Felipe Acker

Marc-Antoine Prestel

Annales de la Faculté des Sciences de Toulouse

ANNALES DE LA FACULTÉ DES SCIENCES DE TOULOUSEFELIPE ACKERMARC-ANTOINE PRESTELConvergence d’un schéma de minimisation alternéeAnnales de la faculté des sciences de Toulouse 5e série, tome 2, no 1 (1980), p. 1-9<http://www.numdam.org/item?id=AFST_1980_5_2_1_1_0>© Université Paul Sabatier, 1980, tous droits réservés.L’accès aux archives de la revue « Annales de la faculté des sciences de Toulouse »(http://picard.ups-tlse.fr/~annales/) implique l’accord avec les conditions générales d’utilisa-tion (http://www.numdam.org/conditions). Toute utilisation commerciale ou impression sys-tématique est constitutive d’une infraction pénale. Toute copie ou impression de ce fi-chier doit contenir la présente mention de copyright.Article numérisé dans le cadre du programmeNumérisation de documents anciens mathématiqueshttp://www.numdam.org/CONVERGENCE D’UN SCHEMA DE MINIMISATION ALTERNEEFelipe Acker (1)(*) et Marc-Antoine Prestel (2)Annales Faculté des Sciences ToulouseVol I I,1980, P, l à 9(7) 19, rue de Richemont - 75013 Paris.(2) 127, rue St Denis - 75007 Paris.où ~p~, cp2 : H -~ ] + oo] sont convexes, s.c.i. et propres et où y E H a été fixé. On pose03C6(x,y) = 1 2 1 x-y 1 2 + (x) + On montre que lim 03C6(xn,yn) = inf 03C6 et que si 03C6 estbornée inférieurement, alors la suite 1 converge vers u E H indépendant de yo. Onmontre aussi que si ~ atteint son minimum, alors (xn,yn) converge faiblement dans H x H vers( x , 7 ) vérifiant ~( x , 7 ) = Min ~(x,y) et que, dans le cas contraire on a :(x,y)EHxHlim lim oo.noo n nwhere 03C61, 03C62 : H - ] - ~ , + OO ] are convex, lower-semicontinuous and proper functions andwhere yo OE H is fixed. Setting Ç(x,y) = 1 2 l x - y 1 2 + 03C61 (x) + 03C62(y), we show that2lim = inf 03C6 and we also show that if 03C6 is bounded from below, then the sequence’i converges in H to u (u independant from yo). Moreover we can prove that if 03C6 rea-ches its minimum, then (xn,yn)n 1 converges in H x H to ( X, $T ) such thatÇ( X , Ç ) = Min Ç(x,y). lf on the contrary 03C6 does not reach its minimum, then we get :H ~ Hlim Î x~ 1 = lim l y~ 1 = + ce .n - + ce n n - +ce(* ) Boursier du C.N.P. Brésil.2Notations : H est un espace de Hilbert réel, de produit scalaire  ’ > et de norme 1 . 1 . désignel’identité de H. On note D( 03C6) le domaine (resp. ~03C6) le sous-différentiel de 03C6 (resp. 03C6)défini sur C H (resp. D(8~) C H x H) (pour les notations et propriétés élémentairesdes sous-différentiels, voir [1 ] ).I - PRESENTATION DU PROBLEMESoient H un espace de Hilbert VJ 2 H - ] -oo ~ + ~°] deux fonctions conve-xes, semi-continues inférieurement et propres. Soient Tl et T2 les contractions de H dans H définisparOn fixe y E H et on définit les suites (xn)n ~1 et >1 de H par :on se propose d’étudier la convergence de la suite Ce problème est directement lié à la minimisation de la fonction Ç définie par~:H x En effet, xl = Tl est un point de minimum de l’application x Ho ~(x,yo). Si y~ E D( ~p 2),xi est même l’unique point de minimum de ~)(x,y ). Pour n > 1, xn appartient àD(a C et yn E 2) ~ ~). Par un raisonnement analogue, on obtient que,pour tout n > 1,yn est le point de minimum de y H est le point de minimum de ~(x,y ).on en déduit que, pour tout n > 1,II - PROPRIETE DES SUITES MINIMISANTES DE 03C6PROPOSITION. Soit 03C6 : H x H ~ ] - ~, + , convexe et propre. On suppose que l’applica-oo]est bornée inférieurement. Il existe alors u E H tel que pour toute suite de H x H avecDémonstration. Soit une suite minimisante. Pour montrer que (xn-yn) est une suite deCauchy, on observe que pour tous m,n > 1,à cause de la convexité de ~p. On a doncPuisque et tendent vers inf ~, qui est fini, Ç étant propre et minorée, il résultede la majoration précédente que :Soit alors u = lim (xn-yn). Si est une suite minimisante de Ç, on sait que (x~ nooconverge vers u’ E H. Or, la suite obtenue en alternant les (x2n,Y2n) et les estaussi une suite minimisante, donc convergente et on en conclut que u’ = u.Remarques. 1 ) Si = cp1 (x) + cp2 définies paroù H et K C H est un convexe fermé, on retrouve le théorème de projection sur un convexefermé.2) Dans la démonstration de la proposition, on obtenait en fait l’inégalité suivante :En faisant tendre n vers l’infini, on obtientH! - CONVERGENCE DE LA SUITE 1 On reprend ~(x,y) = 2 (x-y) + ~p~ (x) + ~p2(y). On vérifie facilement queD(3~) = D(ô ~p~ ) x D(8 ~p2) et que pour toutPuisque, par définition des suites (xn) et (yn), on a pour tout n > 1on obtient en particulierLEMME. Pour tout (x,y) E H x H et pour tout n > 1, on aDémonstration. On a :Puisqueil vient aussile lemme découle directement de (1 ), (2) et (3).On se servira maintenant du fait que si ~p est convexe, s.c.i et propre et T = alors :THEOREME 1.(i) la suite vérifie : lim = inf ~(x,y)x,yEH(ii) si ~ est bornée inférieurement, il existe u E H indépendant de yo tel quelim (xn -y n) = u.. .Démonstration.(i) Puisque est décroissante, on peut poser d = lim (si d = -~,il n’y a plus rien à démontrer).Le lemme nous assure que pour tout ( X,00FF ) E H x H et pour tout n > 1, on a :Puisque d = inf = inf ), on an nEn faisant varier n de 1 à m et en additionnant les inégalités correspondantes, on obtient :Soit x E H. On porte (x,T2x) à la place de ( x,00FF ) dans la dernière inégalité, et on ob-tient, compte-tenu de ce que = T2 (xm+~ ) vD’oùOn fait alors tendre m vers l’infini pour obtenir :Puisque ~(x,T~x) = inf ~(x,y), il en résulte que :" yEHV (x,y) E H x H ~(x,y) ~ d.Donc, d = lim est égal à inf ~ et si inf ~ > - 00, (xn,yn) est une suite minimisante.n(ii) se déduit de (i) et de la proposition du § Il.Remarque. La condition posée dans la partie (ii) (ie. ~ est borné inférieurement) est suffisantemais n’est pas nécessaire, comme on peut le voir en posant cp~ - 0 et cp2(y) _  p,y >, p ~ 0.IV - CONVERGENCE DES SUITES (xn) ET (yn) ,Soit M = ~ t (x,y) E H x H 1 ~(x,y) = inf ~ (~ n’est plus supposée bornée inférieure-ment).Puisque ~ est convexe et s.c.i., M est convexe et fermé.D’autre part, puisque (x,y) E M ~ (0,0) E et que pour tout (x,y) E H x H,a~(x~Y) _ (x-y + a cp~ (x)) x (y-x + a VJ2Y), on a :(x,y) E M a (y-x) E ~ 03C61(x) et (x-Y) ~ ~ 03C6 2(Y)On a donc(iii) M = ~ (x,x+u) 1 x E H et T1 T2x = x , u étant l’élément de H cité dans le Théorèmedu paragraphe III.Il découle de (i) que, pour tout n > 1 et pour tout (x, y) E M,THEOREME 2.(i) lim |xn 1 = lim |yn 1 = cenoo  noo (ii) Si M alors il existe ( x,00FF ) E M tel que xn x et yn .Démonstration. (i) Si ne tend pas vers l’infini, il existe une sous-suite (xn ) bornée. Puisqueyn - et que T2 est contractante, la suite ) est alors bornée dans H x H.Soit donc ( x,y ) E H x H un point limite faible d’une sous-suite de (xn ,yn ). Le fait quem m~(xn,yn) -~ inf ~ et la s.c.i. faible de Ç entraînent que M , ce qui contredit l’hypothèse.Le même raisonnement peut être fait si on suppose que (yn) -/~ 00.(ii) Si (x,y) E M, les suites ( )n (IYn-Y I )n ~ ~ 1 sont décroissantes etest bornée. La démonstration du (i) montre que toute sous-suite de (xn,Yn)admet une sous-suite convergeant faiblement vers un élément (x,y) E M. I suffit alors de prouverque ( X,00FF ) ne dépend pas de la sous-suite considérée.Si ~ ( X,~ ) et (xn ,yn ) -’~ (x,y), on a M et ( x,~ ) E M.m m m mSoientalorsQ= lim lim .n nOn a les identitésEn faisant tendre m vers l’infini dans (*) et m dans (**) on obtientOn en déduit que x = X, et donc xn  x.On montre de même que y = y (ou bien on remarque que u, d’où yn -~ x - u).Exemple. Comme application des Théorèmes 1 et 2, citons le résultat suivant :- Soient H un espace de Hilbert, Kl’ K2 C H deux convexes fermés, pi la projection sur Ki (i=1,2).Si y E H, on forme le schéma de projection alternée xn = p1 ~yn-1 ~~ yn - pour n > 1.On a alors(i) Il existe u E H, ne dépendant que de Kl et K2 tel que :(ii) Si K~ (ou K2) est borné, ~ converge faiblement vers(x,y) E Kl x K2 tel que 1 x-y 1 = d(Kl ,K2). Si K~ (ou K2) est compact, (xn,yn) converge forte-ment vers (x,y).En effet, si w. est la fonction indicatrice de K;, on a p~ = (1 + a~p i) 1 (i=1,2).9REFERENCES[1] H. BREZIS. « Opérateurs maximaux monotones et semi-groupes de contractions dansles espaces de Hilbert». North-Holland, 1973.[2] R.T. ROCKAFELLAR. «Convex Analysis». Princeton Univ. Press, 1970.(Manuscrit reçu le 19 juillet 1979)

Convergence d'un schéma de minimisation alternée

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