Tiivistelmä. Hardyn-Littlewoodin maksimaalifunktio on funktio, joka kertoo funktion maksimaalisen keskiarvon tietyn pisteen ympärillä. Aihe liittyy mittateoriaan, koska maksimaalifunktiot lasketaan mittaintegraalien avulla. Tutkielmassa käsitellään lyhyesti mittateorian perusteet Lebesguen mitan ja integraalin avulla, ja käydään joitakin aiheeseen liittyviä todistuksia. Tämän jälkeen siirrytään käsittelemään Hardyn-Littlewoodin maksimaalifunktiota.
Lause, jonka todistaminen on tutkielman päätavoite, liittyy Lp-avaruuksiin. Lauseen mukaan jos funktio kuuluu Lp-avaruuteen jollakin yhtä aidosti suuremmalla p:n arvolla, niin myös funktion Hardyn-Littlewoodin maksimaalifunktio kuuluu samaan Lp-avaruuteen. Lauseen todistamista varten todistetaan apulauseita kuten 5r-peitelause ja Cavalierin periaate
