Odile Lecacheux

Journal de Théorie des Nombres de Bordeaux

JOURNAL DE THÉORIE DES NOMBRES DE BORDEAUXODILE LECACHEUXRang de courbes elliptiques avec groupe detorsion non trivialJournal de Théorie des Nombres de Bordeaux, tome 15, no 1 (2003),p. 231-247<http://www.numdam.org/item?id=JTNB_2003__15_1_231_0>© Université Bordeaux 1, 2003, tous droits réservés.L’accès aux archives de la revue « Journal de Théorie des Nombresde Bordeaux » (http://jtnb.cedram.org/) implique l’accord avec les condi-tions générales d’utilisation (http://www.numdam.org/conditions). Toute uti-lisation commerciale ou impression systématique est constitutive d’uneinfraction pénale. Toute copie ou impression de ce fichier doit conte-nir la présente mention de copyright.Article numérisé dans le cadre du programmeNumérisation de documents anciens mathématiqueshttp://www.numdam.org/231Rang de courbes elliptiques avec groupede torsion non trivialpar ODILE LECACHEUXRÉSUMÉ. On construit des courbes elliptiques sur Q(T) de rangau moins 3, avec un sous-groupe de torsion non trivial. Parspécialisation, des courbes elliptiques de rang 5 et 6 sur Q sontobtenues.ABSTRACT. We construct elliptic curves on Q(T) with rank grea-ter than 3 and non zero torsion group. After specialization, weobtain elliptic curves of rank 5 and 6 on Q.1. IntroductionSoit E une courbe elliptique sur Q. Le théorème de Mordell-Weil donnela structure du groupe des points rationnels de E :où r est appelé le rang sur Q de E et E (Q) t, désigne le sous-groupe detorsion de E (Q). Lorsque E décrit l’ensemble des courbes elliptiques surQ, un théorème de Mazur montre qu’il n’y a qu’un nombre fini de groupesde torsion possibles; par contre on ignore si r est borné. Les exemples con-nus de courbes avec rang élevé correspondent à des courbes avec un groupede torsion d’ordre 1 ou 2 (Voir [5] et [6], par exemple, et [2] pour une listeactualisée). Dans un précédent article [3], nous avons construit des courbeselliptiques sur Q(T") de rang &#x3E; 3 avec Z/5Z. Nous pour-suivons notre étude et montrons que les méthodes utilisées s’appliquentpour d’autres sous-groupes de torsion correspondants à toutes les surfacesmodulaires rationnelles avec quatre fibres singulières de type lc. Nous mon-trons les résultats suivants :Théorème 1. Il existe une courbe elliptique sur Q (T) , d’invariant modu-laire non constant, possédant trois points indépendants définis sur Q (T) etun sous-groupe de torsion, défini isomorphe à l’un des groupes :Z/6Z, Z/2Z x 2/42, Z/3Z x 1-£3-Manuscrit reçu le 29 novembre 2001.232Nous étudions aussi le cas où Z/4Z C C8, le groupe Ces étantstable par le groupe de Galois de Q/Q.2. Méthode2.1. Surfaces modulaires rationnelles.On considère l’ensembleoù les sous-groupes r (n) , rl (n) et ro (n) de SL2 (Z) sont définis parSi r E é5, le produit semi-direct de r par Z2 opère librement sur Sj x CparOn note Er la surface quotient et Yr = la courbe quotient. La fibrationelliptiquese prolonge en une fibration semi-stableque l’on note surface elliptique modulaire.Par ailleurs, si on considère les surfaces elliptiques semi-stables sur I£~1c’est à dire les surfaces dont les fibres singulières sont de type le, (où Te estun polygone à c côtés formé de courbes rationnelles) on montre qu’elles ad-mettent au moins quatre fibres singulières et sont rationnelles. Beauville [1]a donné une liste (finie) de telles surfaces et montré qu’elles correspondentaux surfaces elliptiques modulaires avec r E 9.233Rappelons que la courbe (resp. est définie sur Q etparamétrise les couples où E est une courbe elliptique, ayant unpoint AN d’ordre N, (resp. (E, CN) où C~ est un groupe cyclique d’ordreN). Si E est une courbe elliptique définie sur Q et si AN est définie surQ, il existe t e Q telle que E soit isomorphe, sur Q, à Pour cela ilsuffit d’écrire une équation de Weierstrass de E de la formeen choisissant le point de N-torsion en (o, 0) , ce qui donne une relationentre b et c. Nous expliciterons, dans le troisième paragraphe et pour chaquegroupe de (9 l’isomorphisme entre Eb,c et la fibre en t de Er. On utilisera unepropriété analogue dans les cas où le groupe de torsion n’est pas cyclique.2.2. Courbes de rang 2.On considère le produit fibré associé à rEn général Er2 a des singularités provenant des points critiques de l’application f . Cependant, comme f n’a que des fibres singulières semi-stables, lessingularités de sont des points singuliers ordinaires.On montre (cf. [7] et [8]) qu’on peut construire une résolution projectivetelle que X soit une variété de dimension 3, de Calabi-Yau, c’est à dire unevariété projective lisse telle quee le fibré canonique est trivial, i.e. Kx -- Ox.234De plus, la variété est rigide (h1,2 (X ) - h2,1 (x) = 0), de sorte que lenombre de Betti B3 (X) = 2.Chercher des courbes elliptiques de rang 2 avec une structure de torsioncorrespondant à la liste 6 revient à chercher des points rationnels sur leproduit fibré et à montrer, en plus, que les points construits sur la courbeelliptique (fibre en t de Er) sont indépendants.2.3. Fibrations elliptiques.Nous montrons que les produits fibrés des surfaces elliptiques modulairesEr avec F E t~ admettent une fibration elliptiqueNous regroupons dans un tableau les résultats qui sont montrés dans [3] etdans les paragraphes suivants.235Les fibres génériques possèdent toutes des points de 2-torsion et despoints Q { a, b)-rationnels d’ordre infini.2.4. Courbes de rang &#x3E; 3.Soit r E (4) n r (2), Fi (5), Fi (6), Fo (8) n il (4)}. Par combinaisonde points Si (ou ~’) et de torsion on construit comme pour Fi (5) (cf. [3])une courbe elliptique sur Q (a) de rang &#x3E; 3. Pour F (3) et Fo (9) n Fi (3) ilest possible de faire une construction analogue mais il faut changer la basede la fibration précédente.Des courbes de rang &#x3E; 3 ont été construites par A. Dujella par spéciali-sation des familles de rang 2 et 3 issues des exemples donnés dans les para-graphes suivants. La méthode consiste d’abord à sélectionner des courbesavec de nombreux points modulo un nombre premier p.236Plus précisément, pour N un entier fixé, E une courbe elliptique etap = p + 1 - JE (Fp ) ) , on définit -Il est alors expérimentalement connu qu’on peut espérer obtenir des courbesde grand rang si Si=1,2,3 (N) est grand. Le rang est alors minoré parconstruction effective de points indépendants, utilisant les programmesMWRANK (J. Cremona) et RATPOINTS (M. Stoll). Le rang est ma-joré par la borne de Mazur pour les courbes ayant de la torsion [4]. Nousremercions A. Dujella pour les exemples de courbes de rang 5 et 6 que nousdonnons ici. Une étude plus approfondie fera l’objet d’une autre publica-tion.3. Résultats3.1. Surface Fi (5). Complétons l’étude de ce cas, en donnant des exem-ples de courbes de rang 6 et 5.3.1.1. Exerraples. Le plus grand rang actuellement connu (Septembre 2002)[2] , a été obtenu avec l’exemple (2) de [3] pour (a, b) = (1, 6~ . Plusprécisément la courbeavec d = de rang 6. Les points suivants sontindépendantsSi on choisit (a, b) -- ~ 3 , 6 ~ , soit d = 1292/ 12201 = 3 ~ 7 X 3 , les pointsd’abscissesont rationnels et indépendants sur la courbe correspondante.237On obtient aussi deux courbes de rang 5 pour (a, b) = (2, 5/7) (soit3.2. Surface Er~ ~6~ . Dans ce cas la courbe pour équationde discriminant cs (9c + 1) (c + 1)" . nla courbe Ec est isomorphe à la courbe d’équationoù le point (2, 0) est d’ordre 3, le point (-2, 0) d’ordre 2 et enfin (-2 + 4d, 0)d’ordre 6. Cette dernière forme de Weierstrass montre aussi que la surfaceelliptique est rationnelle.Nous préférons toutefois utiliser le modèledans lequel les coordonnées des points obtenus dans le théorème suivantsont plus simples. L’équation Ed est obtenue à partir de la précédente enremplaçant X par -2 -!- 4d -1- X.Le changement de variablesmontre que la courbe Ed est birationnellement équivalente à la quartiqueEnfin, posantla courbe Ed est birationnellement équivalente à la courbe notée Sd d’équa-tion (cf. [1] et [9])Remarque 2. Posant d = t + 1, (cf. [1]) on obtient aussi l’équation deErl (6)Si K désigne un corps et si Mi et M2 E Ed (K) sont deux points £Ed (K) tor, on note (A, Z) et (B, T) les points correspondants sur Sd. Lepoint (A, Z, B, T) est un point K-rationnel du produit fibré Erl (6) Er¡(6) d’équation238Notons aussi....- --On étudie la fibration elliptiqueDéfinition 3. On notera la courbe affine d’équationProposition 4. La cubique Ca,b a un modèle de WeierstrassLes points de coordonnéessont indépendantes et le point (0, 0) est d’ordre 2.PosonsOn définit ainsi une application birationnelle, définie sur Q ( a, b) , d’inverseentre la cubique Ca,b (Z, T) et la courbe elliptique d’équationLe point (Z = b, T = a) de a pour image ,S’2.L’étape suivante consiste à construire une courbe elliptique avec deux points Q (a, b) rationnels.Au point ,S = ni Si +m181 où (ml,n1,E) E 72 x de Ca,bcorrespond le point {a, Z (a, b) , b, T {a, b) ) du produit fibré Er! (6) x rl (6)Les courbes elliptiques E~ avec d = d (a, Z (a, b) ) définies sur Q(a, b)possèdent alors deux points Q ( a, b)-rationnels. Plus précisément, nous don-nons quatre exemples de cette construction.239Exemple 1. A partir du pointde (Z, T) on considère la courbe Ed, avecExemple 2. A partir du pointde (Z, T) on considère la courbe Ed, avecExemple 3. A partir du point,de (Z, T) on considère la courbe Ed3 avecExemple 4. A partir du pointde (Z, T) on considère la courbe Ed4 avecDans tous ces exemples, les points de Ed, qui vérifient Y = 2X/a et Y =2X/b engendrent un groupe de rang 2 : dans chaque cas, l’indépendancedes points est montrée par spécialisation.Remarque 5. Nous avons choisi des points ,~ qui donnent des fractionsrationnelles Z (a, b) de degré au plus 2 en a ou b.2403.2.1. Courbes de rang 3. On choisit x et y de sorte que Zl (a, x) =Z2 (a, y) , soit, - 1 - -et on considère la courbe Ed telle queLes points de Ed qui vérifient Y = 2X /a, Y = ou bien Y = 2X/ysont définis sur le L’égalité Zl ( a, x ) = Z2 ( a, y ) définit une courbe Ho- On se ramène alorsà étudier les points de cette courbe sur Q(a) . Les factorisations de (3)montrent que Ha est une courbe elliptique sur Q (a) qui possède des pointsrationnels sur ce corps. Plus précisément, on montre que cette courbea deux points indépendants et un point d’ordre 2, définis Parexemple le point x = a3+a2+a-l Y = est Q (a)-rationnel sura -f-2a-1 y a -f-a --a-1 Ha . La courbe Ed où d = di (a, Zl (a, x)) = d2 (a, Z2 (a, y)) a alors troispoints Q ( a)-rationnels. Par spécialisation en a = 1/2 on montre l’indépen-dance de ces points, ce qui prouve le théorème suivant âThéorème 6. La courbe Edoùa un 3 (a) .Les pointssont indépendants, où241Remarque 7. Les seuls facteurs premiers de Z [a] qui interviennent dansles coordonnées Xi et Y sont des diviseurs des numérateurs et dénomina-teurs de d et de d - 1. D’autres courbes Ed peuvent être construites avecZi (a, x) = Z2 (a, y) ; on obtient toutefois des fractions en a de degré plusélevé, par exemple3. 2.2. Courbes de rang &#x3E; 3. Le plus grand rang obtenu pour une courbeelliptique E avec E (Q)tor rv Z/6Z est, à ce jour, de 7. Utilisant la familledonnée par le théorème, on obtient pour a = 5/8 une courbe de rang 6, poura = 9 une courbe de rang 5. Les valeurs a = 2, 3, 4 donnent des courbes derang 4.Les courbes de l’exemple (1) avec (a, b) = (7,34) et (2,39), de l’exemple(3) avec (a, b) = (9, 25) donnent des courbes de rang 6. L’exemple (2)fournit une courbe de rang 5 pour (a, b) _ (2, 39) .3.3. Surface · La méthode et les définitions sont essentielle-ment les mêmes que dans le cas précédent, nous ne donnerons que lesrésultats.La courbe elliptique d’ équationa un groupe de torsion isomorphe à Z/2 x ~/4. Posant c = 1l d, X = -dxet Y = d y, Z = 1 cette courbe est birationnellement équivalente à la courbed’équationLe produit fibré a pour équationNous utiliserons la fibration elliptique de Er~~~~rl ~4~et nous noterons Ca,b la fibre génériqueProposition 8. La fibre générique Ca,b a urt modèle de Weierstrass242Les points d’abscisses 0, ab (a + 1)2 (b - 1)2 ab (a - 1)2 (b + 1)2 sont d’or-dre 2. Le point Pl = Cb2 (a 2 - 1)2 0) est d’ordre infini.Le changement de variablesd’inversedonne le résultat.Exemple 1. Considérant le point -8 on obtientetExemple 2. Considérant le point 2,S‘, on obtientet la même valeur de d que dans l’exemple précédent.3.3.1. Courbes de rang 3. Pour a fixé, chercher x et y tels que Zl (a, x) =Z2 (a, y) revient à chercher des points Q (a)-rationnels sur la courbe ellip-tique243Cette courbe est de rang &#x3E; 0 sur Q (a) : le point Lest d’ordre infini. Le point -2L donne la solutionOn obtient alors le théorème suivant :Théorème 9. La courbe elliptiqueaveca un rang &#x3E; 3 sur Q ( a) ; les points d’abcsisses ~sont indépendants.En spécialisant pour a = 1/3 soit d = -112/ 171, on montre l’indépen-dance des trois points.3.3.2. Courbes de rang &#x3E; 3. Le plus grand rang obtenu, à ce jour, pourune courbe elliptique sur Q dont le groupe de torsion est isomorphe àZ/4Z x Z/2Z, est de 6. Choisissant a = 1/12, a = 2/11 dans le théorème,ou bien (a, b) - (20, 64) dans l’exemple (1) , permet de construire descourbes de rang 5.3.4. Surface ErQ(8)nn(4)’ La surface elliptique rationnellecorrespondant au groupe de congruence ro (8) n Fi (4) a pour équation deWeierstrassIl suffit, pour cela, de poser -x = XY, y = -(x + 1 )Y et Z = 1.Le point A = (x = -1, d) est d’ordre 4, et il existe un point d’ordre8 tel que 2A, = A. Le point A1 est défini dans une extension galoisiennede Q (d) .Le produit fibré a pour équationConsidérons la fibration elliptique-244de fibre générique d’équationProposition 10. Ca,b est birationnellement équivalente à la courbeLe point T = (-a2b2, 0) est d’ordre 4. Le point ,est d’ordre infini.Le changement de variablestransforme Ca,b enExemple 1. Le point 29 correspond àExemple 2. Le point 25 + 2T correspond à3.4.1. Courbes de rang 3. Chercher des valeurs de x et z pour lesquellesrevient à étudier l’équationc’est à dire à chercher des points Q ( a)orationnels sur une courbe elliptique.On montre que cette courbe est de rang 1 sur Q ( a) et possède un point245d’ordre 3 sur Q ( a) . On trouve par exemplecomme solution de Zi (a, x) = Z2 (a, y) .Théorème 11. Soitla courbea trois points indépendantes sur ~(a) . Plus précisément les points de cettecourbe qui sont aussi sur l’une des courbesoùsont Q (a) -rationnels et engendrent un groupe de rang 3.En spécialisant pour a = 1/2 on obtient l’indépendance des points d’oùle résultat du théorème.3.5. Surface La courbe estisomorphe à la courbepar l’applicationd’inverse246Le produit fibré a pour équationNous utiliserons la fibration elliptiqueProposition 12. La fibre générique Ca,b est birationnellement équivalent àCette courbe possède les points rationnels T .i (o, 0) d’ordre 2 et S =~a3b2, 0) d’ordre infini.Le résultat est obtenu par le changement de variablesEn considérant les points 3S’ et ~S° -~- T nous obtenons respectivement lespointsCe qui donne3.6. Courbes de rang 3. Cherchons des valeurs de x et y pour lesquellesSi a = r~, nous trouvons que l’équation Zi (a, x) - Z2 (a, y) définit unecourbe elliptique de rang &#x3E; 0 sur Q (r) . Par exemple, etx = r 3 5r alors Zi (r2, ~) - Z2 (r2, y) et 247Théorème 13. La courbe elliptiqueoùpossède trois points indépendants d’abscissesL’indépendance des points est montrée en spécialisant en r = 3.Les courbes correspondant à r (3) sont isogènes sur Q (d) aux courbesy2 + dxy + y = x3. Des résultats analogues sont donc obtenus par isogénie.Bibliographie[1] A. BEAUVILLE, Les familles stables de courbes elliptiques sur P1 admettent quatre fibressingulières. C.R. Acad. Sc. 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BEUKERS, On the Picard-Fuchs Equation and the Formal Brauer Groupof Certain Elliptic K3-surfaces. Math. Ann. 271 (1985), 269-304.Odile LECACHEUXInstitut de MathématiquesUniversité Paris-VIcase 247175 rue du Chevaleret75013 ParisFranceE-rriail : lecacheu0math.jussieu.fr

Rang de courbes elliptiques avec groupe de torsion non trivial

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