Lair, C.

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DIAGRAMMES , SUPPLEMENT AUX VOLUMES 67 + 68 , 2012, PARIS, pp. 239-248 EDITE PAR L. COPPEY , F. FOLTZ , R. GUITART, C. HENRY , C. LAIR ECLATEMENTS DE MODELES D'ESQUISSES ET APPLICATIONS    C. LAIR         ECLATEMENTS DE MODELES D'ESQUISSES ET APPLICATIONS  Christian Lair lairchrist@aol.com   à Madame Andrée CHARLES EHRESMANN   en témoignage de gratitude et de profond respect   Introduction. On sait, très classiquement, associer à un foncteur EnsC →:F  , d'une catégorie C  vers la catégorie des ensembles, une fibration discrète CC →/F  où C/F  est la catégorie des éléments de F  , encore appelée (comme en [C.A.S.T.] ) la catégorie des hypermorphismes de F  et que nous préfererons appeler ici, par commodité, la catégorie éclatement de F  . Après avoir brièvement rappelé (§1) ce que sont les graphes à composition (ces héritiers directs des graphes multiplicatifs de [C.A.S.T.] et qui sont des "présentations de catégories"), c'est sans aucune difficulté qu'on adapte immédiatement (§2) cette construction classique. Ainsi, à un quelconque foncteur EnsG →:F  d'un quelconque graphe à composition G  vers la catégorie des ensembles, nous associons, par pure analogie avec le cas des catégories, le graphe à composition G/F  éclatement de F  . Après avoir brièvement rappelé (§3) ce que sont les esquisses (initiées en [I.T.S.C.] et [E.T.S.A.] ), nous montrons (§4) qu'on peut très naturellement associer (moyennant un effort supplémentaire) à un modèle EnsE →:M  , d'une esquisse E  vers Ens  , une esquisse E/M  qui mérite tout autant de s'appeler l'esquisse éclatement de M  . Nous utilisons enfin (§5) cette dernière construction pour (ré-)établir très simplement que : - si C  est une catégorie accessible (i.e. esquissable) et si C  en est un objet, alors la catégorie C/C  est aussi accessible (i.e. esquissable), - les catégories esquissables possédant un objet terminal sont exactement les catégories qui peuvent être esquissées par des esquisses où les cônes inductifs distingués sont tous d'indexations non vides et connexes. 2412 De la sorte, à l'aide de ces éclatements de modèles d'esquisses, nous retrouvons très simplement, deux résultats antérieurement établis (voir [A.C.F.C.] et [C.M.O.T.] ) utilisant systématiquement (donc plus "lourdement") la caractérisation intrinsèque des catégories accessibles ou esquissables (voir [C.M.C.E.] ). Nous espérons montrer, ainsi, tout l'intérêt qu'il peut y avoir (parfois ... ou souvent) à esquisser ou ré-esquisser explicitement (surtout quand c'est très simple) les catégories accessibles (de [A.C.F.C.] ), i.e. les catégories esquissables, (de [C.M.C.E.] ), sans énumérer la longue liste des situations qui confirment ce point de vue. 1. Graphes à composition. Un graphe à composition G  est constitué par : - une classe d'objets )(GOb  , - une classe de flèches )(GFl  , - une classe de flèches identités )()( GG FlFlId ⊆  , - une classe de couples (de flèches) composables )()()( GGG FlFlComp ×⊆  , - une opération sélection des domaines (des flèches) : )()(:)( GGG ObFlselectdom →  , (alors, pour toute flèche g  de G  , on note évidemment : )())(( gg domselectdom =G  ), - une opération sélection des co-domaines (des flèches) : )()(:)( GGG ObFlmselectcodo →  , (alors, pour toute flèche g  de G  , on note évidemment : )())(( gg codommselectcodo =G  ), - une opération composition des couples composables : )()(:)( GGG FlCompcomp →  , (alors, pour tout couple composable ),'( gg  de G  , on note évidemment : gggggg .compcomp '),'(),')(( ==G  ), et, ce, de sorte que : - pour toute flèche à identité g  de G  , on a : )()( gg codomdom =  , - pour tout couple composable ),'( gg  de G  , on a : 2423 )()'( gg codomdom =  )'()'( ggg codom.codom =  et )()'( ggg dom.dom =  . En particulier, un graphe orienté s'identifie à un graphe à composition dont la classe des flèches identités et la classe des couples composables sont vides. De même, une catégorie s'identifie à un graphe à composition où chaque objet est le domaine/codomaine d'une seule flèche identité, chaque couple de flèches consécutives est un couple composable, les flèches identités sont des éléments neutres ("locaux") pour la composition et la composition est associative. Enfin, un graphe à composition G  est évidemment dit petit si les classes )(GOb  , )(GFl  et )(GComp  sont des ensembles. Nous laissons au lecteur le soin de définir (par analogie avec le cas des seules catégories) ce qu'est un foncteur (i.e. un homomorphisme) ': GG →F  d'un graphe à composition G  vers un graphe à composition 'G  . De même, nous lui laissons le soin de définir (par analogie avec le cas des seules catégories) ce qu'est une transformation naturelle CG → :': FFn  entre deux foncteurs CG →:F  et CG →:'F  d'un graphe à composition vers (seulement) une catégorie. 2. Le graphe à composition éclatement d'un foncteur d'un graphe à composition vers la catégorie des ensembles. Supposons que G  est un graphe à composition et que EnsG →:F  est un foncteur. On désigne par G/F  l'éclatement de F  , i.e. le graphe à composition (évidemment petit, si G  est petit) défini comme suit : - ses objets sont les ),( xG  , où G  est un objet de G  et x  est un élément de )(GF  , - ses flèches sont les )','(),(:))','(,),,(( xGxGxGgxG →  , où ),( xG  et )','( xG  sont deux objets de G/F  , ': GGg →  est une flèche de G  et '))(( xxgF =  , - ses flèches identités sont les flèches ),(),(:)),(,),,(( xGxGxGgxG →  de G/F  , où GGg →:  est une flèche identité de G  , - ses couples composables sont les )))','(,),,((,))","(,'),','((( xGgxGxGgxG  , où ))","(,'),','(( xGgxG  et ))','(,),,(( xGgxG  sont deux flèches de G/F  et ),'( gg  est un couple composable de G  et alors on a : 2434 ))","(,'),,(()))','(,),,(())","(,'),','(( xGggxGxGgxGxGgxG .. =  . 3. Esquisses. Une esquisse E  est constituée par : - un graphe à composition )(ESupp  , qu'on appelle son support, - une classe )(ECP  de cônes projectifs I∈→= III PPpp ):(  , dits distingués dans )(ESupp  , d'indexations des graphes à composition I  et de bases des foncteurs )(: EI Supp→P  , - une classe )(ECI  de cônes inductifs J∈→= JJJ QQqq ):(  , dits distingués dans )(ESupp  , d'indexations des graphes à composition J  et de bases des foncteurs )(: EJ Supp→Q  . Et une telle esquisse E  est dite petite si, et seulement si : - son support )(ESupp est un graphe à composition petit, - la classe )(ECP  de ses cônes projectifs distingués est un ensemble, - la classe )(ECI de ses cônes inductifs distingués est un ensemble, - l'indexation I  de chacun des ses cônes projectifs distingués est un graphe à composition petit, - l'indexation J  de chacun de ses cônes inductifs distingués est un graphe à composition petit. Supposons que E  est une esquisse. Un modèle EnsE →:M  de E  vers Ens  est constitué par un foncteur EnsE →)(:)( SuppSupp M  , qu'on appelle son support, tel que : - pour tout cône projectif distingué )():( EI CP∈→= ∈III PPpp  , le cône projectif image ))(( pMSupp  est un cône limite projective de Ens  , - pour tout cône inductif distingué )():( EJ CI∈→= ∈JJJ QQqq  , le cône inductif image ))(( qMSupp  est un cône limite inductive de Ens  . Un homomorphisme EnsE → :': MMm  d'un modèle EnsE →:M  vers un modèle EnsE →:'M  est constitué par une transformation naturelle support : EnsE → )(:)'()(:)( SuppSuppSuppSupp MMm  . 2445 Si E  est une esquisse, on note ),( EnsEMod  la catégorie dont les objets sont les modèles de E  vers Ens  et dont les flèches sont les homomorphismes entre ces modèles. Si C  est une catégorie localement petite, on dit qu'elle est esquissable si et seulement si : - il existe une esquisse petite E  telle que C  et ),( EnsEMod  sont équivalentes. Plus précisément, si E  est une esquisse petite et si C  est une catégorie équivalente à ),( EnsEMod  (autrement dit, si on sait précisément comment C  est esquissable), on dit qu'elle est ré-esquissable par l'esquisse petite 'E  si, et seulement si : - les catégories C  et ),'( EnsEMod  (et donc aussi ),( EnsEMod  ) sont équivalentes. 4. L'esquisse éclatement d'un modèle d'une esquisse vers la catégorie des ensembles. Supposons que E  est une esquisse et que EnsE →:M  est un modèle. On désigne par E/M  l'éclatement de M  , i.e. l'esquisse (évidemment petite, si E  est petite) définie comme suit : - son support est le graphe à composition des éléments du support de M  , autrement dit on a : )(/)()/( EE SuppSuppSupp MM =  , - ses cônes projectifs distingués sont les : xp  = I∈→ IIxxIx PPp ):(  = I∈→ IIIIII xPxPxPpxP )),(),(:)),(,),,(((  d'indexation le graphe à composition I  et de base le foncteur : )),(,),,(()':(),()/(:'' IIiIIIIxxPPxPIIixPIMP→→ EI Supp 2456 et, ce, dès que I∈→= III PPpp ):(  est un cône projectif distingué de E  et )(PMx∈  , - ses cônes inductifs distingués sont les : xq  = xyJxyJxyJx QQq J∈→ ),(),(),( ):(  = xyJJJJ xQyQxQqyQ J∈→ ),()),(),(:)),(,),,(((  d'indexation le graphe orienté xJ  (composante connexe - dénuée de composition, pour simplifier - , des éléments représentant x  dans J/))(( QM Supp  , i.e. dans le graphe à composition des éléments du foncteur EnsEJ  →→ )()( MQ SuppSupp  ) tel que :   + ses objets sont les ),( yJ  , où J  est objet de J  et xyQM J =))((  ,   + ses flèches sont les )','(),(:))','(,),,(( yJyJyJjyJ →  , où ': JJj →  est une flèche de J  et '))(( yyQM j =  , de base le foncteur : ))',(,),,(())','(,),,((),(),()/(:'yQQyQyJjyJyQyJMQJjJJxxEJ Supp→ et, ce, dès que J∈→= JJJ QQqq ):(  est un cône inductif distingué de E  et )(QMx∈  . 5. Application : sur la ré-esquissabilité des catégories esquissables possédant un objet terminal. Il est facile, maintenant de prouver que : Proposition. Si E  est une esquisse petite et si EnsE →:M  en est un modèle, alors, les catégories M/),( EnsEMod  et ),/( EnsEMMod  sont équivalentes. Preuve. A tout homomorphisme EnsE → :': MMh  (objet de M/),( EnsEMod  ), on peut associer le modèle (évidemment bien défini) EnsE →/:)( MhΦ  (objet de ),/( EnsEMMod  ) tel que (notamment) : 2467 - pour tout objet ),( xE  de E/M  , on a : )()(),)(( -1 xEhxEh =Φ  . Et, à tout modèle EnsE →/: MN  (objet de ),/( EnsEMMod  ), on peut associer tout d'abord le modèle (évidemment bien défini) EnsE →:)(NΘ  tel que (notamment) : - pour tout objet E  de E  , on a : ∈=Θ)(),())((EMxxENEN  , puis l'homomorphisme (évidemment bien défini) EnsE → :)(:)( MNN ΘΨ  (objet de M/),( EnsEMod  ) tel que : - pour tout objet E  de E  , l'application : )()),())(((:))(()(EMxENENENEMx→=ΘΨ ∈ est l'unique application induite par les applications constantes sur les x  parcourant )(EM  : xyEMxEN)(),( → . On obtient, ainsi, l'équivalence annoncée : ←→ΨΦ),/(/),( EnsEEnsE MM ModMod  Fin de la preuve. On déduit immédiatement de la proposition précédente que : Corollaire 1. Si C  est une catégorie esquissable (i.e. accessible) et si C  en est un objet, alors la catégorie C/C  est esquissable (i.e. accessible). Preuve. Comme C  est esquissable, elle est équivalente à une catégorie de la forme ),( EnsEMod  et donc C/C  est équivalente à une catégorie de la forme M/),( EnsEMod  . Or, d'après la proposition précédente, M/),( EnsEMod  est équivalente, et donc C/C  aussi, à la catégorie ),/( EnsEMMod  . D'où la conclusion. Fin de la preuve. De la proposition qui précède résulte aussi que : Corollaire 2. Les catégories esquissables (i.e. accessibles) possédant un objet terminal sont exactement celles qu'on peut ré-esquisser à l'aide d'une esquisse petite dont les cônes inductifs distingués sont tous (s'il y en a) d'indexations non vides et connexes. Preuve. Supposons, en effet, que ),( EnsEC Mod=  est la catégorie des modèles d'une esquisse petite (quelconque) et qu'elle possède un objet terminal T  . On a donc, d'après 2478 la proposition précédente, ),/(/),(/ EnsEEnsECC TTT ModMod ≈=≅  . Mais, par construction, les cônes inductifs dinstingués de E/T  - s'il y en a - sont tous d'indexations non vides et connexes. Inversement, si 'E  est une esquisse petite où tous les cônes inductifs distingués - s'il y en a - sont tous d'indexations non vides et connexes, alors le foncteur EnsE →)'(:SuppT  , constant sur 1 , est évidemment le support d'un (unique) modèle EnsE →:T  , objet terminal de ),'( EnsEMod  . Fin de la preuve.  Bibliographie.  [A.C.F.C.] M. Makkai et R. Paré, Accessible categories : the foundations of categorical model theory, Contemporary Math. 104, Amer. Math. Soc., Providence, 1989. [C.A.S.T.] C. Ehresmann, Catégories et structures, Dunod, Paris, 1965. [C.M.C.E.] C. Lair, Catégories modelables et catégories esquissables, Diagrammes 6, Paris, 1981. [C.M.O.T] C. Lair, Sur le genre d'esquissabilité des catégories modelables (accessibles) possédant un objet terminal, Diagrammes 35, Paris, 1996. [E.T.S.A.] C. Ehresmann, Esquisses et types de structures algébriques, Bul. Instit. Polit., Iasi, XIV, 1968. [I.T.S.C.] C. Ehresmann, Introduction to the theory of structured categories, Techn. Report 10, Univ. of Kansas, Lawrence, 1966.  N.B. Les numéros 1 à 58 (1979-2007) de la revue Diagrammes sont tous en accès libre sur le site http://www.numdam.org/ .                       248

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