Lebesgue, V.-A.

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V.-A. LEBESGUESur la réduction des formes quadratiques définies positives àcoefficients réels quelconques. Démonstration du théorème deSeeber sur les réduites des formes ternairesJournal de mathématiques pures et appliquées 2e série, tome 1 (1856), p. 401-410.<http://www.numdam.org/item?id=JMPA_1856_2_1__401_0>Article numérisé dans le cadre du programmeGallica de la Bibliothèque nationale de Francehttp:// gallica.bnf.fr/et catalogué par Mathdocdans le cadre du pôle associé BnF/Mathdochttp:// www.numdam.org/ journals/ JMPAPURES ET APPLIQUÉES. 4oi SUR LA RÉDUCTION DES FORMES QUADRATIQUES DÉFINIES POSITIVES A COEF-FICIENTS RÉELS QUELCONQUES. DÉMONSTRATION DU THÉORÈME DE SEEBER SUR LES RÉDUITES DES FORMES TERNAIRES ; PAR M. V.-A. LEBESGIJE, Professeur h la Faculté des Sciences de Bordeaux. Daus une forme f (j?,, Jfg,..., X„) — F, à coefficients réels quelconques, 011 peut nommer valeurs principales de F celles qui résultent de valeurs entières données à Je,, x„. Si l'on met la fonction homogène du second degré j [χ,, x2,..., x„) sous la forme * Λ,φΐ 4- Α2ψΙ + ... 4- A„φ2, ψ,, φ2,..., ψη étant des fonctions homogènes du premier degré, la forme quadratiquef(xt, J?2,..., xn) sera dite définie positive quand tous les nombres A,, A2,..., A„ seront plus grands que zéro; c'est le seul cas qui sera considéré ici. Ainsi la forme 41 ^uijaiucic lUJj sera définie positive si l'on a a > o, ac — b3 > o. On trouve de même c > o. _ La forme ternaire ax2 4- by2 4- cz2 4- 1 a' y ζ 4- ι b' xz 4- a c' xy, ou bien / \ 2 „U ^'2 / A'\ n A a a V ab — 7 Tome Ier (A8 série).— NOVEMBRE I856. 5i 4θ2 JOURNAL DE MATHÉMATIQUES sera définie positive si l'on a a > o, ab — c'2 > o, abc + ia'b' c' — ad'2 — AA'2 — cc'2 > o; plus généralement a > o, ab — c'2> o, abc ia'b' c' — aa'2 — bb'2 — cc'2 > o, b > o, Ac — η'2>· o, c > o, c« — A'2> o. Les nombres ne — b2, abc + 2 u'A'c' — «α'2 — bb'2 — cc'2, pris en signe contraire, sont précisément les déterminants des formes ax2 -4- ι bxy + cy2, ax2 + by2 -h cz2 -f- :la'yz + ι b'xz + ι c'xy. Comme ax2 + 2 bxy -+- cy2 — χ (ax + by) -+-y(bx + cy), ax2 by2 + cz2-h ι a!yz -+- o. b'xz + a c'xy = χ (ax + c'y ■+- b'z) H- y (c'x -+- by 4- a' ζ) -+- ζ (b' χ -+- a!y + cz), on voit que ces déterminants de formes sont des déterminants dans le sens ordinaire : seulement Gauss a changé leur signe. Si l'on ne faisait pas ce changement et qu'on représentât par D,, D2, D3,..., D„ les dé-terminants des formes j ("^< )' f (.^"1 ' )' S ( ̂ 1 » ^"21 ^5 )>···> ./ ( "G » •'^21·· ■ ι "^"n ) on aurait ce résultat connu /(.r„ a:,,..., xB) = D, X2 + g X2 + ...-f- J£-X», et la condition nécessaire et suffisante pour rendre f (xt, x2,..., xn ) définie positive, serait D; > o, Da > o,..., D„ > o. Ces inégalités conduisent à d'autres par la transposition des variables. PURES ET APPLIQUÉES. 4o3 Il faut remarquer que, dans la formule précédente, si la forme /(·*., Χ,, ), définie positive, ne doit pas dépasser une certaine limite L, et qu'on ne considère que les valeurs principales, comme X„ = xH il en résultera et comme on trouve semblablement des limites pour x„_,, ^„_2,···, x2, x,, on aura ce théorème . Toute forme définie positive f (χ,, x.2,..., xn) à coefficients réels a nécessairement un minimum quand on ne considère que les valeurs principales. Dans son Mémoire sur l'introduction des variables continues dans la Théorie des Nombres { Journal de Crelie, tome XLI), et dans une Note sur les formes ternaires ( Journal de Crelle, tome XL), M. Her-mite admet ce théorème sans démonstration, et il en tire par des réduc-tions à l'absurde l'existence des formes réduites. Ces démonstrations sont, ce me semble, peu satisfaisantes. Les valeurs principales n'étant point entières, comme des nombres non entiers décroissants peuvent approcher d'une limite sans l'atteindre, il aurait fallu montrer que ce cas n'arrive point. D'ailleurs, pour le cas de deux variables ou des formes binaires, la connaissance du minimum permet de trouver immédiatement la ré-duite ainsi qu'il suit : Si la forme j¡] ’tiw. f(xk. O'.»,..., ax* -f-, a b xy -t- cy* prend son minimum a' en posant χ = m, y = n, d'où a' = am2 + ι bmn + ena, on fera mn0 — m0n = i, puis x = mx' -(- m0y', y = nx' n0 y\ h-01 .. 4°4 JOURNAL DE MATHÉMATIQUES d'où résultera la forme équivalente a' x'2 4- a b' x' y' + c'j·'2, où l'on a a' = am2 4- %bmn -t- en2, b' = ammQ 4- b (mna + maM) 4- cnna, c' = ami 2 bm0 nQ 4- en® ; puisque a' est un minimum, il faut que a'<c'. Si donc on avait a' — 2c'io, on aurait aussi c' — a b' > o, et la forme (a', b', c') serait réduite. Dans le cas contraire, comme on peut remplacer m0 et u0 par m0 -t- mv, n0 4- ne, qui satisfont encore à l'équation mn0 — ιη0 η ~ ι, et comme b' se change en b' 4- a! ν = b" et c' en c' + a b'ν + a' ν2 — c", on pourra déterminer e de sorte que la forme (a', b", c") soit réduite. Quand le minimum ne sera pas connu, on emploiera l'algorithme de Gauss (β. Α., nos 171 et 177) : dans la forme ax2 ■+■ xb xy + a'y2^ on posera χ = o.x' — y, y — x' 4- b' y', h' étant entier, et l'on aura la forme équivalente a' x'2 -h 2 (a'h' — b) x'y' 4- (α — 2 bh! 4- a' h'2)y'2 — a' x'2 ■+■ a b' x' y' + a"y'2, en posant b 4- b' — a' h', a" — a 4- h'{b' — b). Il y a donc pour toute valeur entière de h' des valeurs correspondantes de b' et n"; dans le cas de la forme binaire définie positive, on pourra PURES ET APPLIQUÉES. /to5 toujours prendre b' e η supposant a'Sa, et cela ne suppose nulle-ment que les coefficients a, b, a' soient entiers. Si l'on avait b < ^ ' la forme (a, b, a') serait déjà réduite. Dans le cas contraire, comme b' = on reconnaîtra que a" < a; et si la forme (a', b', a") n'était pas réduite, ce qui ne pourrait arriver que pour a" < a', on passerait à une nouvelle forme en posant χ' ~ o.x" — y", y = x" + h" y" ; cette forme serait (a", b", a'"), en supposant b' + b" = a" h", a"' = a' + h" (b" - b'). Continuant d'opérer ainsi, on aura une série de formes contiguës équi-valentes (a, b, a') (a', ba") (a", b", a'") (a'", b'", «,T)...; et comme, d'après les valeurs de x', y', x", y", etc., on voit de suite que a, a', a", a'",..., sont des nombres qui résultent de valeurs entières données à x, y dans la forme j — ax* -h '2 b xy n'y2, ou des valeurs principales de j, il en résulte que ces valeurs sont en nombre limité, et que a, a', a", a'", ..., ne peuvent décroître indéfini-ment : on tombera donc forcément sur une forme [a{n), b{"], a{n+A) j rem-plissant les conditions suivantes : a(n\ a(n+,) > o, a{n) — ι b™ > o, a'"+,) — a b™ > o. C'est là une forme réduite, et comme dans certains cas les b peuvent prendre deux valeurs, on voit qu'il y a quelquefois deux formes ré-duites. Ainsi l'équation b 4- b' — a' h', pour b = ak -t- - > donnera à volonté Oll 9 h Pour passer à la réduction des formes ternaires positives ψ = / (*«> X*)i 4o6 JOURNAL DE MATHÉMATIQUES on opérera ainsi : Si χ, = a/, +- a' Xi — βf^ + β' fî} sous la condition α/3' — a' β — ι, réduisent la formef{x,, x2), on posera χ, = ajr, + a'fi -+- o. f3, xt — β f, + β' j2+ o. j3, X3 = o-fi ■+■ O.fi -h fi, et la forme f {f,, fi, fi) sera équivalente à f \x,, x2, xt) d'après les théorèmes connus. Dans cette forme, f (f,, f2) sera réduite. Si f (/o Js) et /(y*ijs ) ne sont Pas» 011 continuera de la même ma-nière en réduisant f[f,, f3)', ce qui donnera une nouvelle forme f[zK, z2, z3) qu'on traitera de même ; mais comme ces calculs opèrent la diminution graduelle des coefficients des carrés, comme ces coeffi-cients ne sont antres que des valeurs principales de ψ = j'{xt, x2, x3) et par conséquent en nombre limité, il est nécessaire qu'on obtienne finalement une forme équivalentef{ h,, u2, «„), où j(un u2),J (u,, u3). f[u2, u~) seront toutes réduites. C'est là une forme réduite. Mais, comme on l'a vu plus haut, une même forme peut conduire à plusieurs réduites. On passera de la forme ternaire à la forme quaternaire, et ainsi de suite, et on aura ce théorème général : Toute formef (a?,, x2,x„) défuiie positive à coefficients réels quelconques conduit à une forme équivalente J ( u,, u2,..., un) où cha-cune des formes binaires f [u,, u2),f(u,, u3),..., f («,·, uf),..., est une forme réduite. Quoique ce théorème ne suffise pas pour la classification des formes définies positives, il n'est pas sans utilité théorique, et c'est peut-être à tort qu'il a été dit, dans une Note sur les formes ternaires, que l'al-gorithme de réduction n'est pas très-important au point de vue de la théorie. Comme application, je vais donner la démonstration du théorème de Seeber sur les réduites des formes ternaires définies positives. Voici en quoi ce théorème consiste PURES ET APPLIQUÉES. 407 Dans tonte réduite ax2 -t- by2 4- cz2 4- 2 a'y ζ + 2 // xz + 2 c' χγ d'une forme ternaire définie positive, si l'on pose D = abc + 2 a'b'c' — (aa'2 4- bb'2 4- ec'a), on aura toujours 2 D = abc. D'après le théorème précédent, en considérant les valeurs absolues des coefficients a', b', c', on doit avoir b — 2 a', c — 2 a', c — ib', a — 2 b', a — 2 c', b — 2 c', positifs ou nuls, be— 4 a'*> ca·—4b'2, ab — 4 c'2> abc —8 a'b'c', toujours positifs ou nuls, jamais négatifs. Si l'on met l'équation D = abc 4- ■.. sous la forme 4 D = a [bc — 4a'2) 4- b{ca — l\b'2) + c{ab — 4C2 ) 4- abc 4- 8 a!h'c. 011 voit de suite : i°. Que pour ά — b' — c' — o, on a D = abc, 20. Que pour b' — c' — o, on a 4 D — 3abc^o, 3°. Que pour c'= o, on a 4 D — inbc^o. Ainsi, dans ces trois cas, le théorème deSeeber est vérifié. Voici, d'après Gauss, la démonstration des autres cas {Journal He Crelle, tome XX, page 3ta). Seeber a trouvé son théorème par induc-tion ; la démonstration de Gauss est encore la plus simple. Il ne me semble point, comme il a été dit, que cette démonstration repose sur des principes singulièrement cachés. Comme D et 2D — abc sont des fonctions invariables par la permutation tournante des lettres a, b, c, a', b', c'·, comme, de plus, les inégalités conditionnelles sont 4o8 . JOURNAL DE MATHÉMA TIQUES aussi ihvariabies par la permutation tournante, et conduisent à des fonctions invariables par cette permutation, et essentiellement posi-tives, il était naturel d'examiner si a D — abc ne serait pas la somme de plusieurs de ces fonctions : or c'est précisément ce que fait Gauss. 11 faut considérer deux cas : i°. a', Z»', c·'positifs et -ha', — b', —c', —a', 4- b', —c',—a', —b', + c', ou a! b'c' positif; tous ces cas rentrent l'un dans l'autre, car le changement de signe de deux des variables x, y, s ne détruit pas l'équivalence. 2°. Les cas — a', — b', — c', — a' + b', 4- c', -t-a', — b', 4- c', 4- a', -t- b', — c', ou celui de a'b'c' négatif quand les signes ne sont pas mis en évidence, rentrent aussi l'un dans l'autre. Je supposerai a', b', d positifs dans le premier cas et négatifs dans le second, ou plutôt j'écrirai alors — a', — h', — c'. Dans le premier cas, 2D — abc = abc 4- 4 a'b'c' — 2 [aan 4- bb'3 -t- ce'1) ne sera jamais négatif, car k = aa' (b — ia')-\- bb'{c — 1 b') 4- cc' (a — 2 c') + a'{a — -i.b'){b — ic')-\- h'[b—2 c') (c—2«') -t- c'(c — 2 a') [a—2 b') -h [a — a b') (b — 2 c'){c — 2 a') est essentiellement positif ou nul, et donne, réduction faite, A =abc -t- 4a'b'c' — 2. («e'a 4- bbn-\-ccn) = 2D - abc, ainsi 2 D — abc n'est jamais négatif; 2 D ̂  abc. Dans le second cas, on met une nouvelle condition pour les réduites ; prenante < b < c, on suppose a 4- b — 2 [a'~t- b' -t- c') nul ou positif : cela est permis, car si l'on avait au contraire e4-Ô4-d = 2e'4-2 b'+ 2 c', â étant positif, on poserait x — — x' 4- ο. y 4- 2/, jr— ο .χ —γ' 4- ζ', Ζ — Ο . χ' 4- Ο .y 4- ζ', substitution de déterminant 4- ι qui changerait la forme ax* -+- by2 4- ù ζ2 — 2 a'y ζ — 2 b'xz — 2 c'xy PURES ET APPLIQUÉES. 4o9 dans la forme équivalente ax'2 -+- by'2 + [α + b + c — 2 (a' -+- b' -+- c')] z/a — 2 ( b — a' — c')y'z' — 2. (a — b' — c') χ' z' — 2 c'x'y'. Or on reconnaît que cette forme est encore réduite, et que, si on la représentait par a, x'2 4- b, y'2 4- c, ζ'2 — 2 a\y' ζ' — 2 b\ χ' z' — a c\ x'y', elle remplirait (outre les conditions ordinaires at — ib^o, etc.) la condition nouvelle demandée, que la somme des deux plus petits coef-ficients des carrés surpasse ou au moins égale la somme 2 (α, + b\ 4- c\) des coefficients des rectangles. Ceci posé, on a D = abc — ia'b' c' — (a a'2 ■+· b b'2 4- cc'2), d'où 2D — abc = abc — 4 à b' c' — 2 (aa'2 4- bb'2 4- cc'2), quantité qui n'est jamais négative; car si l'on pose Β = (a — 2 c') {b — a a') (c — 2 b') 4- (a — 2b') (b — 2 c') (c — 2 a') -H 2 aa! \b 4- c — 2 (a'-h b'-l· c')] -1- ibb' [c -h a — a (b'-h c'-h a')~\ 4~ 2 cc' £a 4~ b — 2 [c' —f- a -1— b' ) j, cette quantité, qui n'est jamais négative, sera, réduction faite, B = 2 abc — 1 Ha'b'c' — 4{aa'2 4- bb'2 4- cc'2), et ajoutée à la quantité positive employée déjà, A = abc -1- 4 a'b'c' — 2 {aa'2 4- bb'2 4- cc'2 ), elle donnera A 4- B = 3 abc — 12 a'b'c' — 6 [aa'2 4- bb'2 4- cc'2) = 6D — 3 abc. Ainsi 2D — abc n'est jamais négatif. On parvient au même résultat ainsi qu'il suit : Soit C = c {a — 2 c') {b — ia') -l- c {a — 2 b') (b — 2 c') 4- 2 aa' [c — 2 α') 4- 2 bb'{c— %b') 4- 2 cc' \a-\- h — % [a' 4- b' c')]. Tome Ier (ie série).— NOVEMBRE 1856. 02 4lO JOURNAL DE MATHÉMATIQUES Cette quantité, qui n'est jamais négative, est, réduction faite, C = a abc — 4 {clo!2 + bh'* + cc'2) : d'ailleurs Β = ι abc — 16a'b'c' — 4{(ta'2 + bb'2 + cc'2)·, de là, Β + C = 4 abc - i6a'b'c' — 8 {aa'2 -h bb'2 -h cc'2) = 8 D — l\abc. Cette démonstration ne diffère de celle de Gauss que par la notation et quelques développements; d'ailleurs elle emploie les trois mêmes identités. La Note de Gauss sur l'ouvrage de M. Seeber finit par l'exposé de quelques considérations géométriques relatives aux formes binaires et ternaires; elles ont été développées par M. Dirichlet (Journal de Crelle, tome XL). On trouve à la fin du Mémoire de M. Dirichlet [*] une démonstration géométrique du théorème de Seeber ; M. Her mite en a aussi donné une dans le même Journal. Les deux démonstrations emploient une même inégalité, que les deux auteurs ont obtenue par des moyens différents. Il convient de dire ici qu'à la fin de sa Note Gauss donne l'énoncé géométrique suivant du théorème de Seeber : Dans tout parallélipipède, où les diagonales, tant celles des faces que celles du parallélipipède, ne sont pas inférieures aux arêtes, le volume du parallélipipède multiplié par \ji η est jamais inférieur au volume du parallélipipède rectangle formé avec trois arêtes issues d'un même sommet. [*] Cet excellent Mémoire est écrit en langue allemande, et il serait bien à désirer qu'on nous en donnât une traduction française. ( J. LIOUVILI.E. ) 

Sur la réduction des formes quadratiques définies positives à coefficients réels quelconques. Démonstration du théorème de Seeber sur les réduites des formes ternaires

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