérer que lorsque la première change de signe et par conséquent s'annule. Cela posé, l'équation (7) montre que pour ζ — ο deux fonctions II consécutives sont toujours de signes contraires, et par conséquent que la suite des signes des fonctions II présente m variations. En second lieu, 1 equation (7) ou l'équation (8) donne aisément pour ζ = ι , II q —- τ, Π, ι, IT 2 — 1.2,.. , ΓΪ m — ι. 2... m, ce qui montre que la suite des signes des fonctions Π ne présente au-cune variation. Il résulte de là que quand ζ varie de ο à ι, la suite des signes des fonctions Π perd m variations, et par conséquent que l'équation nm(Ç) = ο a ses m racines réelles et comprises entre ο et 1 [*]. On voit encore que la fonction 1IOT_, joue ici le même rôle que la dé-rivée de n,„, d'où il résulte que deux racines de Π,„ = ο comprennent une racine de Π,„_, = ο, et n'en comprennent qu'une ; ce qui peut servir au calcul numérique des racines. [*] On arriverait au même résultat en appliquant m fois de suite le théorème de Rolle à la fonction ζ"(ζ —i)m, dont la m'in" dérivée fournit l'expression de Π„, et dont les racines sont connues. PURES ET APPLIQUÉES. 361 IX. Nous ferons ici une remarque curieuse sur l'équation particulière Π„ (?) = o, oii les deux arguments m et n sont égaux. On voit, d'après la forme de ΓΙ„ donnée au § VI, que cette équation ne changera pas si l'on change ζ en ι — ζ, d'où il résulte que les modules des fonctions el-liptiques correspondantes à l'équation Πη = ο seront deux à deux complémentaires, ce qui a déjà été démontré dans mon Mémoire pour le cas de n = 2; on voit encore que si n est im-pair, l'équation précédente aura toujours pour racine ^ 5 et que par conséquent la fonction lemniscatique correspondra à toute fonction 1"ΙΛ d'indice impair; mais il ne faut pas conclure de là que la lemniscate proprement dite se retrouve dans les différentes classes de courbes dont nous parlons: ces courbes, au contraire, diffèrent essentiellement par leur équation, ainsi que je le ferai voir en m'occupant de leurs propriétés particulières; seulement on aura plusieurs courbes dont les arcs représenteront la même fonction elliptique. Cette observation s'applique plus généralement aux racines com-munes à plusieurs équations Π = ο. Ainsi, par exemple, si l'on fait n = n ± V τ ' l'équation 1U = ο donne ς — η' + ι ' donc, si n! est commensurable, chaque racine ζ se retrouvera dans Tome X SEPTEMBRE 46 362 JOURNAL DE MATHÉMATIQUES quelque équation Π, = o; en sorte qu'une courbe de la première classe pourra servir aussi a représenter la fonction elliptique correspondante, que la secondeclasse comprend déjà. En particulier, si η = 8, on aura rï = ι et rï = iZj» ce qui montre que les deux fonctions elliptiques aux modules \J\ et s'exprimeront à volonté par un arc de courbe de première ou de seconde classe. Si, en second lieu, on fait η = 4g? on aura rï — i4 et rï = 84? et la conclusion précédente s'appliquera aussi aux deux fonctions de modules et on V°R même qu'il existera, dans la deuxième classe, deux courbes dont les arcs pourront représenter la fonction au module y/y|· X. J'ai été conduit, dans le Mémoire déjà cité, à considérer d'autres fonctions Π„„ qui" se déduiraient, de la même manière que les pre-mières, des deux quantités ?(*)= (8 + lr ' (z-ar. · La fonction ψ que nous considérons ici, se déduirait de l'ancienne par le changement de η en — η — ι ; il en sera donc de même de la nouvelle fonction Π,„, et l'on aura n„-[-(B-m + i)? + (B + ?")] nm_, — (m — ι)2 ζ Π,π_3 ; PURES ET APPLIQUÉES. 363 on a d'ailleurs Ilo=i; Π, = — ηζ -+■ (η + ι,, d'où l'on conclut pour ζ — ι, H0 — ι, Π, = ι, Π2 = i.j.,..., Q,„ = 1.2.../«. D'ailleurs pour ζ = χ, deux fonctions ΓΙ consécutives sont toujours de signes contraires, d'où il résulte que, quand ζ varie de ι à », la suite des signes des fonctions Π gagne m variations, et par conséquent que l'équation IIm = ο a ses m racines réelles positives, mais plus grandes que i, en sorte qu'elles ne peuvent pas servir à l'objet que nous nous proposions dans le Mémoire auquel se rapportent les développements qu'on vient de lire. 46. 

Développements sur une classe d'équations relatives à la représentation géométrique des fonctions elliptiques

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