J.-P. Borel

Journal de Théorie des Nombres de Bordeaux

JOURNAL DE THÉORIE DES NOMBRES DE BORDEAUXJ.-P. BORELSur certains ensembles normauxJournal de Théorie des Nombres de Bordeaux, tome 1, no 1 (1989),p. 67-79<http://www.numdam.org/item?id=JTNB_1989__1_1_67_0>© Université Bordeaux 1, 1989, tous droits réservés.L’accès aux archives de la revue « Journal de Théorie des Nombresde Bordeaux » (http://jtnb.cedram.org/) implique l’accord avec les condi-tions générales d’utilisation (http://www.numdam.org/conditions). Toute uti-lisation commerciale ou impression systématique est constitutive d’uneinfraction pénale. Toute copie ou impression de ce fichier doit conte-nir la présente mention de copyright.Article numérisé dans le cadre du programmeNumérisation de documents anciens mathématiqueshttp://www.numdam.org/67Sur certains ensembles normauxpar J-P. BORELRésumé 2014 A étant une suite de nombres réels, soit B(A) l’ensemble normalassocié. Pour A C R, nous étudions la question : existe-t-il une suite A àvaleurs dans un intervalle borné I telle que A = B(A)? Dans l’affirmative,nous cherchons alors à minimiser la longueur de l’intervalle I. Dans les casles plus simples, où A C Z, ce problème se ramène à minimiser le degré deQ ~ R[X], avec la contrainte "PQ a tous ses coefficients positifs", pour despolynômes P de type très particulier associés aux ensembles A.Abstract - Let A be a sequence of real numbers and B(A) the associatednormal set, i.e. the set of all real numbers x such that x039B is uniformelydistributed modulo one. Our main problem is the following : for a givenA C R, does there exist a bounded sequence A such that A = B(039B) ? Insome particular cases, when A C Z, we give an estimate of the minimallength of a bounded subinterva,l I of R in which A can be taken. We provethat to obtain such an estimate, we have to study the following problemon polynomials : for a given polynomial P with no positive root, find theminimal degree 03B4Q of those polynomials Q such that the product P.Q hasonly positive coefficients.1. Le problème considéré1.1. Une suite A est équirépartie modulo 1 lorsque les propriétés sivantes équivalentes sont satisfaites (Àl désigne la probabilité uniforme sl’intervalle ~0,1~) :où68qui sont trois façons de traduire la convergence étroite vers Il de la suitede mesures1.2. Mendès France a introduit en 1968 la notion d’ensemble normalassocié à la suite A, donné par :B(A) := lx E R / xA équirépartie modulo 1}Exemples1.3. A C R est appelé ensemble normal s’il existe une suite A telle queA = B(A). Ces ensembles ont été caractérisés par Rauzy (1970, [12]) :THÉORÈME (RAUZY). A C R est ensemble normal si et seulement si :(iii) A est élémentaire.1.4. De façon similaire, A C R est appelé ensemble b-normal s’il existeune suite A bornée telle que A = B(A). On pose alors :M(A) := inf{M &#x3E; 0 / 3A, A = B(A) et A à valeurs dans [0,M]}Deux problèmes :qualitatif A b-normal ??quantitatif évaluer (encadrer ?) M(A)que l’on peut aflîner :est-ce que M(A) est atteinte ?est-ce que toute suite A à valeurs dans [0, M(A)], telle que A = B(A), aune mesure de répartition (qui est alors déterminée par A...) ?2. Les résultats obtenus2.1. Quelques résultats sont déjà connus :69Dress, Mendès France (1970, [8])Liardet, Rauzy (non publié, 19??)où l’on note :qui conduit à la conjecture :(version faible) A b-normal A vérifie (i) et (ii) et d(A)  o0(version forte) A vérifie (i) et (ii) ~ M(A)  Cd(A) avec uneconstante absolue C.2.2. Il ressort des travaux effectués sur les ensembles normaux que l’ona :c’est le principe du "mixage de Dress", qui conduit à :Mendès France (1970, [10]) A1,A2 b-normaux ~ Al U A2 b-normal ; ilmontre que si la série des inverses converge :est b-normal2.3. Parmi la famille des parties de R satisfaisant (i) et (ii), la sous-familledes ensembles b-normaux est aussi stable par inclusion. Le théorème et sescorollaires sont montrés dans [3] :70THÉORÈME 1. Si A’ C A vérifient (i) et (ii), on a : M(A~)  2M(A).La constante 2 peut être enlevée dans certains "bons" cas, que l’onprécisera. Question ouverte : M est-elle une fonction croissante ?COROLLAIRE 1.COROLLAIRE 2.(1) tous les An sont b-normaux ;(2) A est b-normal si et seulement si M(An) est borné ;(3) alors :M(A)  2 lim inf M(An).n n--ooRésoudre le problème qualitatif pour A revient à résoudre le problèmequantitatif pour les An.COROLLAIRE 3. A vérifiant (i) et (ii) est b-normal si et seulement si ilexiste une probabilité y à support borné telle s’annule en tout pointde A.2.4. Le second type de résultats concerne la comparaison de M(A) avecles quantités d, d, d, s (respectivement lim sup, lim inf, lim, sup de 4(x»associées à A. D est à noter que d(A) existe dès que la série des inverses yt 1converge, mais que ce n’est pas le cas en général, même lorsque A C Z*(Besicovitch, 1935, [1]). Il existe donc des ensembles b-normaux n’ayantpas de densité asymptotique d(A).THÉORÈME 2. Soit A vérifiant (i) et (ii). Alors :et la constante dans (v) ne peut être inférieure à 1,1594...=80/69.COROLLAIRE. La conjecture forte est fausse.Cela provient de ce que l’on sait construire des ensembles de multiples2Ttels que l’on ait à la fois :171(en fait, d(AT) = (log T)-c5+o(l) avec b = 0, 0860 ... , Tenenbaum, 1987,[13]).2.5. L’hypothèse M(Al U A2) = M(Al) + M(A2) lorsque Ai et A2 sontdisjoints et vérifient (i) et (ii) permettrait alors de construire un contreexemple à la conjecture faible. Cependant, cette hypothèse est fausse.2.6. Soient yl  12 ...  7x des entiers, et posons :P est donc un polynôme de degré d ° P = md(A) - 1.On notera :P &#x3E; 0 lorsque tous les coefficients de P sont positifs ou nuls ;P &#x3E; 0 lorsque tous les coefficients de X d dans P, 0  d  d’P,sont strictement positifs ;et on pose :THÉORÈME. (Meissner, 1911,  si et seulement si Pn’a pas de racine réelle positive ou nulle, et le polynôme Q peut être choisià coefficients positifs ou nuls.THÉORÈME 3. (voir [2J) Soit P associé à l’ensemble A (notations précéden-tes). On a alors :(1) si P &#x3E; 0, M(A) = d(A)(2) dans le cas général,(b+P peut être en fait remplacé par une quantité inférieure b*P, plus dif-ficile à évaluer d’un point de vue numérique).Cela donne le bon ordre de grandeur de M(A), puisque l’on a toujours :La constante 2 qui apparaît ici est de même nature que celle du théorème 1.72COROLLAIRE. (voir (4~). Si les yt sont deux à deux premiers entre eux, ona :B 2.7. D’un point de vue numérique, si les yi sont supposés premiers entreeux dans leur ensemble, on a :si k = 1 ou 2, P &#x3E; 0 ;si k = 3, P &#x3E; 0 et des coefficients nuls apparaissent ;pour k &#x3E; 4, des coefficients négatifs apparaissent (suivant les -yi).Par exemple, pour = 4, 2, y2 - 3, y3 - 5, y4 - 7, le calcul montreque l’on a :2.8. Il est possible de donner des estimations quantitatives de bP et b+P,générales ou spécifiques aux polynômes de la forme (vi) qui interviennentau théorème 3.THÉORÈME 4. (voir (4~~. Soit P E R[X], et 61 e]0,7r] l’argument positifminimal des racines de P. On a alors :Pour les polynômes (vi), il ya plusieurs façons d’estimer ôP et 6+P. Je nedonnerai ici que des estimations ne faisant intervenir que le degré d°P.THÉORÈME 5. (voir ~4J). Pour des polynômes P de la forme (vi) :et il existe des polynômes de degré aussi grand que I’on veut, tels que :3. Le lien avec les mesures733.1. On notera II(A) l’ensemble (non vide car A est bornée) des proba-bilités adhérentes au sens de la convergence étroite à la suite des mesures :Si H(A) = on dit que A est ti-répartie.3.2. Toutes ces probabilités sont à support borné. Leur transformée deFourier ji est donc une fonction entière. On notera :3.3. A l’aide du théorème de Paul Lévy, il est facile de montrer que :LEMME 1. Soit A une suite bornée. Alors B(A)Application 1. Soit A un ensemble b-normal. A C 0[p] avec p, entière,donc A est discret dans R. D’où son écritureApplication 2. y E II(A) est à support dans [0, M], ce qui entraîne :En, utilisant le lemme de Jensen, on obtient alors :d’où s(A)  2eM(A). En centrant le support de y en 0, on peut supprimerle facteur 2. Pour remplacer e par 1, 8, il reste à tenir compte du fait que Avérifie la propriété (ii). La majoration annoncée de d(A) s’obtient à partirdu lemme de Jensen, par une sommation à la Abel.Application 3. Pour M probabilité donnée, à support borné, il existe unesuite A bornée et y-répartie : prendre par exemple ~n := F-1({n f ~), oùAlors B(A) = B[p]. Le lemme 1 permet d’obtenir le corollaire 3 duthéorème 1.3.4.74LEMME 2. Soit y uneprobabilité telle que a E Alors M est absolumentcontinue, et sa densité f vérifie 0  f  a Lebesgue-presque sûrement.Si B(A) est non vide, les probabilités adhérentes à A sont donc absolu-ment continues, de densités majorées par a = fl R+)4. Stabilité par inclusion4.1. L’ensemble b-normal A est donc dénombrable (si A ~ ~ô ... ), doncil en est de même pour A - A’. L’idée générale de la démonstration duthéorème 2 est donc de montrer que l’on peut légèrement perturber unemesure y adhérente à A, de façon que le nouveau B[p] soit égal à l’ancien,privé de ~~t~. On recolle les B[pt] par un mixage de Dress, t décrivantl’ensemble B~~~ - A’ qui est fini ou dénombrable.4.2. Soit v une probabilité à support borné, et ti :=,Xi * v (a~ désignant laprobabilité uniforme sur l’intervalle ~0, x~). Alors 1 E La réciproquede ce résultat est "presque vraie", dans le sens suivant.Posons, pour N E N* :PROPOSITION 1. Soit y une probabilité à support borné, telle que 1 E Alors, pour tout N &#x3E; 1, wN est facteur de convolution de y.Si y est à support dans l’intervalle [0, M~, on peut donc écrirey = wN*vN,où vN est absolument continue, de densité bornée presque sûrement, con-centrée dans l’intervalle 0 M - 1 1 . Deux remarques importantes :~ vN n’a pas de raison d’être positive : cela interdit donc un passage àla limite sur N ;. la densité de vN est positive sur les intervalles4.3. Lorsque y = Ai et t = 1, la perturbation de ~ indiquée au 4.1 estfacile à réaliser.PROPOSITION 2. Soit C une partie discrète de R - Z, A := Z* - {:f:1}, et75E &#x3E; 0. Il existe une probabilité M = g continue sur [0,1], telle que :Il suffit de.prendre g(x) = 1 + 2a avec :4.4. Une probabilité y absolument continue sera dite vraiment positives’il existe Ml  M2 tels que la densité f de ~ vérifie (Lebesgue-presquesûrement) :PROPOSITION 3. Soit y une probabilité vraiment positive, concentrée surtelle que 1 E B[p]. Soit q &#x3E; 0 quelconque. Alors il existe uneprobabilité v vraiment positive telle que :(1/Z* désigne l’ensemble des inverses des entiers non nuls). La techniquede construction de v est la suivante :· · · - * · x ·d apres la proposition 1, IL wN *Pl (N fixé, N &#x3E; où K est l’ordre77du zéro 1 de la fonction entière ji) .;· M2 :=,Xl * ~1 * ~ est vraiment positive ;. M3 := ~1 où g est définie dans la Proposition 2, associée au cassocié à N 1 dans la définition de y vraiment positive.La proposition provient de l’étude des zéros de ~3. Le principal problèmeest de montrer que ~3 est vraiment positive. Si K = 1, on peut prendrev = M3 ; sinon, on itère h’ fois ce mécanisme.4.5. Soit A un ensemble b-normal, E &#x3E; 0 quelconque. Il existe alorsvraiment positive, à support dans ~0, 2M(A) + c], telle que A c B[p]. Si76t E A’, il existe (proposition 3) Mt vraiment positive, concentréedans [0, 2M(A) + 2c], telle que :Le principe du mixage de Dress, appliqué aux suites A’ (t décrivant l’ensem-ble fini ou dénombrable étant une suite arbitraire lit-répartie),donne une suite A à valeurs dans [0, 2M(A) + 2e], telle queCela montre le théorème 1.Les résultats annoncés dans ce paragraphe sont établis dans [3].5. LecasACa5.1. En reprenant les notations introduites en 2.6, soit y la probabilité :Alors 0[p] = A, et y est concentrée sur l’intervalle [0,d(A)]. Si y est po-sitive (i.e.P &#x3E; 0), on en déduit que M(A)  d(A). Sinon, il suffit deconvoler /~ avec une autre probabilité, pourvu qu’il n’apparaisse pas dezéro supplémentaire "mal placé". Cela est possible dès que PQ &#x3E; 0, caralors on peut placer les zéros de Q en dehors du cercle unité. D’où lamajoration du théorème 3.5.2. La minoration provient du résultat suivant. Soit y une probabilitéconcentrée sur l’intervalle [0,M]. On considère alors les probabilités :et le polynôme :THÉORÈME 6. (voir [2]) Soit deux entiers, A une suite à valeurs dans(0,MJ et y E II(A). On a alors :77Ce résultat provient essentiellement du fait que si X est une variablealéatoire réelle de loi J-L, est la loi de la variable Y := 1 rraX. m TnEn apppliquant ce théorème avec b = yt(1  i  k) et m = onobtient donc :Cela donne (presque) la minoration du théorème 3.6. Evaluations des quantités b et 6+6.1. Il est clair que si P a une racine dans R+ (resp R+), alors 6P = +oo(resp. b+P = +oo). Les réciproques de ces résultats sont vraies. Ladémonstration, ainsi que les majorations de 6P et 6+ P connues, reposentsur la factorisation :où tous les coefficients sont positifs, et avec 4bz &#x3E; ai . On a alors :Il est alors possible de préciser exactement la plus petite valeur de n telleque (1 + X)"(XZ - aX + b) &#x3E; 0 ; la meilleure majoration de 6+ que jeconnaisse provient d’une autre méthode :LEM M E 3. et si on pose :alors Pn &#x3E; 0, et Pn est multiple de X2 - 2p cos (JX -f- p2.On en déduit que si 0  81  92  ~ ~ ~  9,.  ~ est la suite des argumentsdes racines de P dans le demi-plan R(z) &#x3E; 0, on a :786.2. Dans le cas étudié en 2.6, si on note Pk := P et le polynômeassocié à y1, y2 , ... , on a une relation (cf. [2]) :où 0. (X) : := (xn - 1) / (X - 1), P’ est analogue au polynôme P, et aet q sont définis par :C’est cette relation qui est à la base du corollaire du théorème 3, des esti-mations numériques citées en 2.7, et du théorème 5.Additif (décembre 88)Le théorème de Meissner cité en 2.6 permet de donner une forme plusgénérale au corollaire 3 du théorème 1. Une mesure IL finie à support bornésera dite "positive aux bords" s’il existe des réels M, M’ et rl &#x3E; 0 tels que :y est concentrée sur l’intervalle [M, M’] ;y est positive, non nulle, sur chacun des intervalles [M, M + q] et[M’ - 9, Mi].COROLLAIRE 3’. A vérifiant (i) et (ii) est b-normal si et seulement si ilexiste une mesure y finie, à support borné, positive aux bords, telle que :ji s ’annule en tout point de Aji n ’a pas de zéro imaginaire pur.Il suffit en effet de trouver une mesure finie à support borné v telle queJ.L * v soit positive. On peut donc se ramener au cas où y est absolumentcontinue, de densité f continue. Dans ce cas, la positivité aux bords estalors équivalente (cf. [5]) à l’existence d’un polynôme P et deT &#x3E; 0 tels que :Il existe donc un polynôme à coefficients positifs Q = E tels quePQ &#x3E; 0, et donc la mesure suivante est positive :(l’existence de v peut aussi s’obtenir à partir d’un résultat de Diamond etEssen, (6~).79RÉFÉRENCES[1] A.S. Besicovitch, On the density of certain sequences of integers, Math. Annalen110 (1934), 336-341.[2] J.-P. Borel, Suites de longueur minimale associées à un ensemble normal donné,Israel J. of Math. 64 (1988), 229-250.[3] J.-P. Borel, Parties d’ensembles b-normaux, Manuscripta Math. 62 (1988), 317-335.[4] J.-P. Borel, Polynômes à coefficients positifs multiples d’un polynôme donné, ex-posé au colloque 50 ans sur les polynômes, (mai 1988, I.H.P.). à paraître.[5] J.-P. Borel, Produits de convolution positifs, Publ. du dép. de Math. Université deLimoges 11 (1989). à paraître[6] H.G. Diamond et M. Essen, Functions with non-négative convolutions, J. of Math.Analysis and Applications 63 (1978), 463-489.[7] F. Dress, Intersection d’ensembles normaux, J. of Number Theory 2 (1970),352-362.[8] F. Dress et M. Mendès France, Caractérisation des ensembles normaux dans Z,Acta Arith. 17 (1970), 115-120.[9] P. Erdôs, Note on a sequence of integers none of which is divisible by anyother,J. London Math. Soc. 10 (1935), 126-128.[10] M. Mendès France, La réunion des ensembles normaux, J. of Number Theory 2(1970), 345-351.[11] E. Meissner, Über positive Darstellung von Polynomen, Math. Annalen 70 (1911),223-235.[12] G. Rauzy, Caractérisation des ensembles normaux, Bull. Soc. Math. France 98(1970), 401-414.[13] G. Tenenbaum, Un problème de probabilité conditionnnelle en arithmétique, ActaArith. 49 (1987), 165-187.Mo ts clefs : Ensembles normaux, Répartition modulo 11980 Mathematics subject classifications: 11K06.Université de Limoges123, avenue Albert Thomas87060 Limoges cedex, France.

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