Eric Reyssat

Annales de la Faculté des Sciences de Toulouse

ANNALES DE LA FACULTÉ DES SCIENCES DE TOULOUSEERIC REYSSATApproximation de nombres liés à la fonction sigma de WeierstrassAnnales de la faculté des sciences de Toulouse 5e série, tome 2, no 1 (1980), p. 79-91<http://www.numdam.org/item?id=AFST_1980_5_2_1_79_0>© Université Paul Sabatier, 1980, tous droits réservés.L’accès aux archives de la revue « Annales de la faculté des sciences de Toulouse »(http://picard.ups-tlse.fr/~annales/) implique l’accord avec les conditions générales d’utilisa-tion (http://www.numdam.org/conditions). Toute utilisation commerciale ou impression sys-tématique est constitutive d’une infraction pénale. Toute copie ou impression de ce fi-chier doit contenir la présente mention de copyright.Article numérisé dans le cadre du programmeNumérisation de documents anciens mathématiqueshttp://www.numdam.org/APPROXIMATION DE NOMBRES LIES A LAFONCTION SIGMA DE WEIERSTRASSEric Reyssat (1)Annales Faculté des Sciences ToulouseVol Il, 1980, P. 79 à 91(1 ) Mathématiques, Université Pierre et Marie Curie, Paris Vl, Tour 45-46, 4 Place Jussieu -75230 Paris Cédex 05.Résumé : On prouve ici des mesures de transcendance de nombres liés à une fonction sigma deWeierstrass d’invariants algébriques ; on montre en particulier que les nombres considérés ont untype de transcendance fini.Summary : We give here transcendence measures for some numbers connected with a Weierstrasssigma-function having algebraic invariants ; in particular, we show that these numbers have a finitetranscendence type.I - INTRODUCTIONOn considère un réseau A de ~, et les fonctions o, ~ , ,~ de Weierstrass associés à ceréseau. On suppose que les invariants g2, g3 de A sont algébriques. Nous avons entrepris dans unpapier précédent [R] une étude systématique des mesures de transcendance de nombres liés auxfonctions § et :~. Nous prolongeons ici ce travail en étudiant des nombres liés à la fonction a ,dont M. Waldschmidt a montré la transcendance ([A et W] ). La démonstration utilise une fonctiondéfinie plus bas, vérifiant un théorème d’addition algébrique ; nous donnons dans ce papierune forme explicite de ce théorème d’addition.80Précisons quelques notations avant d’énoncer les résultats. On note j3 un nombre algé-brique, et u un point algébrique de ,~ sans torsion, c’est-à-dire un nombre complexe tel que pourtout entier n non nul, ~~ (n u) soit défini et algébrique. On définit alors la fonction par laformuleLorsque! n’y aura pas de risque de confusion, on notera simplement f la fonctionSoient 8 un nombre complexe, et g : fN x [1, ~ [ -~ IR+ une fonction. On dit que gest une mesure de transcendance de 03B8 si pour tout nombre algébrique û! de degré  d et de hau-teur  H, avec H > ee, on aI 8 - a I > g(d,H).La remarque suivante facile à vérifier sera utile pour démontrer les corollaires énon-cés plus bas.Remarque. Soient 81 et 82 deux nombres complexes liés par une relation du type P( 91,6 2) = 0où degx P ~ 0. On suppose que g est une mesure de transcendance de 81, véri-fiant les propriétés suivantes (ce qui sera toujours le cas en pratique) : ,a) g est fonction décroissante en chaque variable., , c) Pour tout entier a ~ 1, il existe un entier a’ ~ 1 tel queIl existe alors une constante C ne dépendant que de 03B81 et f) 2 telle que la fonction g soit unemesure de transcendance On peut alors énoncer. _~THEOREME, Soit v un point algébrigue de tel que v et v-u ne soientpas pôles de . Il existeune constante effectivement calculable C1 ne dépendant que de ., 03B2, u, v telle que f(v) admettepoùr mesure de transcendance ° ’si v est un point de torsion, etsi v est sans torsion.La fonction f admet des quasi-périodes multiplicatives :où ~ est la quasi-période de § associée à ce. En remarquant que si w est une période primitive de.~, alorsoù rc est un nombre algébrique non nul ne dépendant que de u et ce, on déduit du théorème lecorollaire suivantCOROLLAI RE 1. Soit ce une période non nulle de . . Il existe une constante effectivement cal-culable C2 ne dépendant que de a, u, v telle que la fonction soit une mesure detranscendance de la quasi-période ex p ~ ce ~’ ( u ) - r~ u + ~3 de f.Remarque. On peut améliorer les mesures et moyennant des hypothèses surl’approximation de certaines quasi-périodes de f par les racines de l’unités, vérifiées en particuliersi l’on sait que les logarithmes de ces quasi-périodes (Le les nombres ce§ (u) - r~ u + ~i ce) formentun réseau dans ~.Lorsque ~3 = 0, le théorème permet enfin de montrer les deux corollaires suivantsCOROLLAI RE 2. Si u est un point algébrique de . sans torsion, il existe une constante effecti-vement calculable C3 ne dépendant que de .~ et u, telle que g’(C3,d,H) soit une mesure de trans-cendance de Q (u)é u ~ (u)/2,Cela résulte en effet du théorème si l’on remarque que f o,-u (2u) .o (u) 4 , (u)est un nombre algébrique ne dépendant que de u et ,~.COROLLAIRE 3. On suppose que A admet une multiplication complexe par i (resp. p = /3) ,et que u est un point algébrique de ,~ sans torsion. Il existe une constante effectivement calcula-ble C4 ne dépendant que de u, telle que g’(C4,d,H) soit une mesure de transcendance deEn effet, les formules de multiplication complexe de o montrent que ~~(resp. ~~) est un nombre algébrique ne dépendant que de u et ;/.La démonstration du théorème fera l’objet du paragraphe !!!. On étudie auparavantla fonction f~t~,. introduite plus haut.I l - QUELQUES PROPRIETES DE LA FONCTION fLes fonctions o et of sont entières d’ordre 2. Ainsi la fonction test une fonction mé-romorphe d’ordre 2. Elle vérifie l’équation différentiellequi permet de vérifier le lemme suivant :LEMME 4. Soient k, L deux entiers > 0. On noteoù P est un polynôme à coefficients entiers rationnels, de degré  2k et de hauteur (L k) co k ,où C est une constante absolue.Démonstration. Grâce à l’équation différentielle de f, il suffit d’écrire, pour j  ket de majorer par récurrence le degré dj et la longueur Qj de Tj en utilisant les relationsLe lemme suivant explicite le théorème d’addition algébrique de la fonction f.LEMME 5. Si on note zo = - u, alorsoù l’on prend les indices modulo 3, et où l’égalité est une égalité entre fonctions méromorphes. EnparticulierDémonstration. La deuxième formule se déduit de la première par passage à la limite. Pour démon-trer la première, on remarque que le membre de gauche est une fonction elliptique de u, de pôlessimples z~ et z2, le résidu en z~ étantAinsi, la fonctionest elliptique en u et sans pôle, donc indépendante de u. Sa valeur en u = 0 montre queet le théorème d’addition de la fonction ~’ donne le résultat.COROLLAIRE 6. Pour tout entier m > 0, il existe des polynômes Am, Cm, Dm, vérifiant2Q) Ces polynômes sont de degré ~ c 1 m2 et leurs coefficients sont des éléments deZ [g2 / 4, g3 ] de taille  c 1 m 2, où c 1 ne dépend que de ,~ ,30) Soit v un point algébrique de .~ tel que mv, v+u et v-u ne soient pas pôles de ,~ . AlorsDémonstration. Les assertions concernant Am et Bm résultent du lemme 4.8 de [R] . Pour Cm etD , on commence par construire des polynômes C(1 ) et D(1 ) vérifiant seulement les conditions1 ° ) et 2° )~ ce qui se fait par récurrence : l’existence de C(1 ) m et D(1 ) m est assurée pour m = 1 etm = 2 grâce au lemme 5. De plus, ce lemme permet d’exprimer f(2mz) et f((2m+1 )z) en fonctionde f(mz) et f((m+1 )z), ce qui assure l’existence de C(1 ) et D(1 ) vérifiant 1 °). En outre, si on notet un majorant de la taille (maximum du degré et des tailles des coefficients) de C(1 ) et D(1 ),alors ces expressions de f(2mz). et f((2m+1 )z) ainsi que les formules de multiplication de  per-mettent d’établir les formules de récurrence suivantesd’où l’on déduit la condition 2~) pour et D~.Par ailleurs, si ~ (X,Y) est le polynôme défini au lemme 4.8 de [R], vérifianton voit facilement que la fonction ’est une fonction elliptique en z, ayant 0 pour unique pôle. C’est donc un polynôme en ...~ (z) et’(z) (et dont les coefficients dépendent de u). Comme fonction de u, elle admet également 0pour seul pôle ; c’est donc un polynôme C en ,!~ (z), ~’(z~, ,~ (u~,..~’(u), à coefficientsconstants. En posanton en déduit les assertions 1 °) et 3°). La condition 2°) est vérifiée pour Dm d’après les estimationsclassiques (cf. lemme 4.8 de [R] ] ). Elle est encore vérifiée pour Cm grâce à la relationC D(1 ) = C(1 ) D , et au lemme de Gel’fond (cf. [G] chap. III, lemme Il I p.135).Enfin, la fonction f est algébriquement indépendante de .JI, le point u étant sanstorsion (cf. [W] ). On en déduit le résultat suivant, dont l’idée de la démonstration est due àD. Brownawell et D. Masser.LEMME 7. Soit P [X,Y] un polynôme non nul de degré  L en X, et de degré  L2 en Y,avec L1, , L2 > 1. Soient al,...,an des nombres complexes non nuls, bl,...,bn des nombres comple-xes non pôles de , tels que bi ~ ± b. j (mod A si i ~ j. On suppose que pour i = l ,...,n, la fonc-tion = f(z), ~ (z)) a un zéro d’ordre ki au point bi. Alorset en particulier, si ki > 20 L~ pour tout i, alorsDémonstration. La preuve est analogue à celle du lemme 4.4 de [R] . Lorsque degy P = 0, on voitfacilement queOn suppose maintenant que P est irréductible et que degx P. degy P ~ 0. On peut évidemmentsupposer que ki > 1 pour tout i. Par dérivation, l’hypothèse montre queEn tenant compte des équations différentielles vérifiées par f et ,~, on en déduit que si on définitle polynômeAinsi, si R désigne le résultant de P et Q par rapport à X, alorsSi R est non nul, on en déduitMontrons que R est effectivement non nul. Dans le cas contraire, P divise Q. Ainsi, si l’on définitlocalement une fonction g vérifiant P(g(z), .(z)) = 0, alors - P(g(z), (z)) ~ 0 etQ(g(z), ,~(z)) = 0, d’où l’on déduit dzOr, Px (g(z), ,~(z)~ ne peut être identiquement nul car P est irréductible, doncet par suite g(z) = c u(z) où c E C, ce qui est absurde puisque les fonctions ,~ et sont algébriquement indépendantes. Cela prouve la majoration (4). Enfin un polynôme quelconqueP E C [X,Y] peut se décomposer sous la formeoù degx Q = 0, degy R = 0, degx Sk . degy Sk ’* 0, et Sk irréductible. En appliquant respective-ment aux polynômes Q,R,Sk les majorations (2), (3) et (4), on en déduit finalementIII - DEMONSTRATION DU THEOREMEwOn suppose d’abord que v est un point de torsion, soit v = -, où w est une périodenprimitive de .~ et n un entier > 2. D’après le corollaire 6, f(v) f( w / 2) 2jn est un nombre algé-brique ne dépendant que de v. La remarque précédant l’énoncé du théorème permet ainsi desupposer que v = w / 2.La fonction g(C~,d,H) étant fonction décroissante de d, on peut supposer que d est ledegré exact de a. Soit v un entier suffisamment grand, ne dépendant que de .~ ~ u, v, ~i. Les cons-tantes c3 et c4 ne dépendent que de J, u, v, ~i, mais non de v .On définit les paramètreson suppose alors par l’absurde que l’on aOn construit alors une fonction auxiliaire F, polynomiale en f et de la façon suivante : pourm ~ 0, 0  ~  L~ 0 ~ À~  L~ À= (À~ À~), k ~ 0, on noteAlors la relation (1 ) montre queoù est un polynôme à coefficients dans Z [g2 / 2] , , de taille majorée parc3 k log(k + A1 + À2 + 1 ) et de degré inférieur à c3(k + Àl ).On définit les nombres algébriquesLEMME 8. Le systèmea une solution non triviale (x~ ) E vérifiantlog max I I  c4 K log KDémonstration. Il 1 suffit d’utiliser le lemme de Siegel, sous la forme donnée au lemme 4.2 de [R] ,en remarquant que L~ L2 > v MK, pour obtenir le résultat.On choisit alors une telle solution, et on posede sorte pour m  M et k  K ; de plus, est un nombre algébrique, que l’onsait minorer lorsqu’il n’est pas nul, grâce au lemme 4.1 de [R] .De même que dans [R] ( § IV B/ et C/ ), en appliquant les formules d’interpolationà la fonction entière F(z) a (z) 2L1 +L2 (lemme 4.5 de [R] ) une récurrence permet de déduire del’hypothèse (5) et de la construction faite au lemme 8 que ~ ~ est nul pour k  ~ Li L~, d’oùl’on déduit facilement Li L2 où ’8 (z) _~ p(A);~(z) ~1 (a f(z) / f(v)) ~2Àce qui contredit le lemme 7 (où l’on choisit i == 1, al = a / f(v), bl = v).La première assertion du théorème est ainsi démontrée.Supposons maintenant que v est sans torsion, et montrons la deuxième assertion. Onse ramène aisément au cas où v + u et v - u ne sont pas pôles de ,~ . En effet, si v + u est pôlede ,~ , alors v/2 est sans torsion, et u + v/2 et -u + v/2 ne sont pas pôles de ,f puisque u est sanstorsion. Le théorème étant vérifié pour v/2 le sera encore pour v d’après le lemme 5 et la remarqueprécédant l’énoncé du théorème.De même que précédemment, on peut supposer que a est de degré d. v désigne unentier suffisamment grand ne dépendant que de u, v, a. On définit les paramètresOn suppose par l’absurde que l’on aOn construit une fonction auxiliaire F, polynômiale en f et ,~ , , de la manière suivante : pourm > 0, 0  A~  Ll’ 0  À2  L2, X= (~~ , À2)’ on poseIl résulte alors du corollaire 6 queoù est un polynôme à coefficients dans Z [g~/4, g 3 J , de taille majorée par + L~) moù c5 dépend de ,~, u, v, ~i mais non de v .D’après le lemme 4, on en déduit que si on définitoù est un polynôme à coefficients dans Z [g~/4, go] , , de taille majorée par+ + k log k) et de degré majoré par + + k), où c~ est indépendantede a et 03BD.On définit les nombres algébriquesComme précédemment, le lemme 8 reste valable avec les nouveaux paramètresM, L1, L~, K, ce qui permet d’achever la construction de F par les formules (6) et (8). En appli-quant ici encore les formules d’interpolation (lemme 4.5 de [R] avec = d1/2) à la fonctionentière F(z) Q (z) 2L 1 +L 2, une récurrence permet de déduire de l’hypothèse (9) et de la construc-tion de F que (défini par (7)) est nul pour 1  On considère la fonction B m(z) définie parOn vérifie facilement que le système d’inégalitéset par suite la fonctionadmet au point z = mv un zéro d’ordre > Kl’ car 03B8 m(z) = Fm(z) Hm(mz) où Fm est une fonc-tion qui ne s’annule pas en z = v. Cela étant vrai pour 0  m  M, l’inégalitéL~ L~contredit le lemme 7, ce qui prouve le théorème.91REFERENCES[A] «Nombres transcendants et groupes algébriques». Astérisque (Société Mathématiquede France), à paraître en 1979.[G] A.O. GELFOND. «Transcendental and algebraic numbers». Dover, New-York, 1960.[R] E. REYSSAT. «Approximation algébrique de nombres liés aux fonctions elliptiqueset exponentielles». à paraître en 1980 au Bull. S.M.F.[W] M. WALDSCHM I DT. «Nombres transcendants et fonctions sigma de Weierstrass».C.R. Math. Rep. Acad. Sc. Canada. 1 (1979), p. 111-114.(Manuscrit reçu le 28 janvier 1980)

Approximation de nombres liés à la fonction sigma de Weierstrass

https://afst.centre-mersenne.org/item/AFST_1980_5_2_1_79_0.pdf

Approximation de nombres liés à la fonction sigma de Weierstrass

Abstract

Similar works

Full text

Available Versions

Annales de la Faculté des Sciences de Toulouse