Cyril Allauzen

Journal de Théorie des Nombres de Bordeaux

JOURNAL DE THÉORIE DES NOMBRES DE BORDEAUXCYRIL ALLAUZENUne caractérisation simple des nombres de SturmJournal de Théorie des Nombres de Bordeaux, tome 10, no 2 (1998),p. 237-241<http://www.numdam.org/item?id=JTNB_1998__10_2_237_0>© Université Bordeaux 1, 1998, tous droits réservés.L’accès aux archives de la revue « Journal de Théorie des Nombresde Bordeaux » (http://jtnb.cedram.org/) implique l’accord avec les condi-tions générales d’utilisation (http://www.numdam.org/conditions). Toute uti-lisation commerciale ou impression systématique est constitutive d’uneinfraction pénale. Toute copie ou impression de ce fichier doit conte-nir la présente mention de copyright.Article numérisé dans le cadre du programmeNumérisation de documents anciens mathématiqueshttp://www.numdam.org/237Une caractérisation simple des nombres de Sturmpar CYRIL ALLAUZENRÉSUMÉ. Un mot sturmien est la discrétisation d’une droite depente irrationnelle. Un nombre de Sturm est la pente d’un motsturmien qui est invariant par une substitution non triviale.Ces nombres sont certains irrationnels quadratiques caractériséspar la forme de leur développement en fraction continue. Nousdonnons une caractérisation très simple des nombres de Sturm :un nombre irrationnel positif est de Sturm (de première espèce)si et seulement s’il est quadratique et à conjugué négatif.ABSTRACT. A Sturmian word is the discretization of a straightline with an irrational slope. A Sturmian number is the slope ofa substitution invariant sturmian word.These numbers are some quadratic irrationals characterized bythe form of their continued fraction expansion. We give a verysimple characterization of Sturmian numbers : a positive irra-tional number is Sturmian (of the first kind) if and only if it isquadratic with a negative conjugate.1. PRÉLIMINAIRESUn mot binaire est équilibré si la différence entre le nombre d’occurrencesd’une lettre dans deux de ses facteurs de même longueur est toujours bornéepar 1 en valeur absolue.Un mot sturmien est un mot infini, binaire, équilibré et non ultimementpériodique. Il existe plusieures caractérisations des mots sturmiens (voirpar exemple [1, 2]). Rappelons deux de ces caractérisations, comme suitesde coupure et comme mots mécaniques.1.1. Suites de coupure. Dans la grille du premier quadrant formée desdroites horizontales et verticales passant par des points de coordonnéesentières, on trace une droite y = cxx + p de pente irrationnelle positivecx. On code les intersections de cette droite avec la grille par un 0 lorsquel’on coupe une droite verticale et par un 1 lorsque l’on coupe une droitehorizontale. La suite de ces codages constitue la suite de coupure de ladroite y = ax + p, notée .Ka,p.238On peut remarquer que cette définition pose un problème dans le casoù la droite y = ax + p passe par un point de coordonnées entières dansle premier quadrant strict. Une telle droite possède alors deux suites decoupure : dans la première, l’unique point de coordonnées entières est codépar 01, dans la seconde, il est codé par 10.Toute suite de coupure d’une droite de pente irrationnelle est un motsturmien. Réciproquement, tout mot sturmien est la suite de coupure d’unedroite de pente irrationnelle. La pente de cette droite est appelée pente dumot sturmien.1.2. Mots mécaniques. Étant donnés 0  a  1 et p &#x3E; 0, les motsmécaniques sa,p et si, de pente a et d’intercept p sont définis de la façonsuivante : ’pour n &#x3E; 1.Dans cette définition, et [z] représentent les parties entières inférieureet supérieure du réel c’est-à-dire, les entiers qui vérifient :Tout mot mécanique de pente irrationnelle est un mot sturmien et viceversa.On peut remarquer que, si la droite y = ax + p ne passe par aucun pointde coordonnées entières du premier quadrant (strict), alors sa,p = Enparticulier, s,,o = s«,o ~ 1.3. Equivalence. Étant donnés a &#x3E; 0 et p &#x3E; 0, il existe u tel queRéciproquement, étant donnés 0  a  1 et p &#x3E; 0, il existe u tel que2. NOMBRES DE STURMUn nombre d e Sturm d e première espèce est un irrationnel x dont ledéveloppement en fraction continue est de la forme :239Un nombre de Sturm de seconde espèce est un irrationnel x, 0  x  1,dont le développement en fraction continue est de la forme :oùn&#x3E; 1.La notation [ao, ... , ar, ar+1, ... , ar+p] désigne un développement enfraction continue ultimement périodique, c’est-à-dire tel que les quotientspartiels vérifient : pour tout n &#x3E; r, an+p = an .Ces nombres ont été introduit dans [3] dans le but de montrer le résultatsuivant. La terminologie "nombres de Sturm" est due à [4].Théorème 1 (Crisp et al. [3]). Le mot sturmien Ka,o, avec a irrationnelpositif, est invariant par une substitution non triviale si et seulement si aest un nombre de Sturm de première espèce.Le mot sturmien avec cx irrationnel comprzs entre 0 et 1, est inva-r2ant par une substitution non triviale si et seulement si a est un nombrede Sturm de seconde espèce.Ce résultat a été en partie généralisé au cas d’intercept non nul dans [4].Théorème 2 (Parvaix [4]). Soit p un réel positif.Une suite de coupure de pente a irrationnelle positive et d’intercept p estinvariante par une substitution non triviale seulement si a est un nombrede Sturm de première espèce.Un mot mécanique de pente a, irrationnelle comprise entre 0 et 1, etd’intercept p est invariant par une substitution non triviale seulement si aest un nombre de Sturm de seconde espèce.On peut remarquer qu’un nombre quadratique x est de Sturm de premièreespèce si et seulement est de Sturm de seconde espèce. Cela ap-paraît clairement sur les développements en fraction continue et cela est dûau fait que3. UNE CARACTÉRISATIONLe but de cette note est d’établir la caractérisation suivante.Théorème 3. Un nombre irrationnel positif est de Sturm de premièreespèce si et seulement s’il est quadratique et à conjugué négatif.Un nombre irrationnel de )0,1 ~ [ est de Sturm de seconde espèce si etseulement s’il est quadratique et à conjugué n’appartenant pas à j0,1 ~.240Avant de prouver ce résultat, rappelons d’abord quelques propriétés desfractions continues. Voir par exemple [5] pour plus de détails.Un réel possède un développement en fraction continue infini si et seule-ment s’il est irrationnel. Un irrationnel possède un développement en frac-tion continue ultimement périodique si et seulement s’il est quadratique.Un irrationnel quadratique x est réduit si x &#x3E; 1 et son conjugué x vérifie1Propriétés 1. Un nombre irrationnel quadratique possède un dévelop-pement en fraction continue purement périodique si et seulement s’il estréduit.Propriétés 2. Si x est un irrationnel quadratique réduit et si l’on écritX = [ao, al, ... , an-1, an], on a alors :Preuve du théorème 3. Commençons par établir la caractérisation des nom-bres de Sturm de première espèce.Soit x un irrationnel quadratique tel que x &#x3E; 0 et x  0, montrons quex est de Sturm (de première espèce). Nous allons distinguer quatre casdistincts selon les positions des nombres x et x respectivement par rapportà 1 et -1.Si x &#x3E; 1 et -1  x  0, alors x est réduit, son développement en fractioncontinue est donc purement périodique et x est trivialement de Sturm.alors 1 /x est réduit, son développement enfraction continue est donc purement périodique et x est trivialement deSturm.Si x &#x3E; 1 -1, est réduit. En effet, 0  x -  1 etx - lx’  -2. Il existe donc des entiers n, ai, ... , an tels que :- - F - -On a alors x = [[xj,al,... an], il nous reste à montrer que an.Comme an = L-(x - [xj + [-1 J et -1  1, on a :Donc x est de Sturm.Alorsy&#x3E; lety -1,etpar ce qui précède, y et donc aussi x sont de Sturm.Réciproquement, soit x &#x3E; 0 un nombre de Sturm de première espèce.Montrons que x  0.241Si x &#x3E; 1, alors x = [ao, a1, ... , an] avec ao  an. Si ao = an, alors x estréduit et x  0. Si ao  an, alorsest réduit, ce qui impliqueComme ao  an, on a an - ao &#x3E; 0 et ~  0.Si 0  x  1, posons y = 1/x. On a alors y &#x3E; 1 et y de Sturm (depremière espèce). Ce qui nous permet de conclure 9  0 et ~  0.Enfin, la caractérisation des nombres de Sturm de seconde espèce estobtenue en remarquant que x est de Sturm de seconde espèce si et seulementsi / est de Sturm de première espèce. DRemerciements. Je remercie Jean Berstel pour m’avoir suggéré cetteétude, pour ses conseils et son soutien, ainsi que le rapporteur de cet articlepour ses commentaires judicieux.BIBLIOGRAPHIE[1] J. Berstel, Recent results in sturmian words. Developments in Language Theory II, pp. 13-24,World Sci. Publishing, River Edge, NJ, 1996.[2] V. Berthé, Fréquences des facteurs des suites sturmiennes. Theoret. Comput. Sci. 165 (1996),295-309.[3] D. Crisp, W. Moran, A. Pollington, P. Shuie, Substitution invariant cutting sequences. J.Théor. Nombres Bordeaux 5 (1993), 123-137.[4] B. Parvaix, Propriétés d’invariance des mots sturmiens. J. Théor. Nombres Bordeaux 9(1997), 351-369.[5] D. Redmond, Number Theory : An Introduction, chapter 4. pp. 210-235. Monographs andTextbooks in Pure and Applied Mathematics, 201. Marcel Dekker, Inc., New York, 1996.Cyril ALLAUZENInstitut Gaspard MongeUniversité de Marne-la-ValléeChamps-sur-Marne, F-77454 Marne-la-Vallée CedexE-mail : allauzenouniv-miv.fr

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