Genocchi, Angelo

Numérisation de Documents Anciens Mathématiques

ANGELO GENOCCHINote sur les nombres complexesJournal de mathématiques pures et appliquées 1re série, tome 19 (1854), p. 281-288.<http://www.numdam.org/item?id=JMPA_1854_1_19__281_0>Article numérisé dans le cadre du programmeGallica de la Bibliothèque nationale de Francehttp:// gallica.bnf.fr/et catalogué par Mathdocdans le cadre du pôle associé BnF/Mathdochttp:// www.numdam.org/ journals/ JMPAPURES ET APPLIQUÉES. 281 NOTE SUR LES NOMBRES COMPLEXES ; PAR M. AXGEI.O GENOCCHI [*]. Soient η un nombre premier impair, r une racine imaginaire de l'équation rn = 1, et considérons le nombre complexe ci 4- cit R -4- CI2 r2 4- ... -f- RN 1 formé avec des coefficients a, entiers. Si ce nombre complexe est divi-sible par 1 — r, nous pourrons représenter par A, r 4- A2 r2 4- ... 4- A„_, r"'* le quotient, en supposant b,, A,...., ΑΛ_, entiers, et nous aurons β 4- bn_, -t- (il, — At ) r 4- ( — b> b, ) /'" 4- (β;ι — A:1 -1- A2 ) /"' -t- ... ~Ί~~ bfï—ί "t- An__2) ' — Ο i d'où, en vertu de l'équalion irréductible ou déduira 1 -t- r -t- /2 4- ... -f- r" 1 = ο, «-4-A„_, = A, β, —A, —A, α.ι — A2 4- A, = A,..., an-i — ^n-t ~t~ ^n-2 — ^ · k étant un entier, et, par conséquent, β 4-A,_, = A, A, =β, — A, Aa = β, 4-fls — 2 A, A3 β 4 4- β 2 ""t- β3 ^ A , · · > , A, rrz: ZZ4 4- β2 -f- ... 4- Cli — /A,·.., A„_t = a, 4- β2 4- ... 4- β„_, — (η — ι ) Α. f*] Il y a très-longtemps que cette Note m'a été adressée et qu'elle aurait du être imprimée. L'auteur a depuis publié dis recherches plus étendues sur la théorie des nombres. Je crois pourtant que le présent article peut encore aujourd'hui être mis utilement sous les yeux du lecteur. (J. LIOUVILLE.) l'orne XIX. — SEPTEMBRE >854· 36 282 JOURNAL DE MATHÉMATIQUES La première et la dernière de ces équations donnent • (l -f- Ci, -4- G1 -f- . . . -4- 0n—\ et, k étant ainsi déterminé, les autres équations détermineront tous les coefficients A,·. On voit donc que la condition nécessaire et suffi-sante pour que le nombre complexe proposé soit divisible par 1 — r, est que la somme et —l·- df -f-... -f- cifi~j de ses coefficients soit divisible par η ; théorème connu. Supposons que chaque coefficient rq soit formé d'après cette loi, a, = h + /,, + h. Ό±Δί!±ΐ1 + ... , i(i -hm) i(i-{-1).. ,(im+1) h, h,, A2,..., hm étant des nombres entiers constants. On aura a — ο, a, -4- + ... + «,· _ /( -4- A, - + . . . / ' ( ' + ')·■· (' + M +') _ ' ('-HI).·· (i-hin + 2) ^ et, en faisant / — η — ι, 011 verra que le second membre de cette équation aura tous ses termes divisibles par η tant que m -+- I sera < η : donc, si m est < η — 3, la somme A -+- FZ, H- #2 FTFT— Ι sera divisible par n, et le nombre complexe FL -4- Ο, V -4- ... -F- F7„_, * le sera par 1 — r. De plus, les coefficients A,- du quotient suivront la même loi que les coefficients a,·, car bi=- — k — -f— (tf -h a 2 -+-... -I- Oj t mais ηι dans bl sera changé en m ·+-1. En traitant de même ce quo-PURES ET APPLIQUÉES. 233 tient, et ainsi de suite, on verra que le nombre complexe primitif est divisible par la puissance (ι — r\«-m-3_ Prenons m — η — 4, la formule l"' I .2.3.. + 2) I.2...(M + 3) 7 /(;+i)(i+î)...(i + w+ i) / (i + ι)... (i + m + 2} donne A, + A2 + A3 + ... + A,· — — A \- h ^ + ... , 7(r + ι)... (i + m + 2) _ 7(7 + 1)... (/ + m + 3) et, par suite, A, + b2 + ... + An_, = — λΛ + h K -t- ... , (Λ l) 77 (77 -f-l) ..(τ7 + 777 +ΐ) (77 l) 77 (/7 + l). . . (/7 + 777 + 2 ) dont tous les termes, excepté le dernier, sont divisibles par τι; quant au dernier, il devient ( 77 + 1 ) ( 77 + 2 ) ..(77 + 7?7-t-2) et puisqu on a (η + 1) [η + 2)... (/i + /ra -p 2) = Qrc + 1 . 2 . 3 .. . (771 + 2 ), Q étant entier, et que m + 2 = η -on conclut bt -+- b2 + ... + A„_, += — 1 (mod. η). On déduit de là ce théorème : Que ie nombre complexe primitif est divisible par (1 — r)"~'n~3, et que la somme des coefficients du quotient étant augmentée de l'unité est divisible par n. Je ferai quelques applications de ces résultats. i°. Si l'on prend ft —— fî * (X^ —— ■·· —1— j —— Oj 36., 28/, JOURNAL DE MATHÉMATIQUES il vient -^—r — — /' — 7.I 2 — 3r3 — ... — (n — i) r"~' ; puis, en prenant a — ο, = — ι, k — —-— 5 on a ry = (k — i) r -t- (ak ~ 3) r2 4- (3k — 6) r® -h... -h (n — ι) k — n~~l) et, dans ce quotient, le coefficient de r' est ik — ce φή rentre dans la loi générale ci-dessus indiquée, pourvu qu'on suppose tu— o, h=k. En conséquence, ce dernier nombre complexe sera divisible par (i — r)"~3, et la somme des coefficients du quotient -—-ρψζ:, > étant augmentée de l'unité, sera divisible par n. Or on a η — (ι — ι·)(ι — r*)(i — r3).. . (i — r" ' ), et, par suite, (i—r)"-1 ' ι—r ι — r ι—/ ' de plus = Ι + γ+ Γ+ ...+ Γ' 1 , nombre complexe dont la somme des coefficients est i\ de sorte que cette somme, dans le nombre complexe^—» sera égale au pro-duit ι . 2 .3. . . — ι). Il en résulte donc le théorème de Wilson, sa-voir, que le produit ι . ι. 3 ... (ti — i) augmenté de l'unité est divi-sible par n. 2°. En désignant par m un nombre entier non divisible par n, on peut changer r en r"\ et poser n — (i— rm)(i-rim).. (t — r<"-"m), PURES ET APPLIQUÉES. a85 d'où (i——r2m) ..(ι — ri"-')"') η Maintenant, si l'on regarde le premier membre de cette équation comme un nombre complexe divisible par ι — r, on devra conclure que la somme de ses coefficients est divisible par n. Mais dans — = ι H- R' -+- R2' + ... + la somme des coefficients est toujours m; et, par suite, cette somme, dans le premier membre en question, est m"-1 — i. Donc ιηη~' — ι est divisible par n·, théorème de Fermât. 3°. Remplaçons r par rs, i— r2'par — r-'); puisqu'on a (- ,)»-■ = j= j, il viendra (r"< _ r~'") (r'*m — ι—3 m)... ( /·("—1 '> r—(»—0 « (r_r-')(rs_ —r-"+') ~~ ' ' Posons ~ ' ? 1 '') — '~(7— ~r-<) (r3 — r-')..."(r*— Ο : évidemment fir-') = φ(/·); mais, en observant que (r-1 )-'=: I-"", (r-1 et fi — k — k —H ι, on aura aussi é /-(Π—Ι } m ρ — («—!) J ^ ;m 1—1) /i+l ) fi f,~ (A-Hi : m et de là 9 ir) Ψ = 1 : il s'ensuit [? (/-)]»=!, φ(»·)=±:ι. 286 JOURNAL DE MATHÉMATIQUES Désignons par ε cette valeur de <p(r), dans le nombre complexe <p(r) — ε la somme des coefficients sera divisible par >ι, et comme, en général, dans r r — r-i(m-t) . r — 1 _ (B-i) ÇrSi(m—l) _|_ y,21 (m—2) ,.2 i _j_ , j la somme des coefficients est m, et que, par suite, elle est mk dans φ (r), on conclura que mk — ε est divisible par n. On a donc Â'(A--HL) «s — I en employant la notation de Legendre, ce qui donne la formule I m\ (rm— r~m)(r'>m— r-"")...(r*'"— r-1™·) Soit m = 2, et remarquons que si i est pair, on a (- .y (,-i-/-) = r·· et si i est impair, on a (— r)' (r1 — r~') = r-' — r' = r"~' — r~"+'·, observons de plus que, dans ce dernier cas, η — i sera pair, et plus grand que k si i est < k. En posant successivement 1 = 1,2, 3,..., A', en multipliant entre eux les résultats, et se rappelant l'équation I+2 + 3-t-...+ /!-=^±^, on obtiendra (—1) 2 [r — r~')(r2 — r~2) (rs — r-'3). . ,(rk ~ r~k) = (r2 - i-2) (r* - r~4) (r* - #-·) . . . (/·2Α - r"8*); d'où, en vertu de la formule précédente, on tire (;)=(-'~ = (-0"8_· La même formule dispense de recourir au letnme de M. Gauss dans PURES ET APPLIQUÉES. 287 la démonstration que M. Liouville a donnée de la loi de réciprocité de Legendre. Mais elle conduit aussi immédiatement à cette loi à l'aide d'une simple transformation, indiquée aussi par M. Liouville. En effet, soient m un nombre premier impair, q une racine imaginaire de l'équation <Γ — 1 » et faisons ( n\ \<j"~ Ç ·(Φ"— t]~hn) nous aurons ( n\ \<j"~ Ç~") {f,n — · ·(Φ"— t]~hn) on a de plus, en général, = (Ar- Br-')(Ar2-Br-2)... X ( A r"~2 - Β r-n+2 ) ( A r""' - Β r~n+' ), OU = (Ar-Br')(Ar2 - Br2)...(Ar«-BrA) X (Ar1 - Br) (Ar~2 - Br2). .. (Ar~* - BrA), . et, de même, \ m "Of/j V- t! = (A? - Bfr' ) ( - Br2) · ■ ■ (V - Βq-") X (Aq~' — Βq) (Ar/~2 — Βq*)... (Aq~h — BqA). En assignant à A, dans la premiere de ces deux équations, toutes les valeurs <7, </2,..., qh, et dans la deuxième tontes les valeurs r, /2,..., /*; et prenant Β = A- 1; puis en substituant dans les expres-sions de (^~^j et (7^' on trouvera aisément \m/~ (<? — 'γίΙΙ2— (?λ—1~h) J'indiquerai une autre forme qu'on peut donner à la démonstra-tion de M. Liouville. Soit g une racine primitive de la congruence x"~{ = 1 (mod. η), et soit /« = gx (tnod. η), 2 88 JOURNAL DE MATHÉMATIQUE S λ étant < η — ι : clans la suite i-t-λ, 2 -4-λ, 3 + λ,..., k 4- λ le nombre îles termes compris entre k et ik sera λ si λ < k, sera 2A — λ si λ > k Mais on aura o-k-H ο· 2/i-W „t et, par suite, r° = r g , / = = /R , d'où il est facile de déduire (r*'+i - r-é'i+;) (r*'+A - r-*'+x) ... (i«<+A - ,-«*·>) — ( — 1 );-. ( rs — r~s) ( r^ — r~g2 )... ( /^ — r-»"' ), et comme = (— ι Λ g'+; == mg< (mod. η), = r™*', on en tirera (r"tf—r~'"S) (rmS* — r-'ne').. r—"®4) On aura une formule analogue pour J en appelant f une ra-cine primitive de la congruence .χ''"-1 = ι ( mod. m), et, à l'aide de décompositions semblables aux précédentes, on dé-montrera que \q}«-q-f°·) V ' Xrrf—r-tP) les signes de multiplication Π s'étendant aux valeurs 1, 2,..., h de a, et aux valeurs τ, 2,..., de β ; et de ces équations résultera la loi de réciprocité. On peut aussi se servir de la formule (1)= (_ι)Λ,π(^ζ^ν qu'on obtient en élevant à la puissance h les deux membres de l'équa-tion n= (-1 )*Π (rs·3- rs?)2. 

Note sur les nombres complexes

http://www.numdam.org/item/JMPA_1854_1_19__281_0.pdf

Note sur les nombres complexes

Abstract

Similar works

Full text

Available Versions

Numérisation de Documents Anciens Mathématiques