De Saint-Venant

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DE SAINT-VENANTNote sur les flexions considérables des verges élastiquesJournal de mathématiques pures et appliquées 1re série, tome 9 (1844), p. 275-284.<http://www.numdam.org/item?id=JMPA_1844_1_9__275_0>Article numérisé dans le cadre du programmeGallica de la Bibliothèque nationale de Francehttp:// gallica.bnf.fr/et catalogué par Mathdocdans le cadre du pôle associé BnF/Mathdochttp:// www.numdam.org/ journals/ JMPAPURES ET APPLIQUÉES. 27 j ΛΟΓΕ Sur les flexions considérables des verges élastiques; PAR M. DE SAINT-'VENANT. I. Navier a ramené aux quadratures (Résumé des Leçons à l'Ecole des Ponts et Chaussées) la détermination des flexions très-petites prises par une verge élastique dont l'axe est une courbe plane quelconque, sous l'influence de forces qui ne changent nulle part le plan de la cour-bure. Il est possible d'y ramener également (Comptes rendus des séances de l'Académie des Sciences, 3o octobre et 6 novembre 18/p) la déter-mination des très-petites flexions et torsions d'une verge à double cour-bure ou dont le plan primitif de courbure s'est voilé. Mais les verges peuvent prendre aussi des flexions considérables; on peut même quelquefois faire toucher leurs deux bouts primitivement éloignés, sans que pour cela leur élasticité soit altérée, et il est sou-vent utile de connaître ces flexions. Les travaux d'Euler (Nova methodus inveniendi lineas, etc., addita-mentum DE CURVIS ELASTICIS) et les méthodes d'intégration des fonctions elliptiques vont nous fournir les moyens de les déterminer exactement dans un grand nombre de cas, et approximativement dans tous, en nous bornant toutefois, pour aujourd'hui, aux verges à simple cour-hure [*]. 2. Supposons d'abord, χ0 que les forces qui sollicitent la verge dans le plan de son axe n'agissent qu'isolément ou d'une manière discon-tinue; 20 que, dans une même portion finie de la verge, comprise [*] Depuis que cette Note a été reçue au Journal de Mathématiques, M. Binet a donné, le 17 juin, et M. Wantzel, le 24 (Comptes rendus des séances de l'Académie des Sciences, tome XVIII, pages 1 n5 et 1197), des intégrales pour le cas où une verge primitivement droite et cylindrique prend une forme à double courbure, mais sans pousser le calcul jusqu'aux formules propres aux applications, comme je me suis proposé surtout de le taire ici. 35.. S76 JOURNAL DE MATHÉMATIQUES entre deux des points successifs où des forces exercent leur action (soit directement, soit par l'intermédiaire de leviers fixés à la verge), la sec-tion soit partout la même, et l'axe soit une ligne droite ou un arc de cercle. Soient, après la flexion, x,y, ρ les coordonnées rectangulaires et le rayon de courbure de l'axe en un point d'une de ces portions finies; ν la longueur de l'axe comptée jusqu'à ce point ; X, Y les composantes, parallèlement à χ et y, d'une des forces qui agissent entre cette portion et l'une des deux extrémités de la verge ; x,, yK les coordonnées de son point d'application (situé sur la verge ou dehors, comme on vient dele dire); 2 l'indice de sommes relatives aux diverses forces dont on vient de parler. Soient encore r le rayon de courbure avant la flexion ; Ε un coefficient numérique dépendant de l'élasticité de la ma-tière ; o. le moment d'inertie de la section transversale, autour d'un de ses deux axes principaux (on suppose cet axe de la sec tion perpendiculaire au plan de courbure de l'axe de la verge, car, dans le cas contraire, le plan de courbure chan-gerait par la flexion). On aura, comme l'on sait, pour l'égalité des moments des forces extérieures et des forces intérieures agissant à travers la section en Oh, y), 10 ερ· (ς - '-) = Σ [γ OÙ -χ)- x(r, -jr)]· Nous ne poserons pas d'autre équation d'équilibre, parce que nous négligerons, aujourd'hui, l'effet des contractions ou dilatations longi-tudinales de l'axe de la verge, et des glissements transversaux de ses tranches. Comme Ε, μ, r sont supposés constants ou indépendants de x,y, ainsi que les valeurs de X, Y, x,, y{ relatives à chaque force, l'équa-PURES ET APPLIQUÉES. 277 don précédente se réduira à la forme (2) ~ = ax -+- by -+- c, a, b, c étant trois constantes. Cette équation différentielle s'intégrerait immédiatement comme li-néaire si l'on pouvait y remplacer - par —. Navier, par cette substi-tution , a pu déterminer les flexions d'une verge rectiligne dans les cas où les déplacements de ses points, assez grands pour qu'il faille en tenir compte dans le moment des forces extérieures , sont cependant assez petits pour ne donner qu'une courbure très-faible à l'axe, en sorte qu'on puisse remplacer, dans le calcul, l'élément courbe cîs par sa pro-jection dx. Mais nous ne supposons pas, dans ce qui va suivre, qu'une pareille substitution puisse se faire. Il faut donc, sans y recourir, trouver l'in-tégrale générale de l'équation (2). 5. Pour cela, observons que - ~ rd.~, OU — — d.-y-· Si donc le second membre de l'équation (2) 11e contenait que χ ou que y, une première intégration serait immédiatement possible. Or, pour réduire ainsi l'équation (2), il n'y a qu'à transformer les coordonnées x, y en d'autres Λ:', y', ayant la même origine, ou qu'à poser (3) χ = x' cos α — y' sin α, y — χ' sin α y' cos α. En substituant dans l'équation (2), l'expression de l'inverse- du rayon de courbure sera la même en fonction des coordonnées nouvelles qu'elle était en fonction des anciennes. Si donc l'on égale à zéro le coefficient de y' du second membre, ou si l'on pose — a sm α + b cos α = ο, tang oc =b sm α = , cos α — - ~ rd.~, OU — — d.-y-· 378 JOURNAL DE MATHÉMATIQUES l'équation transformée sera (4! = .*'vV + i' + <·. Elle a pour intégrale première, en appelant τη la valeur de pour x' — o, (5) -Ç- = — + b2 c.r' + La transformation de coordonnées qui nous a donné le moyen d'in-tégrer a consisté à prendre l'axe des y' parallèle à la résultante de toutes les forces qui se trouvent en jeu pour plier la partie de la verge que l'on considère, car on a - — — — ; aussi l'idée s'en trouvait im-plicitement dans le Mémoire précité d'Euler, qui considère une lame sollicitée de diverses manières par une seule force et qui prend tou-jours l'un des deux axes coordonnés parallèle à la direction de cette force. On tire de l'équation (5), % - s/1 - \A - (Τ V'«2 + b* + ex' + >j J , d'où (6) . dx' as — — =— - 5 κ/ I — ν'α% "+" + cx' +1 ^ sm α = , cos α — - ~ rd.~, OU — — d.-y-· γ/ ι— V«2~l-^24- cx' 4-«j et la détermination de la courbe qu'affecte la portion de la verge après sa flexion dans l'état d'équilibre est ramenée, comme on le voit, aux quadratures [*]. [*] De même, toute équation £'{s)=/Î''rl sera susceptible d'une première intégration si le second membre est fonction d'une ex-PURES ET APPLIQUÉES. 27a 4. Euler écrivait en 1744 φιβ les expressions telles que l'équa-tion (6) ne s'intégraient pas sous forme finie. Nous sommes aujourd'hui assez heureux pour pouvoir en écrire et en donner numériquement les intégrales au moyen des notations et des tables des fonctions dites el-liptiques. Auparavant, mettons-les, comme Euler, sous une autre forme. D'abord, en faisant U [Ί) X' = X" -> le terme en x' disparaît. Cette deuxième transformation de coordon-nées se réduit à prendre pour axe des γ' la direction même de la ré-sultante des forces. Ensuite, faisons cette résultante (8) v iX;a+AY:^P; et ou vr · h- ^ Décomposons, ensuite, la quantité sous le radical en ses deux fac-pression du premier degré en x, y, ou de toute autre expression (et il y en a une foule dont l'une des deux variables puisse disparaître en faisant x — x' cos α — y ' sin α, y = χ' sin α -+- y ' cos α. En effet, la substitution lui donnera cette forme, en représen tant- par;, , sm α = , cos α — - ~ rd.~, OU — — d.-y-· (COS α—ρ sin α/ y cos χ—ρ sin α/ equation dont les deux membres peuvent s'intégrer par les quadratures. Et l'on opérera aussi la deuxième intégration par les quadratures si, après la pre-mière, l'équation est résoluble par rapport à ρ '. C'est ce qui arrive dans notre cas par-ticulier f = 1 ' x disparaît du premier membre, et l'on ob-tient l'intégrale seconde rd.~, OU — — d.-y-· J vh—[/<&'f(x')]! Ο11 sait (jue beaucoup d'autres équations différentielles compliquées s'intègrent facile-ment par des transformations du genre des changements de coordonnées. 28ο JOURNAL DE MATHÉMATIQUES teurs I .Yj -| sm α =, cos α — - ~ rd.~, OU — — d.-y-·Y], et faisons I ap2 (i — ïj) + c2p4 — f2, d'où I .Yj -| sm α =, cos α — - ~ rd.~, OU — — d.-y-·Y], c'est-à-dire remplaçons la constante ç par une nouvelle constante f. Les deux expressions différentielles deviendront I .Yj -| sm α =, cos α — - ~ rd.~, OU — — d.-y-·Y], La quantité f joue un rôle important dans la discussion des courbes qu'elles représentent; elle est évidemment la plus grande valeur de l'abscisse x", positivement ou négativement : c'est la flèche de courbure quand la verge était primitivement droite et pressée dans le sens de son axe. Les courbes, en général festonnées, sont comprises entre les deux droites parallèles oc" = f, χ" = — f. 5. Legendre donne (Traité, chap. Ill) deux manières de transfor-mer les expressions comme les équations (ίο), en différentielles dont les intégrales soient les fonctions elliptiques de première et de deuxième espèce, qu'il désigne ainsi : Ff k, φ) = f ' / '/v ·. ·; · ' E(A'> f dy v'i — k2 sin2 ο. La première manière, qui donne pour ds une transformée négative, consiste à faire x" — k cos ψ , d'où ψ = arc cos -f-· La deuxième manière, qui donne une transformée positive, consiste à prendre χ"- = f2^É psi" , d'où a> = arc sin - ; . PURES ET APPLIQUÉES. a8i On obtient ainsi ci, = ,-J'p , γΛ-^ψ — ρ ( I sin2 il ι dit , , . r dr = --— = ·, -- -··. -.· · — zpdài \/ ι—— sur ύ. V '-4?sir'2 ' V '-4?sin 2 Q et ~ rd.~, OU — — d.-y-·Y], I .Yj -| sm α =, cos α — - ~ rd.~, OU — — d.-y-·Y], I .Yj -| sm α I .Yj - ~ rd.~, OU — — d.-y-·Y],α — - ~ rd.~, OU — — d.-y-·Y], Donc, C, C, C,, C, représentant des constantes arbitraires, on a, par la transformée en ψ, ■ 11) r = C " /?F(^'arccosT)' r = _ , + ty _ a/,E |_L? arccos^) ; et, par la transformée en o. (iaj I .Yj -| sm α =, cos α — - ~ rd.~, OU — — d.-y-·Y], Τ — —i + C- ~ rd.~, OU — — d.-y-·Y],7~ f2 τ,+^Ε / —, arcsin - · ■ Tome IX. — Αουτ j 36 α8?. .TOURNAI, DE MATHÉMATIQUES Et comme les angles ψ , ψ sont liés par tang ψ tang φ \Jι — = ι , les théorèmes connus sur les fonctions elliptiques complémentaires donnent ces deux relations entre les constantes de l'équation ( ι 2) et celles de l'équation (11): C.= C-J*(T,Ï), C, = C-»,B(T,Ï). 6. En remplaçant ρ, χj' par leurs valeurs Il 3) ' . x'' = .T'+™= = î»±ji±i, on a, pour intégrale première de l'équation différentielle (2), ou de • 4 -h φ = r— = «χ + h' + celle (0), ou f 15) d{arj. bx^ = ^ {ax -+-bjr -+- c)* + \'a' -+- b2 — ~ f2 (a2 + b2), et, pour intégrale seconde, d'après les expressions (1 r), (16) s—C Γ Ε Γ- (α2-+- b2)* , arc cos αχ·^ — , 4-r--=r = —ί+Ο ; Ε ! - (a*-h ο2)*, arc cos —, T__ · Les expressions (12) fourniraient, par la substitution, une intégrale d'une antre forme, que nous n'écrirons pas. 7. Puisque la verge est composée, par hypothèse, de parties droites ou circulaires d'une section constante, dont tous les points sont sollicités à fléchir par les mêmes forces appliquées hors de chaque partie, on pourra employer successivement, pour chacune, les formules qu'on vient de donner; chaque point de la courbe d'axe nouvelle répondra au point de la courbe d'axe ancienne pour lequel l'arc s a la même PURES ET APPLIQUÉES. a8 î longueur, à partir d'une extrémité, car on a supposé (n° 2) que l'axe n'éprouvait ni contraction ni dilatation On assujettira donc les lon-gueurs des diverses parties à être restées égales aux longueurs primi-tives ; on assujettira aussi les axes des parties consécutives à avoir des coordonnées communes et une tangente commune aux points de jonc-tion : de cette manière les intégrales premières (i 5) et les intégrales se-condes f 16; fourniront, et les valeurs des constantes f, G, C' ou G,, Cj , et les coordonnées nouvelles d'un point quelconque de la verge, ré-pondant <à un point donné sur cette verge avant sa flexion, ce qui sera la solution complète du problème proposé. 8. Maintenant, supposons que la verge élastique affecte primitive-ment la forme d'une courbe plane quelconque, que sa section soit va-riable comme sa courbure, enfin que, parmi les forces sollicitantes. il y en ait qui agissent d'une manière continue ou en tous les points de la verge, en sorte que la résultante qui produit le moment de flexion varie aussi d'un point à l'autre. Os circonstances rendront généralement impossibles les intégrations ci-dessus, et le problème de la flexion ne sera résoluble alors que par des méthodes d'approximation. Mais en voici une qui n'exige pas d'autres calculs que ceux des ar-ticles précédents, et qui suffira ordinairement. Supposons que l'on ait divisé la verge en un nombre suffisant de parties pour que, dans chacune, le rayon de courbure primitif, la sec-tion et la résultante des forces puissent être regardées comme sensible-ment. constantes, on peut appliquer à chacune les équations ci-dessus. Mais on peut faire mieux: on peut, en posant — — ax by ' τ c, ou en regardant l'équation de son axe comme représentée, après la flexion, par la formule intégrale (16), disposer des trois indéterminées a, h, 0 pour qu'en trois points de cette partie, savoir, aux deux extré-mités et au milieu, le trinôme ax + bj -t- c ait bien la valeur qu'il doit avoir d'après l'équation (2) comparée à l'équation (1), c'est-à-dire qu'il soit égal au quotient des moments des forces par Eu, augmenté de Γ inverse - du rayon de courbure primitif en chaque point. 36.. 284 JOURNAL DE MATHÉMATIQUES De cette manière, la courbure nouvelle - sera ce qu'elle doit être à Ρ ces trois points (sauf ce qui résulte d'une différence insensible sur le moment des forces), et, dans tout le reste de chaque partie, elle aura une valeur extrêmement approchée de sa valeur véritable, puisque celle-ci varie d'une manière continue et qu'il en est de même de la fonc-tion du premier degré ax + bj + c des coordonnées nouvelles. On conçoit que l'on pourrait représenter aussi cette quantité par un polynôme d'un degré supérieur au premier, et composé de manière que la transformation des coordonnées du n° 3 puisse le réduire à ne con-tenir qu'une seule des deux coordonnées nouvelles : de cette manière on pourrait poser la condition d'égalité en plus de trois pointsdechaque partie, puisqu'on aurait plus de trois coefficients à déterminer. Mais on pense que le trinôme ax + by + c donnera des approximations suffi-santes, que l'on peut d'ailleurs rendre aussi grandes qu'on veut, et dont on peut même apprécier le degré jusqu'à un certain point, en com-parant les résultats d'une subdivision de la verge à ceux d'une subdi-vision plus grande. L'emploi des formules de l'art. 6 suffira donc, on le croit, pour les besoins de la pratique dans le cas général, comme dans le cas particu-lier par lequel nous avons commencé. 

Note sur les flexions considérables des verges élastiques

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