Mangeot, S.

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ANNALES SCIENTIFIQUES DE L’É.N.S.S. MANGEOTSur le moyen de reconnaître une surface de révolution algébriqueet de découvrir la position de son axeAnnales scientifiques de l’É.N.S. 3e série, tome 14 (1897), p. 191-193.<http://www.numdam.org/item?id=ASENS_1897_3_14__191_0>© Gauthier-Villars (Éditions scientifiques et médicales Elsevier), 1897, tous droits réservés.L’accès aux archives de la revue « Annales scientifiques de l’É.N.S. » (http://www.elsevier.com/locate/ansens), implique l’accord avec les conditions générales d’utilisation(http://www.numdam.org/legal.php). Toute utilisation commerciale ou impression systéma-tique est constitutive d’une infraction pénale. Toute copie ou impression de ce fichierdoit contenir la présente mention de copyright.Article numérisé dans le cadre du programmeNumérisation de documents anciens mathématiqueshttp://www.numdam.org/SUR LE MOYEN DE RECONNAITREBNEmET DE DÉCOUVRIRLA P O S I T I O N D E S O N A X E ,PAR, M. S. MANGEOT,D O C T E U R ES S C I E N C E S .Je considère une surface d'ordre m, non formée uniquement deplans parallèles ou de sphères concentriques, et représentée en coor-données cartésiennes rectangulaires par l 'équation entière et à, coef-f ic ients réelsf(^,y,z)=o.Je suppose que l'on veuille reconnaître si, cette surface est de révo-lution et, en cas d'affirmative, trouver les' équations de son axe derévolution,Soient, en admettant que le cône de ses directions asymptotiquesn'est pas réduit à un plan 2a, 6, y trois nombres entiers quelconques dont la somme est m — T. ;^yP^ (A^+By+C5+D) la somme des termes du polynôme/(,r,y, s) qui cont iennent le facteur a^y^;Op &o ^ les trois constantesSalplyî^+ï)^ 2alpl y l (P + ï) (y+ï )BC, Sal^y\(a^i)M);a^ &„ (^ et a,;pA. c, celles que l'on en déduit par une permutationcirculaire des lettres a, 0,; y ^ tA, B, C;F(^J^)=îl(^y^)+^^(^^<y^)=^(^^^+^^(^^^^ :=y3(^,y,^)+^^(^,y^2)ipa S. MANGEOT.le quot ient , p a r l a plus haute puissance de ^2+J2+ z2 qu'il peutrenfermer en facteur, de l'un quelconque des polynômes entiers ho-mogènes dont la somme est/ Ci Cî c:Af ^ — -2., y ^  _.., ,5 — ^ ,- V ^1 '/ ^ ^/choisi à volonté, sans être, à un facteur constant près, une puis-sance de x14--J2 + y ;^ "I- ^/» ^ + <P/<» 0^ -I- ^n ( ^  "": î ? Ïî, 3 )les constantes/ • V I / '\ /^(^ï^) / • \ 1 / - \ /K^(7,0,l)9^(0, i, ?), ^(o, i, Q, ^ 1 .^^ ^ 9,(,, o, i), ^ (^ o, (}, ',o7:^'-7^ ;. . /^p.^^^o)93(1^, 0)^3(1^, o)^^^^^^^^'^1 {h h 0 )p désignant le degré de F(o?,y, ^).On envisage le Tableau suivant, où x^ x^ x^ désignent respective-ment^, y, z., , . . hoh',^i^^s^û, ^i———^i/;! ;;;' 0, À 3 == //;( = ///^ s: ^  .= ;^{ =s ff/;! == /^ = ^  = o,<'?,! == </.2= Û.'i^3^1 ^ 1 ^ 2=^^^^^^^,,^,^-~f^2—^)(^r-^)~<>— ^2 =: 0 ) ^^ — ^3 ^ 0n(À/^K^/() ^0n(vr t -+-^p/ î ) ^  oÎ I(1/,4-^^)^0(V I+^P^Ç^^ /P^^Ov.'r"h ips ^" oXg-h/'^^s'o^i(,y^î"4-«ri) =":; ^(.y^a41" ^a) ;:•'r ^;t(^':r+"r.()<?t •t'i-t- ^ i ^  o, bi {f<[ ,€^ "4- Cî] — (^a -"' ^ i) (^î ^^ '•-l1" ^''i)^l<r.i -4- <"( = o, ^s'^a 4"' ^aï::ï; 0critif^pr 4 - ^ - 1 ) - ^if^a^r-î-"^) ^  ^(^Wr"11- ^;i)^Xi(^t.r(4" Ci) =s ^i(^2^+ ^2')î < .^r:r+1- ^  = o^1<^Î 14••" Ci s" 0, ^ .-î"g 4"' Cy, ™" 0Si les coefficients au polynôme f(x, y , s} ne satisfont m à l'un nià Pautre des six systèmes de conditions qui figurent1 , soit dans 'ceTableau,, soit dans l'un des deux Tableaux qui s'en déduisentpar unepermutation circulaire des indices ï ^ a , 3, on peut 'être.assuré que laSUR LE MOYEN DE BECONNÀITRE UNE SURFACE DE RÉVOLUTION ALGÉBRIQUE. 198surface n'est pas de révolution. Dans le cas contraire, la surface nepeut être de révolution qu 'autour de la droite représentée par lesdeux équat ions qui figurent dans le Tableau, en regard du systèmedes condit ions supposées ( 1) ; droi te réelle, déterminée et située à,distance f in ie . On n'aura donc qu 'une vérification à faire, et la ques-tion sera résolue.Si l'on sait d 'avance que la surface est de révolution, l 'un des troisTableaux indiquera les équat ions de son axe, dès que l'on aura re-connu auquel des systèmes de conditions satisfait la surface.Dans le cas ou toutes les directions asyrnptôtiques de la surfaceissues d'un même po in t seraient situées dans un p l a n , celle-ci nepour ra i t être de révolut ion qu 'autour d'une normale à ce plan : unetraiisforrnation de coordonnées bien évidente montrerai t s'il en esta i n s i , et c o n d u i r a i t en, même temps aux équations de l'axe de révo-lu l ion ,Les résul ta ts q u i précèdent fou rn i s s en t un moyen de calculer lescondi t ions nécessaires et suffisantes pour que l ' équa t ion du m^"10 de-^ré îi trois variables représente u n e surface de révolu t ion , m. étantdonné d 'une manière quelconque,( i ) Los plans do symétrie que peut avoir la Biirfaco/(.^,j, s) =-= o doivent être desplans do symétrie (le la quadrique correspondant à Fequalion du second degréy ....^ ^^  / ^ ":!Z.-.)iî =.o (^ ^  + / - m -, ),ÀuA k\k\l\ \ (^1 ày^ àzf/ • v •qui n'est autre qno^.yii+ a^-h 03^ "4- ^ ij^-h ^ /^^r~t~'2^â.^-h 2c;l.^l-^- 'zc^y -+- ^c'^s === o;eti sorie (nie, si la snrfaee est de révolution, cette quadrique doit être aussi de révolution,autour de la mômo droite; el si eetio quadrique est une sphère de centre (^y, s'), lecône V(w_.z"', j _ r , z — z ' ) = o devra, lu i aussi, être de révolution autour de cettedroite.Ann.. (le l'Éc. Normale. 3*' Sérn1. 'l'orne XIV. — MAI 1^97. m

Sur le moyen de reconnaître une surface de révolution algébrique et de découvrir la position de son axe

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