Lebesgue, V.-A.

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V.-A. LEBESGUENote sur le Canon arithmeticus de JacobiJournal de mathématiques pures et appliquées 1re série, tome 19 (1854), p. 334-336.<http://www.numdam.org/item?id=JMPA_1854_1_19__334_0>Article numérisé dans le cadre du programmeGallica de la Bibliothèque nationale de Francehttp:// gallica.bnf.fr/et catalogué par Mathdocdans le cadre du pôle associé BnF/Mathdochttp:// www.numdam.org/ journals/ JMPA334 JOURNAL DE MATHÉMATIQUES NOTE SUR LE CANON ARITHMETICUS DE JACOBI, Par M. V.-A. LEBESGUE. Quand on a trouvé une racine primitive g < p pour le module premier p (calcul susceptible d'abréviation, comme je le montrerai ailleurs), on peut déterminer directement les racines primitives pour le module p". Soit g' < ρ2 le reste positif de gp divisé par ρ2 ; faites h = " a : la formule g + px + p2jr donnera pn~2 (ρ —· i) racines primitives, en posant _τ = ο, ■*, a, h— ι, Λ-+-Ι, , ρ — ι, / = °> U , ρ"'"2 —i, et combinant de toutes les manières possibles les valeurs de χ et celles de 7. Comme on peut remplacer g par g% i < ρ — ι étant premier à ρ — ι, c'est-à-dire susceptible de <p(p— 1) valeurs, le nombre de racines primitives est donc ρη-2.ρ -1 -φ(ρ-ι) = φ(ρ"-').φ(ρ-ι)=φ(ρ" 1 . ρ - ι) = ψψ (ρ"), comme on le sait. L'exclusion de χ = h tient à ce que (g -H ph)p~1 — 1 est divisible par p2. Jacobi a prouvé que les racines primitives pour le module p2 le sont aussi pour le module p"; c'est une conséquence de la règle donnée PURES ET APPLIQUÉES. 335 pins haut. Il a vérifié que presque toujours les racines pour le module p le sont pour le module ρ2. L'exception tient à ce qu'on peut avoir, mais très-rarement, h — o. Alors g, racine primitive pour le module p, ne l'est pas pour le mo-dule ρ2. On peut donc, pour le module ρ", en représentant par a un entier quelconque premier à p" et plus petit, déterminer un entier a ou ind a < ρ"-1 (p — i), et tel qu'on ait gind « ̂  β ( niod. p"). De là les deux Tables du Canon : L'une donnant ind a quand on connaît a ; L'autre donnant a quand on connaît ind a. Comme les congruences ^.omme les congruences!|6 — o donnent 8 . J p"“’1 (/»-,) md a H g 2 ~{p — a on reconnaît de suite que les Tables peuvent être réduites à moitié. L'usage principal du Canon, c'est la résolution de la congruence axm = b (mod. pn). En effet, si l'on a acd... e = b (mod. p"), on a aussi par cela même ind a + ind c +... + ind e ~ ind b (mod. ρ"-'. p — i) : donc de ax'n — b ( mod. p" ) on conclut m ind χ s ind b — ind a (mod. pn~~l. p — i). De là directement, ou à l'aide de la Table, on tire ind χ, puis χ au moyen de la Table. Comme ind χ peut avoir plusieurs valeurs, il en est de même de χ. Le module i" ne présente aucune difficulté, et si la Table n'était pas très-peu étendue, il serait également facile de la réduire à moitié. 336 JOURNAL DE MATHÉMATIQUES Le Canon arithmeticus n'est pas seulement utile pour la résolution numérique de ax'"~ b (mod. ρ"). Ainsi j'ai montré, d'après Eisenstein, comment le Canon fait connaître les coefficients entiers a0, etc., de l'équation P=J{p)-f{p ')» où pm = ι, μ = mzs -h ι, m > ι, S {p ) — ύΟ + a\ Ρ + a2 ρ2 + · * · + p'" ' · Comme on en tire F (P) = [f(p)]*= A0 + A, p + ...+ A(„_, p"1-', pk= F(p), F {p~'}· si, dans la décomposition de ip en m carrés, on change a en A, on aura une décomposition correspondante de ιpk en m carrés. Le Canon arithmeticus a été publié impensis Academiœ litterarwn regiœ Borussicœ ; il est très-correct, cura et benevolentia vïrorum cla-rissimorum, Professorum Dirichlet, Dove, Steiner; Doctorum Wotjers, Bremiker, Galle, sans oublier surtout le célèbre astronome Encke, car Jacobi finit son Introduction par ces mots : Maximas autem gratias ago illustrissime Encke qui et his emehdatricibus curis prœsi-dere et summo studio ac benevolentia me egregiis consiliis in ador-nando opere adjuvare volait. Pourrait-on publier en France, et d'une manière analogue, des Tables d'exponentielles et de logarithmes modulaires (les mêmes sous un autre nom), ces Tables étant modifiées, surtout comme on l'a vu plus haut? C'est là une question à laquelle je ne saurais trop que répondre. 

Note sur le Canon arithmeticus de Jacobi

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