Tissot, A.

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A. TISSOTSur un déterminant d’intégrales définiesJournal de mathématiques pures et appliquées 1re série, tome 17 (1852), p. 177-185.<http://www.numdam.org/item?id=JMPA_1852_1_17__177_0>Article numérisé dans le cadre du programmeGallica de la Bibliothèque nationale de Francehttp:// gallica.bnf.fr/et catalogué par Mathdocdans le cadre du pôle associé BnF/Mathdochttp:// www.numdam.org/ journals/ JMPAPURES ET APPLIQUÉES, 177 SUR UN DÉTERMINANT D'INTÉGRALES DÉFINIES; PAR M. A TISSOT. L A l'aide d'un changement de variables, M. William Roberts a établi [*], entre certaines intégrales définies, des relations analogues à celle que donne le théorème de Legendre sur les fonctions ellip-tiques complètes de première et de seconde espèce à modules complé-mentaires. On peut obtenir une formule, qui comprendra ces relations comme cas particuliers, en calculant le déterminant "=21^1 e'ïW)j, * ï,wJ. c ïzmJ. " ou, ce qui revient au même, l'intégrale définie multiple (1) D = Ρ Ρ'··· Ρ" f" ,ixdx f/x dx , φ(χ), φ, (x),···, ψ,,-ι (■*·"}, ψ„(χ) représentent ici les expressions que l'on trouve, en donnant à l'indice i toutes les valeurs entières, depuis zéro jusqu'à n, dans φ{. (χ) = (χ — a) {χ —a,) ...{χ — α,) (α,!+ι — χ) ...{α„ — χ) ; m, mmn_{, m„ sont des exposants positifs plus petits que l'unité, ou des exposants négatifs quelconques; enfin, la fonction Π remplace le produit Π {χ, χ,Jfn_, ,χ„) = (.τ, - .r) (ara — χ) χ) (a-, - χ,)... [χα - χ,) a-„_,)· [*] Tome XVI du présent Journal. Tome XVII, —MAI i85a. 23 i78 JOURNAL DE MATHÉMATIQUES Soit pi le complément de m, à l'unité; posons F,·(λ·) = (χ — a) (χ — a{) ...(x — a() (ai+, — x)...{aH — χ) ; si nous indiquons par la lettre Γ les intégrales eulériennes de deuxième espèce, et au moyen d'accents les dérivées prises par rapport à χ, la formule en question sera (,, D = R(RT Rr<»). 2. Lorsque n-t-J quantités A, A,,..., A„_,, A„ satisfont à une même équation différentielle linéaire dont le second membre est nul, et dont la variable indépendante est a, le déterminant τ, ν Γ Λ clhl, d" 'A"-' d"kA [ da dan_t dan J peut se mettre sous la forme —fVdà R == ye , Ρ étant le rapport du coefficient du second terme à celui du premier, dans l'équation différentielle linéaire, et y une constante par rapport à a. Pour établir la formule (a), je m'appuierai sur cette propriété, qui a été démontrée par M. Liouville [*]; après avoir prouvé qu'il y a lieu de l'appliquer ici, je n'aurai plus qu'à déterminer la valeur par-ticulière de y. 3. Considérons d'abord le cas où η serait égal à limité, et ou, par conséquent, la notation précédente donnerait φ {χ) = (χ - a)m (a, - x)m., φ, (a?) = [χ - a)m{x - a, )m·. D= f %-*_*!_ Γ e~x— - fV* — Γ (Γ*—· La formule à démontrer devient alors Ό = Τ{ρ)Τ(ρι){α4-α)ρ+Ρ [*] Tome X du present Journal. PURES ET APPLIQUÉES. 179 ρ et p, représentant, comme tout à l'heure, les différences i— m et ι — m,. Or, il est facile de vérifier qu'en posant A= f'e^^—^dx, A ,= f <r*\* a\[ dx, Ja (X~ «)"(«, — 1 ~Ja, — — on pourra mettre D sous la forme D = A, Β — Β, A ; et, si l'on différentie par rapport à η les deux membres de cette équa-tion , il viendra dD _ f' e~'dx Je, {x~a)'+m(x — at)'\ ' ?(aJ* le dernier terme de cette expression est nul ou infini, suivant que l'exposant m est négatif ou positif. On a d'ailleurs identiquement d\e-*{a'-xX} - -mia - αλ · (a, a -h ρ ρ, — i) dx, d'où l'on tire, en intégrant depuis a jusqu'à a,, m f ,!"'lx = -Λ /IH_ t±£lZ±\ B + -—: (# — a)'+m (a, — Λ)"". a,— η \ β, — α / <p(a) de même, si après avoir différentie e~x _"a Lr Par rapport à .r, et ordonné le résultat suivant les puissances de χ — a, on intégrait entré les limites a{ et α© , on trouverait Γ " e Xdx A, _ / , P+Pi—i \ x> mJa [x — a)i+m [x — à,)m, —a \ a,~~a ) 1 " Par la substitution de ces valeurs aux intégrales, autres que A et A,, a3.. ι8ο JOURNAL DE MATHÉMATIQUES qui entrent dans l'expression de ~ > on fera disparaître de cette ex-pression le terme qui contient f(a) en dénominateur, et on obtiendra, toutes réductions faites, ^ = - + — ) D. On aura donc, en intégrant, et en représentant par y une quantité indépendante de a, (3) D ~ y (a, — e~a. 4. Pour calculer y, nous pouvons faire, dans cette dernière for-mule, a = <7,, ou, ce qui revient au même, remplacer a par a, — ε, et faire converger ε vers zéro ; or l'expression du déterminant sous forme d'intégrale définie multiple , savoir ρ Ç"' e~x~', (x,—x)dxdx, ~ Ja Je, iX — a)m(a' — — a)m(x,~ Λ,)"1.' devient, lorsqu'on pose χ = a, — (ι — ε) z, jc, — a, -hy, et qu'on assigne à ε une valeur très-petite, Ε = £P + * —J[ e~y jrP+r,-< dy, ou bien, en introduisant les fonctions Γ , Ε = Γ (ρ) Γ(ρ,) îp+P,-< e~îai. Dans les mêmes circonstances, l'équation (3) donne Ε = ysP + P'~1 e~ a> ; on a donc y = r(p)r(p1)e-«., et, par conséquent, D = Γ (ρ) Γ (ρ,) (Λ, — a)P+P*—1 e 5. La formule (a) se trouvant établie, lorsque η est égal à l'unité , il suffit maintenant de faire voir que, si elle est vraie pour tout déter-PURES ET APPLIQUÉES. 181 minant composé avec η2 iutégrales définies, qui remplissent les condi-tions voulues, elle le sera encore pour ceux qui en renfermeront («+ i)a. La même conséquence aurait pu se déduire de l'examen du cas particulier où l'on a η — ο, car alors l'expression Π (η, a,a„), c'est-à-dire le déterminant 2[±a°, dans lequel les indices supérieurs doivent être pris comme exposants, se réduit à l'unité, et la formule (2) devient évidente. Aussi les développements précédents ont-ils principalement pour but d'éclaircir, par un exemple, la démonstration qui va suivre. 6. Le déterminant proposé ne change pas lorsque, sous le signe somme de chaque intégrale définie, on remplace, au numérateur, χ par χ — a; de sorte que l'on a D-VÎ-e Γ^ — dx Cnc~*{*-a)n~' Jx f" Λ Ί cette expression revient, en effet, comme la premiere, à l'intégrale multiple (1). Or, si l'on pose Ai=l, " -&Tdx' et qu'on différentie η — k fois par rapport à a, k désignant l'un des nombres entiers ο, j, 2,..., n, il viendra (4) d~â^-r={ ~— m){n — 1 — m)...[k 4-1 — m) f '+' e'1--.-"j- rfx. Le coefficient du second membre de cette égalité varie avec k et avec i, mais il se décompose en deux facteurs y.k = (— 1 )""*(« — m) (η — 1 — m)... [k -+-1 — m) et β._ (_,)m,-+- m, +...·4-dépendant chacun d'un seul de ces indices; en représentant par R le déterminant R=2, A ÂT··" -fc=r- J » f 82 JOURNAL DE MATHÉMATIQUES et par 9 le produit a β a, β,... α„β„, on aura donc R = ΘΌ. 7. L'égalité (4) subsiste pour k = — 1 , tant que a, est dilférent de a ; elle peut s'écrire (a / e~x- — dx — ττ^ττ '·. I d'ailleurs, si l'on pose ,(x)^F(X) + F-^, on trouvera facilement -<m*) - «(«ut* - «) -d'où l'on tire, en développant les polynômes zs{sc), l'(x) et F'(x) suivant les puissances de χ — α, puis en intégrant entre les limites at et «,·+,, dont la première est encore supposée différente de a, k — n-1-1 n ,fi·. Γ(*+ .)*<*>(«)-(«) r Λύ _ n A = o Fnfin, si l'on remplace l'intégrale de Ja parenthèse par l'expres-sion (5), on obtiendra l'équation différentielle linéaire de l'ordre « -+- r , k = η } 7) Σ L ,».,Γ(* + 2) = k=z ο à laquelle satisfont A,, Aa,..., A„. Je dis qu'il en est de même de A : en effet, lorsque aj est égal à a, 1 equation (5) a lieu pour k=i, 2,..., n\ mais, si l'on y fait A = o, il faut ajouter à son second membre par conséquent, au Premier membre de l'équa-tion (7). D'un autre côté, ce premier membre doit être diminué de e~" F1"^ 1 comme celui de l'équation (6); or il est facile de voir que PURES ET APPLIQUÉES. 183 ces deux quantités, qui seraient nulles d'elles-mêmes pour m < υ, mais infinies pour m > o, se détruisent mutuellement [*]. 8. Cela posé, en mettant successivement A, A,,..., A„, au lieu de A,, dans l'équation (7), on aura, entre les η + ι coefficients de ses diffé-rents termes, η + ι équations du premier degré, desquelles on pourra tirer les rapports de ces coefficients à l'un d'entre eux , en fonction de A, A,kn et des dérivées de ces quantités par rapport à a. En particulier, le rapport Ρ du coefficient du second terme à celui du premier sera donné par une fraction ayant pour dénominateur R, et pour numérateur ce même déterminant, dans lequel on aurait mis, au lieu des dérivées de l'ordre η, les dérivées de l'ordre ri -+- 1 chan-gées de signe. Le résultat de cette substitution ne diffère de — que par une somme de termes qui se détruisent deux à deux, puis-qu'on peut les grouper en η déterminants, dans chacun desaueis deux lignes verticales ou deux lignes horizontales présenteraient une composition identique. On a donc P = _ L^, ou bien, en remplaçant R par ÔD, et observant que & est indépen-dant de a, ρ — __ _L · si l'on intègre par rapport à a, et qu'on désigne pa-r γ une fonction encore inconnue de <7,, rt2,..., il viendra D = y er~ fvda . [*] Toutes les intégrales dè la forme .Ja <P0) peuvent s'obtenir linéairement an moyen de λ d'entre elles, pour lesquelles k est l'un des nombres ο, 1, 2,..., η: celles-ci n'existent jamais sous forme finie; elles fournis sent, comme les transcendantes dont la différentielle est algébrique, les intégrales com-plètes d'autant d'équations différentielles linéaires avec second membre. ( éWr, pour ces dernières transcendantes, un Mémoire de M. Hermite , tome IX du présent Journal.) 184 JOURNAL· DE MATHÉMATIQUES 9. L·'équation (7) peut s'écrire ET (a) dA, (η — m)[n — ι—m) ..(1 — m) m da 2σ'(β) —F"(fl) d"A; 2(n— m) (λ—ι 1—m) da" de sorte que l'on a ρ = m , 2 ET (<7 c'est-à-dire Ρ — , ! J'+P1—I , P+ρ, — ι [ P-Ï-Pn — I a,— η α,—a " «„—« et I expression de D devient, lorsqu'on y introduit cette valeur de P, 18) D = y (a, — a)p+Pt~l (rt2 — α)Ρ+Ρ>~'... (a„ — α)Ρ-^Ρη~ι e~a. 10. Représentons par Δ la limite vers laquelle converge le rapport de D à (a, — α)Ρ^Ρ'~τ, lorsque a s'approche indéfiniment de ; puisque y est indépendant de a, nous aurons, en vertu de l'équa-tion (8), (9) l{a2— (i,)P-+~P'-1... («„ — α,)Ρ-^Ρη-1 e—«. = Δ. Pour calculer Δ, on peut recourir à l'expression du déterminant sous forme d'intégrale définie multiple; si l'on pose, dans cette expression, π = α, — ε, χ = aK — £(f — zï, afin de mettre en évidence le facteur ζρ-*-ρ· et si, après avoir sup-primé ce facteur, on fait ε = o, on trouvera, en introduisant les in-tégrales eulériennes de deuxième espèce, (IO) Δ = a,y·"'···(>«-at)p.-1 <?-«. D, : nous désignons ici par D, un déterminant analogue à D, et qui cor-respondrait, à la composition suivante de φ, (■£"), (χ — ' (Λ· — α2Υ'... (χ — at)mi{ai+K — x)mi+>...(a„ — x)'"„. Par hypothèse, on peut appliquer à ce déterminant la formule (2); il PURES ET APPLIQUÉES. r 85 suffit d'y omettre les facteurs Γ(ρ), F'(α) et e~a, puis d'y rempla-cer p, par p-hpt, F' (α(·) par et Π (a, a,, a2,. . , an) par Il («,, a2,..., a„); elle donne alors η -rfr ι r irfn ï Γίη) Κ(".)ρ+ρ'Κ(*.)'''-ύ(*>.)ρ"-α'~α·- . Si maintenant on multiplie membre à membre les équations (8), (9), (10) et (11), on obtiendra la relation qu'il s'agissait de démontrer. 11. Lorsque les exposants m, m,,..., m„ sont tous égaux à cette relation devient n-M 1) = n~ e-a~">-···-"». En faisant dans cette dernière η — a, a — o, a, = b2, a2 = c2, χ — u% on retrouve celle qui a été donnée par M. William Roberts. Tome XVII. - MAI i85a. 24 

Sur un déterminant d'intégrales définies

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