Nasi, Oreste

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Statistique et analyse des donnéesORESTE NASITests d’hypothèses contiguës et statistiques de rangs sérielles linéairesStatistique et analyse des données, tome 13, no 3 (1988), p. 56-64.<http://www.numdam.org/item?id=SAD_1988__13_3_56_0>© Association pour la statistique et ses utilisations, 1988, tous droits réservés.L’accès aux archives de la revue « Statistique et analyse des données » implique l’accord avecles conditions générales d’utilisation (http://www.numdam.org/legal.php). Toute utilisation commer-ciale ou impression systématique est constitutive d’une infraction pénale. Toute copie ou impres-sion de ce fichier doit contenir la présente mention de copyright.Article numérisé dans le cadre du programmeNumérisation de documents anciens mathématiqueshttp://www.numdam.org/Statistique et Analyse des Données 1988 - Vol. 13 n° 3 p.56-64 TESTS D'HYPOTHESES CONTIGUES ET STATISTIQUES DE RANGS SERIELLES LINEAIRES Oreste NASI U.F.R. "M.I.M.", Université de Metz, île du Saulcy, 57045 Metz Cedex 01. Résumé : Nous donnons un lemme qui permet de construire simplement des tests asymptoti-quement les plus puissants dans le cas de suites d'hypothèses contiguës. Cela permet de dé-terminer de nouvelles statistiques de rangs sérielles linéaires pour les tests d'une hypotltèse de bruit blanc contre une hypothèse de dépendance sérielle de type ARMA. Abstract : A lemma gives a simple method to obtain asymptotically most poverful tests for contigous hypothèses This results leads to new optimal linear sériai rank statisncsfor the problem oftesting randomness against alternatives ofARMA sériai dependence. Mots clés : Contiguïté, processus ARMA, tests de rangs. Indice de classification STM A : 05-040.12-060,05-070. O. INTRODUCTION L'étude de la puissance asymptotique locale des tests de rangs à partir des résultats de Le Cam ( et, notamment, à partir du "troisième Lemme de Le Cam" - dans la terminologie popularisée par [2] - ) est bien connue depuis les travaux de Hâjek. ( Pour une illustration récente de ces méthodes, on peut se reporter à Puri et Sen, [6] ). Dans le premier paragraphe, en nous plaçant dans le cas général de statistiques quelconques (et non seulement des statistiques de rangs), nous montrons que pour ce type de problème, les Manuscrit reçu le 18 avril 1988 Révisé le 7 j u i l l e t 1988 . 57 . tests asymptotiquement les plus puissants s'obtiennent sans utiliser le troisième Lemme de Le Cam. Plus précisément, pour les suites d'hypothèses HQ(n) : l'échantillon X^n) est de densité pn contre H^11) : l'échantillon x(n) est de densité qn, où les densités qn sont contiguës aux densités pn, le lemme du paragraphe 1 montre qu'il suffit que des statistiques S n (X^) soient, à des constantes près, asymptotiquement équivalentes ( en probabilité ) aux variables Log Ln(X(n>) = Log (qn(X<n>) / pn(X(n))) sous les hypothèses HQ(n) , pour que les tests bâ-tis sur ces statistiques soient asymptotiquement les plus puissants. II n'est par conséquent pas indispensable de se servir du troisième Lemme de Le Cam qui nécessite la détermination par-fois délicate de la loi limite dans R2 des couples ( Sn(X<n>), Log Ln(X(n>) ). Ce résultat simple n'apparaît pas clairement chez Hâjek et Sidâk ( [2] ) et chez les auteurs qui par la suite utilisent le même type de raisonnement ( voir par exemple [1] et [3] ). En fait les tests asymptotiquement les plus puissants y sont toujours obtenus quand ( an Sn(XW) + b n , Log Ln(X(n)) + d2/2 ) converge en loi sous les hypothèses HQ(n) vers une loi normale centrée de matrice des covariances du type d21 (où I est la matrice identité 2 x 2), ce qui implique immédiatement que les statistiques an S n (X^) + bn sont asymptotiquement équivalentes aux statistiques Log Ln(X(n)) + d2/2 . Il est plus aisé de déteirniner directement des statistiques Sn(X(n)) équivalentes à LogLn(X^n^). L'utilisation du troisième Lemme de Le Cam garde évidemment son utilité pour l'étude de l'ef-ficacité relative asymptotique au sens de Pitman quand on examine différentes lois possibles pour les hypothèses alternatives. Dans le deuxième paragraphe nous appliquons le lemme du paragraphe 1 aux statistiques de rangs sérielles linéaires introduites par Hallin, Ingenbleek et Puri ( [3] ) pour tester l'hypo-thèse de bruit blanc contre l'alternative d'une dépendance de type ARMA. On obtient ainsi facilement, pour ces tests, de nouvelles statistiques de rangs sérielles linéaires plus simples que celles proposées dans [3],[4] et [5]. Nos statistiques sont asymptotiquement équivalentes ( à des 0D(n"l/2) ) à celles de ces auteurs. .58. 1. TESTS ASYMPT0T1QUEMENT LES PLUS PUISSANTS POUR DES HYPOTHESES CONT1GUES Soient une suite d'échantillons (X^) n >j définis sur (Q,T,P) et à valeurs dans des espaces mesurés (Nn .^n .Hn) et une suite de statistiques ( S ^ X ^ ) ) , ^ à valeurs dans R. Pour tout r£l on considère le test des hypothèses : H0<n) : X<n) est de densité pn contre H j <n) : X<n) est de densité qn, oùpnetqnsont deux densités sur (Nn»<^n ) par rapport à \in et où (1) on rejette H0Cn) si Sn(x<n>) > cn ( cn € R ). Notons Log Ln : Kn -* [-«»,+H les logarithmes des rapports des densités définis par : Log Ln(x<n>) = Log (qn(x<n>) / pn(x(n>)) (avec les conventions Log Ljj(x^) = -*>, 0 ou +*© suivant que q n (x^) - 0 < pn(x^n)), qn(x(n>) = pn(x(n>) = 0 et qn(x(n>) > pn(x<n>) = 0 ) et désignons par T[ (m, a 2) la loi nor-male dans R d'espérance m et de vaiiance a 2 et par O la fonction de répartition de T[ (0,1). A partir du théorème de Neyman-Pearson et des propriétés bien connues de la contiguïté (voir par exemple [7] ) on obtient le résultat suivant : Lemme : Soit a > 0. Sit sous les hypothèses HQ^n\ (a) les statistiques Log Ln(X(n)) convergent cn loi vers (b) il existe des suites de réels (an)n^i et (bn)n^i, avec les ^>09 telles que : anSn(X(n)) + bn-UgLn(X<n>) -> 0 en probabilité. alors, pour tout a dans ]0.1{. toute suite de tests de HQ^n^ contre H^") définie par (1) et de seuil asymptotique a, est asymptotiquement la plus puissante au seuil a et de puissance asymptotique <I> (o - O "'(l-a)). C'est en particulier le cas si dans (1) on prend cn = an~* [ a 0 *J(l-a) -a 2 ^ - bn]. .59. Exemple : soit le problème classique ( voir [6], paragraphe 2.7 ) du test des hypothèses Hjn). x(n) est un échantillon de n variables à valeurs dans IR, indépendantes et équidistri-buées de fonction de répartition Fn continue, contre Hj (n): X(n) est de densité n = r i f ( V ^ • OÙ f «t une densité absolument continue de quantité d'infor-ni mation 1(0 et les constantes de régression dm- vérifient: lim > ( d . - d n ) =D2€]0,+~[ et lim max (d .-dn)2 = 0 i=l A l'aide du lemme on retrouve facilement les tests asymptotiquement uniformément les plus puissants de Hajek et Sidak bâtis sur les statistiques de rangs S n » ^ = £ <dn.-5n> aft(Rjn)) dont les scores vérifient : i=l 'l 1 . -i rHSÏ- f[and+[un])-9iu)]2du = 0 avec y/u)= - f ( F ( u ) ) . o f<F (o» En effet si les X sont de densités pn(xv ) = F[ f(x. - dn), on a : i=l ' Sn(R ) - Tn -* 0 en probabilité et Tn ~ 1(0 D2 - Log Ln(X ) -> 0 en probabilité, avec n _ r f(X ) T „ = I W „ . - V [ - — j ^ - l i=l l f(x|n )) 2. STATISTIQUES DE RANGS SERIELLES POUR TESTER L'HYPOTHESE D'UN BRUIT BLANC CONTRE UNE ALTERNATIVE ARMA Hallin, Ingenbleek et Puri proposent dans [3] des statistiques de rangs sérielles linéaires pour tester l'hypothèse qu'un échantillon x(n) = (X^n),...^Cn(n)) est constitué de n variables indépendantes de même densité f, contre l'hypothèse qu'il s'agit de n observations consé-cutives d'un processus ARMA (Pi»P2) avec min (Pi»P2) ^  !• Le lemme du paragraphe 1 permet de trouver de manière directe des statistiques de rangs sériel-les optimales plus simples que celles proposées par ces auteurs. .60. Soit (Çt)t € 2 u n bruit blanc à valeurs dans R tel que les variables k\ sont indépendantes, centrées et de même densité f, et soient pour tout n > 1, les hypothèses : H 0 (n ) :X(n) = (^,...,4n) HjW : x ( n ) = (X^n) , . . . , XnW) est constitué de n observations consécutives du proces-sus ARMA (Pi»P2). noté (X£(n))t € £ , de bruit blanc ( 4t )t € Z • défini par : i=l i=l où a^—A,!, bj bp2 sont des réels non tous nuls. Les statistiques de rangs sérielles linéaires sont définies par : t-p+i où p=max(pi,p2), (R^ n \ . . . ,R n ^) est le vecteur des rangs de x(") et les scores a^ij,...,^!) sont des réels pour tous i j , . . . , ^ € (l,2f...,n). S'il existe une application J : ]0,1[P+^ -* R telle que : J p+1 j 2<Vi ui> d V i "dui € ]0'+oo[ el ]o.i[ r (n) (n) (n) (n) -,2 (3) lim EQ([an(R ' R> ) - J(F(X ' ) F(X; ))] ) = 0 n-»+«- p où les espérances sont prises quand les hypothèses HQ(n) sont vérifiées et F désigne la fonc-tion de répartition de la densité f, on dit que les statistiques de rangs sérielles définies en (2) sont de fonction génératrice des scores J . On supposera également que la densité f des varia-bles Çt satisfait aux conditions suivantes : i) E(|Ç tl3)<+oo et E ( 4 t 2 ) = a 2 > 0 ii) f est absolument continue sur les intervalles finis avec I f (x)l dx < + oof et de quantité d'information 1(0 - F (rrrr) f ( x ) d x fime et non nulle, J J t (x) iii) l'application <pt définie par <p(x) = - f (x)/f(x), est presque partout dérivable de dérivée vérifiant, pour une constante A, I <p'(x) - <p'(y)\ S A I x-y I. . 6 1 . Complétons éventuellement par des 0 les suites a^ . . .^ et b|,...,bp2 qui définissent le processus ARMA en (1), pour obtenir deux suites de longueur p = max(pi,p2) et notons -Ivv 1=1 ms maintenant (4) J(up+1, ...,Ul) = ^ ' ( u ^ ) ) £ (a. + b.) F\+lJ, Ila+bll2= £ ( a . + b.)2 i=l Considérons maintenant la fonction génératrice : i=l où F ^ u J ^ i n f U e R / F M ^ u } . Proposition : Soient une suite de statistiques de rangs sérielles Sn de fonction génératrice des scores J donnée par (4) et mn l'espérance de Sn quand HQ(n) est vérifiée. Alors pour tout a dans ]0,1[, les tests des hypothèses HQ^n) contre Hj(n) où on rejette HQ(n) pour les valeurs de VtTp (Sn-mn) supérieures à ¢^(1- a) Il a+b|| a I(01/2 sont asymptoti-quement les plus puissants au seuil a et de puissance asymptotique égale à : 0 ( | | a+bll a 1(0172 - <&"!(1- a ) ) . Preuve. Considérons les densités p n et qn des échantillons X ^ respectivement sous les hypothèses HQ(n) et H^n\ et les statistiques correspondantes Log Ln(XW) définies comme au paragraphe 1. Dans [3] (proposition 3.1 et paragraphes 4.1 et 4.2 ) il est établi que, sous H o » . Log Ln(X<n)) converge en loi vers T\ (- p2/2f p2) avec p2= Il a+b||2 o21(0 , et pour des statistiques de rangs sérielles Sn de fonction génératrice des scores J quelconque (5) TFp (Sn- mn) - p2/2 - Log Ln(X (n)) - { §n - £ ° - Jnf UR } -> 0 en probabilité, où, en négligeant les indices n des variables X^n \ V l è ï ï X W ^ X , , ) F(X )), Y Y k=p+l .62. 2-n=vèf £«**k> i ( a i + bi )Xk-i W k=p+l i=l e t Un " TTr Z-, J ( F ( X k > F < X k » • Avec J définie par (4) on obtient d'une part que § n = S C n ° presque sûrement sous H 0 ^ n \ et d'autre part, toujours sous H Q ( n \ que U n est une U-statistique de noyau symétrique d'ordre p+1 définie à partir de variables indépendantes et équidistribuées. La convergence d e / n - p U n vers 0 en probabilité s'en déduit facilement ( voir par exemple Serfling, [ 8 ] , l e m m e 5 .2 .2 .B) . En remplaçant dans (S) on obtient : / ï T p ( S n - m n ) - p 2 / 2 - Log L n ( X " ) - > 0 en probabilité, ce qui, avec le l emme du paragraphe 1 achève la démonstration. E x e m p l e : Supposons la densité f fortement unimodale ( i.e. - L o g f est une fonction conve -xe). Alors, pour J donnée par (4) , les scores a n ( i j i p + l ) = J( - j — j - , ... , ^ - ) vérifient la condition ( 3 ) . On obtient donc les tests optimaux de la proposition avec les statistiques : E n R<n> R ( n > i = l t=p+ l alors qu'avec la fonction génératrice des scores plus compliquée proposée dans [3] : on utilise les statistiques : «Vi ui' • tlïtr l ^ ' V i » r,(Vi-i-i' • s ^ È & £ ^4--1¾>!• p+1 . i = l F t=p+l j=0 Ainsi pour des alternatives HjM où on considère le processus ARMA (2,1) v(n) 1.4 Y(n) 0,5 „ 0 0 0,2 . *< + Tn" X f l + Tn" Xt-2 - « t + 7 H " ^ W de bruit blanc Çt de densité logistique ( exemple traité par Hallin et al. dans [3] ), on a respec-tivement : .63. , A 2R < n ) R<n> R W t=3 n+1- R ( , n+1- R ( 2 , A f ? R ( n ) R<n) 2 R W R (n) t=3 n+1- R t^ n+1- R t 2 . 2R;n) c i - 0 , 5 ( - ^ - 1 ) ^ ( - * _ > } n+1- R l 2 Les mêmes auteurs proposent dans d'autres articles ( [4] et [5] ) des tests asymptotiquement les plus puissants de HQ(n) contre H^") où on rejette HQ(n) si les valeurs de / n ( S " n - m n ) / a ^ sont supérieures à 0 _ 1 (1-a) l | a+b|| ,avec : „L (a. + b.) " R(n) R(n) i=l t=i+l où o ( n ) est l'écart-type de <p(Fx( (n+1)'1 R ^ ) ) F ^ f a + l ) " 1 R2<n)) sousH0(n). Ces tests où <rn^ dépend de n et où le nombre de termes de la deuxième somme qui définit S"n dépend de i ( comparer à (6) ) restent plus compliqués que ceux que nous proposons. Cependant les coefficients d'autocorrélation des rangs qui servent à construire les statistiques S"n sont la base de développements ultérieurs sur les statistiques de rangs quadratiques, per-mettant de traiter le cas où les coefficients du processus ARMA de l'alternative sont non spéci-fiés, au sens de [4] et [5]. Références : [1] CONOVER, W.J., "Rank tests for one sample, two samples and k-samples without the assumption of a continuous distribution function", Annals of Statistics, 1973, vol. 1, n° 6, pp.l 105-1125. [2] HAJEK, J. et SÏDÂK, Z. , Theory of rank tests, Académie Press, 1967. [3] HALLIN, M., INGENBLEEK, J.F. et PURI, M.L., "Linear sériai rank tests for ran-domness against ARMA alternatives", Annals of Statistics, 1985, vol. 13, n° 3, pp.1156-1181. [4] HALLIN, M., INGENBLEEK, J.F. et PURI, M.L., "Linear and quadratic sériai rank tests for ramdomness against sériai dependence", Journal of Time Séries Analysis, 1987, vol. 8, n° 4, pp. 409-424. .64. [5] HALLIN, M. et PURI, M.L., "Optimal rank-based procédures for time séries analysis : testing an ARMA model against other ARMA models", Annals of Statistics, 1988, vol. 16, n°l pp. 402-432. [6] PURI, M.L. et SEN, P.K., Nonparametric methods in gênerai linear models, Wiley, 1985. [7] RAOULT, J.P., "Contiguity in asymptotical statistics", dans : Model Choise, Publica-tions des Facultés Universitaires Saint-Louis, 1985. [8] SERFLING, R.J., Approximation theorems of mathematical statistics, Wiley, 1980. 

Tests d\u27hypothèses contiguës et statistiques de rangs sérielles linéaires

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