Operator Mikhlin adalah salah satu operator pengali. Operator ini memetakan suatu fungsi ke hasil invers transformasi Fourier dari perkalian transformasi Fourier fungsi tersebut dikali dengan suatu fungsi lain yang telah ditentukan sebelumnya. Dengan mengunakan dekomposisi diadik, telah dibuktikan bahwa Operator Mikhlin ini terbatas di Ruang Morrey. Lalu dengan menggunakan definisi, didapatkan bahwa Operator Mikhlin juga terbatas di Ruang Grand Grand Morrey

Maharani, Dian

Jurnal Sains Matematika dan Statistika

Dian Maharani

Crossref

Keterbatasan Operator Mikhlin di Ruang Grand Grand Morrey

UIN Maliki Malang Repository

1  Jurnal Sains Matematika dan Statistika Vol. 8, No. 2, Juli 2022 Hal. 1-7  ISSN : 2460-4542 (print) ISSN  : 2615-8663 (online)  DOI : http://dx.doi.org/10.24014/jsms.v8i2.17156        Keterbatasan Operator Mikhlin di Ruang Grand Grand Morrey  Dian Maharani Prodi Matematika, UIN Maulana Malik Ibrahim Malang Jl. Gajayana No. 50, Dinoyo, Malang, 65144 Email: dian.maharani@mat.uin-malang.ac.id    Abstrak   Operator Mikhlin adalah salah satu operator pengali. Operator ini memetakan suatu fungsi ke hasil invers transformasi Fourier dari perkalian transformasi Fourier fungsi tersebut dikali dengan suatu fungsi lain yang telah ditentukan sebelumnya. Dengan mengunakan dekomposisi diadik, telah dibuktikan bahwa Operator Mikhlin ini terbatas di Ruang Morrey. Lalu dengan menggunakan definisi, didapatkan bahwa Operator Mikhlin juga terbatas di Ruang Grand Grand Morrey.  Kata Kunci:  Keterbatasan operator, Operator Mikhlin, Ruang Morrey, Ruang Grand Grand Morrey   Abstract  Mikhlin operator is one of the multiplier operators. This operator maps a function into the inverse Fourier transform of the Fourier multiplier transformation of that function times another fixed function. Using dyadic decomposition, it is already proven that the Mikhlin operator is bounded in Morrey space. Using the definition, we can prove that the Mikhlin operator is also bounded on Grand Grand Morrey space.  Keywords: Boundedness of Operator, Mikhlin Operator, Morrey Space, Grand Grand Morrey Space  Diterima : 08-06-2022 , Disetujui : 17-06-2022, Terbit Online : 22-07-2022  1. Pendahuluan   Operator perkalian berawal dari adanya masalah sehari-hari yang bisa dimodelkan dalam bentuk matematika, salah satunya menggunakan persamaan differensial. Maharani [1] telah membahas salah satu masalah terkait operator perkalian, yaitu mengenai persamaan panas pada kawat dengan panjang tak hingga. Dari permasalahan ini, dengan menggunakan transformasi Fourier, didapatkan operator pengali Fourier atau operator Riesz, yaitu   ( )( )     [   ̂]( )  2  di mana  ( )      | |         dan     . Pada tahun 1956, S. G. Mikhlin [2] memperumum operator pengali Fourier menjadi operator pengali Mikhlin dan menyatakan bahwa operator tersebut terbatas di Ruang Lebesgue         . Maharani [1] memperluas keterbatasannya dan mendapatkan bahwa Operator Mikhlin tersebut juga terbatas di Ruang Morrey. Dalam hal ini, Ruang Morrey yang dimaksud adalah Ruang Morrey klasik. Pada tahun 2011, Meskhi [3] memperkenalkan Ruang Grand Morrey yang merupakan  perluasan dari Ruang Morrey klasik. Pada tahun 2013, Rafeiro [4] membuat perluasannya lagi, yaitu Ruang Grand Grand Morrey. Pada penelitian ini, akan dibuktikan keterbatasan Operator Mikhlin di Ruang Grand Grand Morrey.  2. Metode Penelitian   Penelitian ini menggunakan metode penelitian pengembangan (Research and Development/R&D). Tahap pertama dari penelitian ini adalah menentukan topik penelitian. Dari hasil studi literatur dan observasi, terdapat penelitian yang masih dapat dikembangkan, yaitu penelitian mengenai Operator Mikhlin dan Ruang Grand Grand Morrey. Oleh karena itu, pada penelitian ini akan dibahas mengenai “Keterbatasan Operator Mikhlin di Ruang Morrey”. Setelah menentukan topik, langkah penelitian selanjutnya adalah mengumpulkan artikel-artikel rujukan terkait topik yang diambil. Dari artikel-artikel tersebut, dikumpulkanlah definisi, teorema, dan lema yang dapat digunakan untuk membuat pembahasan. Langkah berikutnya, sekaligus menjadi langkah paling penting adalah membuat pembahasan.   3. Hasil dan Pembahasan  Operator Mikhlin pada awalnya dibuat oleh S. G. Mikhlin [2] untuk memperumum operator pengali Fourier. Operator pengali Fourier itu sendiri, seperti yang diungkapkan Chen [5] berikut.  Definisi 1 Operator Pengali Operator pengali    didefinisikan sebagai   ̂   ( ) ( )  di mana   ̂ adalah transformasi Fourier dari   .  Transformasi Fourier dan invers transformasi Fourier sendiri didefinisikan sebagai berikut.  Definisi 2 [6] Transformasi Fourier dan Invers Transformasi Fourier Untuk     , transformasi Fourier dari  , dinotasikan sebagai  ̂ didefinisikan sebagai:  , -( )   ̂( )  ∫      ( )    Sedangkan invers transformasi Fourier didefinisikan sebagai    [ ̂]( )   (  )  ∫      ̂( )     Dengan menggunakan transformasi Fourier tersebut, Abels [7] mendeskripsikan Operator Mikhlin sebagai berikut.  3  Definisi 3 Operator Mikhlin Misal          . Kemudian, misal      * +    adalah fungsi yang dapat diturunkan sebanyak  kali sehingga |    ( )|   | | | | untuk semua     | |   . Operator Mikhlin didefinisikan sebagai  ( )     [  ̂] untuk semua    , di mana   adalah Ruang Schwartz.  Sebelum membahas Ruang Grand Grand Morrey, terlebih dahulu akan dibahas mengenai Ruang Morrey, Ruang Grand Morrey, dan Ruang Grand Grand Morrey sebagai berikut.  Definisi 4 [7] Ruang Morrey (Klasik)  Misal       dan         Ruang Morrey biasa (klasik)     ( ) adalah himpunan semua fungsi bernilai riil yang terukur sedemikian sehingga ‖ ‖   ( )             ( | (   )| ∫ | ( )|     ̃(   ))      dengan        .  Definisi 5 [7] Ruang Grand Morrey  Misal            dan       . Ruang Grand Morrey, dinotasikan   )   ( ), adalah kelas fungsi       dengan norm ‖ ‖  )  ( )                       *  | (   )| ∫ | ( )|      (   ) +         Jika    , maka   )   ( ) adalah Ruang Grand Lebesgue pada   dan dinotasikan   ) ( ). Lebih jauh lagi, jika    , maka notasi yang digunakan adalah   )  ( ), bukan   )   ( ).   Definisi 6 [4] Ruang Grand Grand Morrey  Misal                dan       . Definisikan fungsi       (   )               ‖ ‖        ( )  dengan        {      }.     )  )( ) adalah ruang yang berisi semua fungsi bernilai riil yang terukur dan memiliki norm berhingga ‖ ‖    ) )( )       (      )            {      }   Dari definisi di atas, norm   pada Ruang Grand Grand Morrey dapat ditulis ulang sebagai ‖ ‖    ) )( )                 ‖ ‖        ( )          {      }   Jika          maka Ruang Grand Grand Morrey adalah Ruang Grand Morrey, dan saat        maka Ruang Grand Grand Morrey menjadi Ruang Grand Lebesgue. Pada 4  penelitian ini, lapangan yang digunakan adalah   , sehingga pada definisi Ruang Morrey, Ruang Grand Morrey, maupun Ruang Grand Grand Morrey di atas,     . Untuk mempersingkat penulisan, maka     (  )         )   (  )    )   , dan     )  )(  )      )  ).   Menggunakan keterbatasan Operator Mikhlin di Ruang Lebesgue, Maharani [1] telah membuktikan bahwa Operator Mikhlin ini terbatas pada Ruang Morrey. Namun sebelum membahas mengenai keterbatasan tersebut, akan dibahas mengenai partisi (dekomposisi) Littlewood – Paley / partisi diadik satuan [8]. Partisi ini bertujuan untuk membuat barisan {  }    dengan       (  ), yaitu    adalah fungsi kontinu yang dapat diturunkan terus menerus dan memiliki support kompak, dan ∑      .    harus memenuhi        ( )  *         | |     + untuk     saling berkaitan. Berikut adalah langkah-langkah membuat partisi diadik. 1. Pilih fungsi non negatif      (  ) yang memenuhi         | |     2. Definisikan   ( )   (    ) dan  ( )  ∑  ( )      untuk    , di mana  ( ) memuat maksimal 2 suku tak nol. Dekomposisi yang diinginkan adalah   ( )   ( )    ( )  3. Pada kasus ini,   ( )    (    ) karena  (    )   ( ). Akibatnya |     ( )|   ‖     ‖  (   | |) dengan     .   Proposisi 1 Bentuk Konvolusi Operator Mikhlin   Misal   adalah Operator Mikhlin. Terdapat fungsi      * +    yang terintegralkan lokal, dapat diturunkan secara kontinu, memiliki support kompak, serta memenuhi: | ( )|   | |   |  ( )|   | |      untuk semua     sedemikian sehingga  ( )( )  ∫ (   ) ( )   untuk semua              .  Bukti. Dekomposisi fungsi  menggunakan dekomposisi diadik menjadi  ( )  ∑  ( )      dengan  ( )    ( ) ( ). |     ( )|  ∑ .  /     |    ( )| |       ( )|      | |  Untuk setiap  ( ), didapatkan   ( )( )     [   ̂]( )  ∫   (   ) ( )      dengan   ( )     [  ]( ) adalah fungsi kontinu. Didapatkan, 5   ( )( )  ∑∫   (   ) ( )        Kemudian, pecah ∑      ( )  menjadi ∑      ( )   | |   dan ∑      ( )| |     . Perhatikan bahwa ∑      ( )     | |      | |   | | untuk | |    dan   . Sedangkan untuk | |    dan    | |   , ∑      ( )     | |      | |   | |  Jadi ∑      ( )  konvergen mutlak dan seragam ke     ( ) pada setiap himpunan bagian    * + yang kompak, sehingga | ( )|   | |   |  ( )|   | |     untuk semua | |   . Karena ∑   ( )  berhingga lokal dan |  ( )| terbatas seragam terhadap   dan  ̂( )    , maka  ( )( )  ∫ (   ) ( )     Teorema 1 Keterbatasan Operator Mikhlin di Ruang Morrey   Misal   adalah Operator Mikhlin, maka   dapat diperluas menjadi operator terbatas pada ruang Morrey, yaitu                           Bukti. Misal         , dan         Tulis         dengan        (    ). Karena       , maka        . Sementara    adalah fungsi pada ruang tempered distribution [9].  Dengan menggunakan keterbatasan Operator Mikhlin pada Ruang Lebesgue, didapatkan ‖ (  )‖  ( (   ))       ‖ ‖          (1) Misal    (   ). Dengan menggunakan konvolusi, | (  )( )|    ∫ | ( )|∫         |   |    (    )  dengan menggunakan Teorema Fubini dan ketaksamaan Hölder, didapatkan | (  )( )|    ‖ ‖          Akibatnya,       ‖ (  )‖  ( (   ))    ‖ ‖               (2) Dari (1) dan (2), ‖ ( )‖  ( (   ))  ‖ (  )‖  ( (   ))  ‖ (  )‖  ( (   ))       ‖ ‖      ‖ ‖            ‖ ‖     Karena berlaku untuk sembarang    , maka ‖ ( )‖              ‖ ( )‖  ( (   ))   ‖ ‖      6  Dengan menggunakan Teorema 1, Operator Mikhlin yang telah dibahas pada definisi 3 dapat diperluas menjadi operator terbatas di ruang Grand Grand Morrey seperti yang tertuang pada Teorema 2 berikut.  Teorema 2 Keterbatasan Operator Mikhlin di Ruang Grand Grand Morrey  Misal                       dan   adalah Operator Mikhlin, maka   dapat diperluas menjadi operator terbatas pada ruang Grand Grand Morrey, yaitu       )  )     )  )   Bukti. Dengan menggunakan definisi Ruang Grand Grand Morrey dan Teorema 1,  ‖ ( )‖    ) )                  ‖ ( )‖                           ‖ ‖                           ‖ ‖            ‖ ‖     )  )   Dengan demikian, terbukti bahwa Operator Mikhlin terbatas pada Ruang Grand Grand Morrey.  4. Kesimpulan  Berdasarakan pemaparan di atas, dapat disimpulkan bahwa Ruang Grand Grand Morrey adalah perluasan dari Ruang Morrey. Selain itu, Operator Mikhlin dapat diperluas menjadi operator linear yang terbatas di Ruang Grand Grand Morrey. Pada penelitian selanjutnya, dapat ditelaah apakah Operator Mikhlin juga merupakan operator linear yang terbatas di ruang-ruang lainnya, misal pada Ruang Herz,      ( ).  Ucapan Terima Kasih Terima kasih penulis ucapkan kepada Allah SWT yang telah memberi beragam kenikmatan sehingga artikel ini terwujud. Selain itu juga kepada Prof. Marcus Wono Setya Budhi, Ph.D.dan Dr. Jalina Widjaja, S.Si., M.Si yang telah membimbing penulis dalam memahami Operator Mikhlin dan Ruang Morrey. Daftar Pustaka  [1]  E. M. Stein dan R. Shakarchi, Fourier analysis: An introduction, 2011.  [2]  M. K. Kalleji, “Boundedness of Mikhlin Operator in Variable Exponent Morrey Space,” Mathematical Analysis and Convex Optimization, vol. 2, no. 1, pp. 79-85, 2021.  [3]  H. Abels, Pseudodifferential and Singular Integral Operators, 2011.  [4]  D. Maharani, J. Widjaja dan M. W. Budhi, “Boundedness of Mikhlin Operator in Morrey Space,” Journal of Physics: Conference Series, vol. 1180, 2019.  [5]  H. Rafeiro, “A Note on Boundedness of Operators in Grand Grand Morrey Spaces,” Operator 7  Theory: Advances and Applications, vol. 229, pp. 349 - 356, 2013.  [6]  V. Kokilashvili, A. Meskhi dan M. A. Ragusa, “Weighted extrapolation in grand Morrey spaces and applications to partial differential equations,” Atti della Accademia Nazionale dei Lincei, Classe di Scienze Fisiche, Matematiche e Naturali, Rendiconti Lincei Matematica e Applicazioni, vol. 30, no. 1, 2019.  [7]  S. G. Samko dan S. M. Umarkhadzhiev, “Grand morrey type spaces,” Vladikavkaz Mathematical Journal, vol. 22, no. 4, pp. 104-118, 2020.  [8]  A. Meskhi, “Maximal functions, potentials and singular integrals in grand Morrey spaces,” Complex Variables and Elliptic Equations, vol. 56, no. 10-11, pp. 1003-1019 , 2011.  [9]  R. Haller, H. Heck dan A. Noll, “Mikhlin's theorem for operator-valued Fourier multipliers in n variables,” Mathematische Nachrichten, vol. 244, no. 1, pp. 110-130, 2002.  [10]  Y. S. Chen, L. K. Chen dan D. Fan, “Multiplier operators on weighted function spaces,” Rocky Mountain Journal of Mathematics, vol. 31, no. 1, pp. 77-93, 2001.  [11]  A. Shaviv, “Tempered distributions and Schwartz functions on definable manifolds,” Journal of Functional Analysis, vol. 278, no. 11, 2020.  [12]  P. Zheng dan X. Shi, “The use of the dyadic partition in elementary real analysis,” Journal of Computational and Applied Mathematics, vol. 329, pp. 344-352, 2018.    

Keterbatasan operator Mikhlin di ruang Grand Grand Morrey

Malang State Islamic University

https://ejournal.uin-suska.ac.id/index.php/JSMS/article/viewFile/17156/7950

Keterbatasan operator Mikhlin di ruang Grand Grand Morrey

Abstract

Similar works

Full text

Available Versions

Crossref

UIN Maliki Malang Repository

Malang State Islamic University