Bernard Randé

Journal de Théorie des Nombres de Bordeaux

JOURNAL DE THÉORIE DES NOMBRES DE BORDEAUXBERNARD RANDÉRécurrences 2- et 3-mahlériennesJournal de Théorie des Nombres de Bordeaux, tome 5, no 1 (1993),p. 101-109<http://www.numdam.org/item?id=JTNB_1993__5_1_101_0>© Université Bordeaux 1, 1993, tous droits réservés.L’accès aux archives de la revue « Journal de Théorie des Nombresde Bordeaux » (http://jtnb.cedram.org/) implique l’accord avec les condi-tions générales d’utilisation (http://www.numdam.org/conditions). Toute uti-lisation commerciale ou impression systématique est constitutive d’uneinfraction pénale. Toute copie ou impression de ce fichier doit conte-nir la présente mention de copyright.Article numérisé dans le cadre du programmeNumérisation de documents anciens mathématiqueshttp://www.numdam.org/101-Récurrences 2- et 3-mahlériennespar BERNARD RANDÉRÉSUMÉ. On sait (Cobham) qu’une suite 2- et 3-automatique est une suiterationnelle. Une question de Loxton et van der Poorten étend ce résultatau cas 2- et 3-régulier. On montre dans cet article que, si une suite vérifieune récurrence 2- et 3-mahlérienne d’ordre un, elle est rationnelle.1. IntroductionUn résultat célèbre de Cobham, ([2]), aflirme que si une suite est àla fois p- et q-automatique, p et q étant deux entiers multiplicativementindépendants, elle est ultimement périodique. La généralisation de cerésultat, conjecturée par Loxton et van der Poorten, est la suivante : siune série formelle à coefficients dans un corps commutatif vérifie à la foisune p-équation de Mahler et une q-équation de Mahler, p et q étant multi-plicativement indépendants, c’est une fraction rationnelle. Notons que vander Poorten donne une réponse à cette question dans [4] par des méthodescompliquées, sous l’hypothèse que le corps de base est un corps de nombres.On pourra aussi lire l’article de J. H. Loxton [3].Notons que cette conjecture implique le théorème de Cobham, ainsi quela généralisation du théorème de Cobham aux suites p-régulières conjec-turée par Allouche et Shallit dans [1].Le résultat que nous obtenons est en réalité de portée beaucoup pluslimitée, mais nous l’obtenons par des méthodes "élémentaires" : nous con-sidérons un élément p de vérifiant une p-équation de Mahler d’ordreun sur C(X), et aussi une q-équation de Mahler d’ordre un sur Ilfaut noter que p et q sont supposés un peu plus que multiplicativementindépendants, à savoir premiers entre eux. Pour la clarté du propos, onprend p = 2 et q = 3.Manuscrit reçu le 10 avril 1992.Les résultats contenus dans cet article ont été exposés au colloque "Thémate",(CIRM, Luminy, Mai 1991).1022. Langages et notationsUne application f : A --~ B est dite presque nulle si l’ensembleest fini; est appelé support de f .Si A est un sous-ensemble de C, et k un entier naturel, on noteSi A = jal, on notera plus brièvement cet ensemble. On désigneraaussi par Ak l’image de A par x J-1. Soient à présent deux fractions rationnelles a et b telles queet une fonction ~, méromorphe sur le disque unité ouvert, telle que ~(0) _1, et vérifiant de plus les deux équations de Mahler suivantes :1 q, , 1 , 1 1-1On désire montrer que ~o est elle aussi une fraction rationnelle.3. Réduction du problèmePosonsoù f : C* - Z est presque nulle. On obtient alors :Soit I un système représentatif de racines carrées des éléments de C*. Onobtient, compte tenu du fait que C* = I U ~ -I) :103Si, de même, b(x) = Il (C* (x - on obtiendra :aecGrâce aux relations (1) et (2), et au fait que p =1 0, on a :ou encore, grâce aux calculs précédents :SoitGrâce à cette relation, nous allons prouver l’existence d’une applicationh : C* - Z, presque nulle, telle que :Supposons h construite, et soit r(x) = TI Q:" (x - a)-h(a).aEc,*On aura alors :Donc 0 = ° vérifie la relation : 0(x’) = 0(z). De plus, 0 n’est pas pôlerni zéro de r, donc 0 est holomorphe au voisinage de 0. Il en résulte queB(x) = B(0) puis que : p = donc que p est une fraction rationnelle.4. Construction de h sur le complémentaire de l’ensemble desracines de l’unitéLEMME 1. Soit S = fx e C*, x non racine de l’unité} et F un sous-ensemble fini de S. Alors :104Preuve.Notons I l’ensemble précédent; si (k, 1) E I, il existe E F2’ fl F3k , doncil existe et f3k,i dans F tels que :On définit ainsi une application :Montrons qu’elle est injective, ce qui suHira. Soit :-Or a n’est pas racine* de 1 (a E F). Donc : .2’e-Î’ = 3~-~~, soit 1 - .~’ etk = k’.Nous pouvons à présent poser :Ceci a un sens, ~ a3k est injective, et donc = 0 pour k assezgrand. De plus, c Z évidemment.Soit a E ,S’. Alors a3 E- S, et donc :Montrons que h : S - Z est presque nulle.Notons A = [ supp(f) U supp(g)] n S; A est fini.105Preuve. L’ensemble considéré est égal à :Si (k, 1) est tel que Afr f1 0, il existe x, y dans A tels que x = w2k,y = c,~3~ , où w E Afr n A3 . D’où : ~3~ _ ~~k , et (~,~) E 7 (avec la notationdu lemme 1).Finalement :1Or, A étant fini, A 27C est lui aussi fini. Le résultat en découle.Pour montrer que h est presque nulle, il suffit donc de montrer que, si[ U A -2-K n [ U A 3T alors h(a) = 0. Supposons par exemple que’ ~~N ~iEN ’ ~ ’U A Cela signifie que, quel que soit k dans N, A, donc quekeNg(a2k) == 0. Notons que l’hypothèse (H) entraîne :et donc que :puisque g(a 3k ) = 0 pour k assez grand.Il en résulte que :106Or il existe k tel que h(cx2k ) = 0 ; sinon, pour tout k, 0 etdonc, d’après la définition même de h, il existe 1 (dépendant de k) tel que0. Mais k - o:2k3l est injective, donc supp ( f ) est infini, ce quiest contradictoire. Finalement, on a bien h(a) = 0.5. Construction de h sur l’ensemble des racines de l’unitéMontrons tout d’abord deux lemmes.LEMME 3. Soit M = ~ et x un élément de C*, p un élément deycc*I~V . Alorsoù Mp.Preuve. Soit w E On a, successivement :et donc :Sommons ces égalités pour w décrivant x 1 . On obtient :Clairement : De plus, pour k E [0, n - 1] :107avec 1  M.Montrons que l’application :est bijective. Compte tenu de la cardinalité, il suffit de montrer qu’elle estinjective. Or :Finalement, on peut réécrire :Appliquons cette égalité à x, x3, ~ ~ ~ , X3P-l , et sommons :avec pM.LEMME 4. Soit R = ~x E racine de et P un sous-ensemblefini de R. Alors : ’U F2 n est un ensemble fini.Preuve. Si F = txl, alors U p2n est incluse dans le sous-groupe de C*nENengendré par x, qui est fini. Le résultat général en découle.Notons B = [supp (f) U supp (g)] f1 R; l’ensemble B est fini, et donc,d’après le lemme 4 : U B2n est fini.~eNSoit à présent a E R. Puisque U est infini, il existe donc" PEN ’108Posons :Il convient de vérifier que cette définition ne dépend que de a, pas de (x, p).Soit donc y e’U B2n tel que y3q = a. D’après le lemme 3 :De même :Donc :et ce quel que soit n. Donc, faisant tendre n vers .+cx, on obtient l’égalitésouhaitée.~ étant ainsi définie, h- est clairement à valeurs entières.Soit a e U B3n , qui est un ensemble fini (lemme 4). Soient x et p telsnEN‘que x 3P = a. S’il existe k .,~ p - 1 tel que x3k E B, alors x3P E donca E B 3p-h ce qui est exclu. Donc : f( x = x3 = ... = x3p 1 = 0,soit h(a) = 0.effectivement de définir h(a3). D’où :Nous pouvons donc énoncer le résultat suivant.109THÉORÈME. Soient p, q deux entiers premiers entre eux, a et b deux frac-tions rationnelles telles que a(0) = b(0) = 1, p une fonction méromorphesur un voisinage de 0 telle queest une fraction rationnelle.La généralisation consistant à passer de (2,3) à (p, q) ne relève que ducontenu de la démonstration. En outre, l’hypothèse p(0) = 1 n’est pas utilecar :0 ou bien p = 0, et le résultat est clair,le ou 0, Cxpd N d = 0, donc 0 n’est0..... , , ....ni zéro ni pôle de p, et cp(0 vérifie les mêmes hypothèses.BIBLIOGRAPHIE[1] J.-P. Allouche et J. Shallit, The ring of k-regular sequences, Theor. Comp. Sci. 98(1992), 1163-197.[2] A. Cobham, On the base-dependence of sets of numbers recognizable by finite au-tomata, Math. Systems Theory 3 (1969), 186-192.[3] J. H. Loxton, Automata and transcendence, New advances in transcendence theory(Durham 1986), Cambridge University Press (1988), 215-228.[4] A. van der Poorten, Remarks on automata, functional equations and transcen-dence, Séminaire de Théorie des Nombres de Bordeaux (1986-1987), exposé n° 27,27-01-27-11.Bernard Randé6 rue des EchevinsF-44000 Nantes

Récurrences $2$- et $3$-mahlériennes

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Récurrences $2$ - et $3$ -mahlériennes

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