Barthelemy, Jean-Pierre

Numérisation de Documents Anciens Mathématiques

Statistique et analyse des donnéesJEAN-PIERRE BARTHELEMYA propos des partitions centrales sur un ensemblenon nécessairement finiStatistique et analyse des données, tome 2, no 3 (1977), p. 54-62.<http://www.numdam.org/item?id=SAD_1977__2_3_54_0>© Association pour la statistique et ses utilisations, 1977, tous droits réservés.L’accès aux archives de la revue « Statistique et analyse des données » implique l’accord avecles conditions générales d’utilisation (http://www.numdam.org/legal.php). Toute utilisation commer-ciale ou impression systématique est constitutive d’une infraction pénale. Toute copie ou impres-sion de ce fichier doit contenir la présente mention de copyright.Article numérisé dans le cadre du programmeNumérisation de documents anciens mathématiqueshttp://www.numdam.org/Statistique et Analyse des Données : 4 3 - 1 9 7 7 a propos des part i t ions centra les sur un ensemble non nécessairement fini B A R T H E L E M Y Jean - Pierre Ecole Nationale Supérieure de Chronométrie et Micromécanique de Besançon 25030 BESANÇON CEDEX Ré sumé : Dans cet article, on examine, ce que devient la notion de partition centrale lorsque le support n'est plus un ensemble fini Summary : In this paper we studie the central partitions when the support set is not necessary finite. INTRODUCTION En 1965, S. Régnier a introduit la notion de partition centrale sur un ensemble fini X. Une telle partition représente, en quelque sorte, un "résumé à distance minimum" d'une famille de partitions (classifications). Nous nous proposons d'examiner ce que devient cette notion lorsque X n'est pas nécessairement fini. Cette généralisa-tion n'est nullement gratuite : que l'on songe aux cartes de géo-graphie, aux "découpages" d'une portion du sol effectués par les naturalistes (à la suite de relevés) etc... 55 § 1 . A .PARTITIONS 1.1. Définition Soit X un ensemble et soit À une a-algèbre de parties de X. Une A -par t i t ion de X est une partition de type dénombrable P de X (i.e. formée d'un nombre au plus dénombrable de classes) telle que toute classe A 6 P est un élément de A . Notons A et V les opérations inf et sup du treillis II des partitions de X. Il est clair, si P et Q sont des A -parti-tions de X, que PAQ et PVQ sont aussi des A -partitions. L'ensemble II (A ) des A -partitions de X forme donc un sous-1 re i 11 is de II. Par ailleurs, à chaque partition P de X est associée une relation d'équivalence eq(P). Il est clair que eq(P), lorsque P est une A -partition, est un élément de la a-algèbre produit A 8 A . 1 • 2 . Définition de la quasi-distance D entre les A -partitions. Rappelons qu'une quasi-distance d vérifie tous les axiomes d'une distance, sauf le premier remplacé par : - d ( x,y ) > 0 et d ( x,x ) = 0 Soit y une mesure positive finie définie sur A et soit d une quasi-distance bornée sur A , Il est clair que pour tout couple" ( P, Q ) de A -partitions la famille ( y ( A H B ) d(A,B) ) ( A,B ) 6 P x 0 est sommable. On pose alors D ( P,Q ) = Z \i ( A H B ) d ( A,B ) A€P,B6Q et on montre sans difficulté que : Proposition 1 : D est une quasi-distance sur II ( A ) 56 Nous nous plaçons désormais dans le cas particulier où la quasi-distance d est définie par : d ( A,B ) « y ( A A B ) = y ( A U B ) - y ( A f l B ) On dira alors que deux A - partitions P et Q sont égales presque partout (notation P = Q p.p.) lorsque D (P,Q) = 0 ; cela signi-fie que pour tout A e P et pour tout B 6 Q on a, soit y ( A H B ) = 0, soit y ( A A B ) = 0. On obtient ainsi une relation d'équivalence. De même, on dira que P est presque contenue dans Q (notation P ^ Q p.p. ) lorsque pour tout A G P , il existe B 6 Q telle que y ( A - A fl B ) = 0. On vérifie aisément que l'égalité presque partout est compatible avec la structure de treillis de II ( A ) » que si P = Q p.p. et Q <$ R p.p. ou P ^ Q p.p. et Q = R p.p., alors P ^ R p.p. et que P = Q p.p. si et seulement si P < Q p.p. et Q <: P p.p. . De même, si P ^ Q p.p. il existe Q' tel que P ^ Q' et Q' = Q p.p. . 1.3. Deux autres définitions de D. Si P est une A-partition il est clair que la famille ( y ( A )2) A € P est somraable. Pesons alors : m ( P ) Z y( A ) 2 AGP m est une fonction numérique croissante sur le treillis II (A ) compatible avec l'égalité presque partout (plus précisément, si P < Q p.p. et m ( P ) ^ m ( Q ) alors P = Q p.p. ) . On montre facilement que : Proposition 2 : Pour tout P , Q 6 H ( A ) , D ( P, Q ) = m ( P ) + m ( Q ) - 2 m ( P A Q ) 51 Par ailleurs, si l'on note y2 la mesure produit y ® y, on ob t ient : Proposition 3 : Pour P, Q € II ( A ) , D ( P, Q ) = y2 ( eq ( P ) A eq ( Q ) ) . Preuve : Partons des deux relations d'équivalence R = eq (P) et S = eq ( Q ) . Il vient, en notant x-o l a fonction caracté-ristique de R et R ( x ) la classe d'équivalence de x 6 X modulo R : y2( R A 5 ) - / X x X | X R (x,y) - x5 U,y) | d ( y(x) » y(y) ) = /x d y(x) C /S(x) ( » - XR (x,y) ) dy(y) + /X-S(x)XR(x'y} d u<y>] (le théorème de Fubini étant clairement vérifié) : / y ( S(x) A R(x) ) d y (x) = E y(ApB) y (A A B) . AGP, BeQ §2. LE PRINCIPE DE PARETO POUR LES A-PARTITIONS 2.1. La notion de transfert Cette notion a été introduite par Régnier ( Q3_| ) , c.f. aussi L.2J t L*J )> nous allons la généraliser quelque peu : Soit P une partition de X, A € P une classe de P et A' un sous-ensemble de X tel que A' $ A. On considère la parti-tion P Q A 1 , A J dont les classes sont : - A U A' B - B 0 A' pour B e P, B + A et B t A'. On dit que P L A ' , A^l est obtenue par transfert d e A' en A. Lemme : Soient P = { A . , ... , A } , Q = { B., ... , B } deux 1 p 1 q A-part i t ions. Soit C 6 A tel que : ^ ( c - c n B , ) 5 3 0 » y ( C (1A, ) M , y ( c (1A9 ) M et u ( C n A ) = 0 pour j > 2 . 58 Il e x i s t e a l o r s un n o m b r e r é e l U tel q u e : D ( P, Q ) - D ( P [c, A,], Q ) = 2 y ( C 0 A2 )2 + y ( COAj ) U, D ( P > Q ) - D ( P [ C , Aj, Q ) = 2 y ( c n A ] ) 2 - y ( c n A 1 ) U . P r e u v e : Il est c l a i r q u ' o n o b t i e n t l es é g a l i t é s s u i v a n t e s (en p o s a n t C C fl Aj , c 2 = C n A 2 ) M (<Aj U C2) R B,) = y (Aj R B,) + y(C2), y ((A2 - c2)nBj) = y (A2nBj) - y(C2), y ((Aj U C 2) A BJ) = y ( A, A B,) - y (c2), y ((A2 - c2) A Bj) = y ( A2 A B,) + y (C2) , et p o u r k > 1 : y ( ( A j U c 2 ) n V = y ( A i n B k ) » y ( A 2 " c 2 } n B k ) = y ( A 2 n B k > , y ((Aj U C2)A Bk)= y (Aj A Bk) + y (C2) , y ((A2 - C2) A Bfc) = y (A2 A Bk) - y (C2). Or D (P,Q) - D (P [c,Aj],Q) = E [\i(Aj H Bk> y (Aj A Bk) -((A, U C2) H Bk) y ((Aj U C2) A Bk) + y (A2 fl Bk) y (A2 A Bfc) -y ((A2 - C2) 0 Bk) y((A2 - C2) A B k ) . En u t i l i s a n t les é g a l i t é s c i - d e s s u s , on t r o u v e q u e c e t t e e x p r e s s i o n v a u t : y (c2,2 + y (c2) y(Aj H B,) - n(Aj A Bj) + y (C 0) z + y (c2) y ( A 2 A B j ) - y ( A 2 H B j ) + y(c2) E k = 2 y(A2 0Bk) -y (Aj n B k ) 59 2y(C 2) 2 + y(C2)|^y (AjflB,) - y( A jA B,) + y(A2A Bj) -q I y ( A 2 n B j ) + Z ( y ( A 2 n B k ) - y(A,nB,) ) K. "" £- ma 2 y ( C 2 ) 2 + y(C2) . U . Pour calculer D (P,Q) - D (P [c,A,"| , Q) , il suf-;er C, D'où le résultat fit de change 2 et Cj et d'échanger A, et A2. 2.2. Le principe de P areto Soit ( ^ ) i g ^ une suite de nombres réels >0 choisie une fois pour toutes. Pour chaque m.uple Q - (Q ,...,Q ) de A-partitions et pour chaque A-partition P, posons : m A (P,Q) = Z À. D (P,Q.) i = l X L Proposition 4 : Soit Q = ( Q ] t . . . t q j e n (A) m et soit P m - ^ A-partition telle que A Q ne soit pas presque contenue i= 1 d a n s ?- Il existe alors au moins une A -partition P' telle que : A ( P'. Q ) < A ( P, Q ). m Preuve :• Si A Q n'est pas presque contenue dans P, il est i= 1 m clair qu'il existe une classe D 6 £A, Q. et deux classes A, et A2 de P telles que y( D fl Aj ) ï 0 et u( D H A ) ^ 0. On pose alors C = D fl (A, y A £) ( y(C) * 0) et pour chaque partition Q^ on est sous les hypothèses du lemme de telle sorte que, pour chaque indice i, il existe un nombre réel U. vérifiant D ( P.Q. ) - D ( PlICAj ] . Q. ) - 2 y(C 2) 2 + U(C2)U. , d ( P,Q. ) - D ( P|I C,A2 II , Q. ) = 2 y(C,) 2 - y(C,)U. (toujours pour Cj = CpA,, C2 = C n A2 ) 60II suffit alors, pour obtenir le résultat, de posermP! = P [c, Aj] lorsque Z X. IK > 0 ,mP! = P [C, A 2] lorsque £ X£ IK < 0i= 1On d i t ( c f . £3} , [2]] ) qu 'une À - p a r t i t i o n P e s tcentrale pour Q = ( Qi»*--»^ ) 6 H (À) lorsque :A ( P, Q ) = inf A ( R, Q ) .R 6 II( A)Corollaire (principe de Pareto) : JSJL P 6 II ( À ) est centrale£ou£ Q s ( Q1 »•• • » Q )> A Q* est presque contenuei-1dans P.§ 3. APPLICATION : PARTITIONS CENTRALES POUR UNE FAMILLE DEPARTITIONS DE TYPE FINI.3*1. Le problème des partitions centralesDésignons par C ( Q ) l'ensemble des partitions cen-trales pour Q 6 II (A)m. Dans le cas où X n'est pas fini, rienne permet d'affirmer que C ( Q ) est non vide F en effet, lequotient de II (À) par l'égalité presque partout n'est pas com-pact pour la métrique induite par D ; en outre des questions,plus subtiles (convergence faible), de la théorie de l'intégra-tion ne s ' app liquentpas I. Toutefois, la proposition 4 permetde résoudre ce problème des partitions centrales dans un casparticulier important dans la pratique.61 3.2. Existence des partitions centrales pour une famille de partitions de type fini Soit R 6 II (A); désignons par II ( A ; R ) l'ensem-ble de A - partitions contenant R ; II (A ; R) est un sous-treillis de II (A) isomorphe ou treillis IIR de toutes les par-titions de R (considérée, comme partout dans ce texte, comme l'ensemble de ses classes) |_ Pour R = {A.,...,A } cet iso-morphisme associe, par exemple, à la A-partition { A- y A ?, A« U A, u A5,... } de X la partition { (Aj , A2> , {A3, A 4, A5> ,...} de R ] . Si la partition R est de type fini (i.e. formée d' un nombre fini de classes) le treillis II(A;R) est fini (puisque nD l'est). Propos i t i on 5 : Toute famille (finie) de A-partitions de type fini admet au moins une partition centrale. Preuve : Soit Q = ( Q,>«--»Q ) un m-uple de A-partitions de type f ini. J * m Posons R = A Q. (R est de type fini) et soit P e II(A;R) i=l X telle que A ( P, Q ) = Min A (S,Q). S 6 ÏÏ(A;R) Si P n'est pas centrale pour Q, il existe une A-partition P' telle que A (Pf,Q) < A (P,Q), en vertu de la dé-monstration de la proposition 4 (R étant de type fini) on peut toujours supposer R < Pf p.p.. Cela veut dire qu'il existe Pn telle que R < P" et PM= P' p.p. Donc A(P", Q) = A(P',Q), ce qui contredit la définition de P. La démonstration de cette proposition nous indique en outre que pour la recherche des partitions centrales (dans le cas "type fini") on pourra utiliser n'importe quel algori-thme (l'algorithme des transferts par exemple) construit pour 62 le cas fini, en se plaçant dans le treillis IIR (qu'on pourra encore, éventuellement, simplifier, en débarassant la parti-tion R de ses classes de mesure nulle). Signalons pour terminer que les A-partitions de type fini se rencontrent dans la pratique (et c'est ce qui a motivé ce travail) : cartes de géographie, divers découpages d'une por-tion de sol effectués à la suite d'observations ou de relevés (botanique, zoologie, écologie, etc...). Dans ces cas, la o-algèbre A sera le plus souvent la tribu de Borel d'un compact de 1R2 ; le choix d'une mesure y dépendra de chaque problème traité (par exemple, sur une carte de géographie y(A) peut être la superficie de A, le nombre d'habitants de A, etc...). REFERENCES |~ 1 1 J.P. BARTHELEMY, "Sur les éloignements symétriques et le principe de Pareto", Math. Sci. hum., n° 56, 1976, p. 97 - 125. Q 2 3 J . C. LE RMAN, Les bases de la classification automatique, Paris, Gauthier-Villars, 1970. | 3 21 S. REGNIER, "Sur quelques aspects mathématiques des pro-blèmes de classification automatique", I.C.C., Bulletin 4, 1965, p. 175 - 191. 

A propos des partitions centrales sur un ensemble non nécessairement fini

Abstract

Similar works

Full text

Available Versions

Numérisation de Documents Anciens Mathématiques