Henri Lebesgue

Annales de la Faculté des Sciences de Toulouse

ANNALES DE LA FACULTÉ DES SCIENCES DE TOULOUSEHENRI LEBESGUESur la théorie de la résiduation de SylvesterAnnales de la faculté des sciences de Toulouse 3e série, tome 14 (1922), p. 153-159<http://www.numdam.org/item?id=AFST_1922_3_14__153_0>© Université Paul Sabatier, 1922, tous droits réservés.L’accès aux archives de la revue « Annales de la faculté des sciences de Toulouse »(http://picard.ups-tlse.fr/~annales/) implique l’accord avec les conditions générales d’utilisa-tion (http://www.numdam.org/conditions). Toute utilisation commerciale ou impression sys-tématique est constitutive d’une infraction pénale. Toute copie ou impression de ce fi-chier doit contenir la présente mention de copyright.Article numérisé dans le cadre du programmeNumérisation de documents anciens mathématiqueshttp://www.numdam.org/SUR LA THÉORIE DE LA RÉSIDUATION DE SYLVESTERPar M. HENRI LEBESGUE.[1] Dans un travail récent(’) j’ai utilisé cette théorie qui se résume dans l’énoncé ’suivant : Si parmi les 3(m + n) points de rencontre d’une cubique et d’une courbe dedegré ni -{- Il, , il y en a 3n qui sont sur une courbe de degré n, les 3m autres sont, sur une courbe de degré m .Au paragraphe 1 3 de mon Mémoire j’ai reproduit à peu près la démonstrationclassique telle, par exemple, qu’on la trouve dans les Courbes planes de Salmon. Mais,comme me l’a fait remarquer M. B. Gambier, cette démonstration est insuffisante..Elle ne vaut que dans le cas où toutes les courbes de degré m + n - 3 passant parcertains points en nombre + n ‘- 2 3) (m + n) ‘ I forment un faisceau ; il en est’ bien ainsi en général, mais il n’en est pas toujours ainsi.La rédaction,de mon Mémoire remontant déjà à plusieurs années, je ne puis diresi cette insulfisance m’avait frappé, mais du moins j’ai prétendu y examiner aussi lecas où les courbes considérées de degré m + n - 3 ne forment pas un faisceau, ceque ne fait pas Salmon., Malheureusement, ce que j’ai dit est inopérant et l’objectionde M. Gambier s’applique tout autant à mon raisonnement qu’à celui de Salmon;je m’appuie sur ceci : par p(p + 3) -1 points il passe un faisceau linéaire de courbesde degré p ayant en commun p2 points, à moins que toutes les courbes passant parles points donnés n’aient une partie commune. Or l’affirmation en italiques est fausse;.elle serait vraie s’il s’agissait de courbes de degré p passant par p’ points, elle estinexacte lorsqu’il s’agit de courbes déterminées par moins de p2 points.C’est précisément ce qu’observe M. Gambier en s’appuyant sur des exemples dontvoici le plus simple : « Soient, dans un même plan, une cubique Cs et une quartiqueC, données (choisies au hasard une fois pour toutes, je les suppose indécomposables(1) Exposé géométrique d’un Mémoire de Cayley (Annales de la Faculté des sciences deToulouse, 3e série, t. Xlll, 1922).I54et se coupant en 12 points distincts). J’appelle Mt’ M~, ..., Mu’ Mu ces 12 points;je choisis un point M, (xo, yo), de Ci distinct de Mi, ... M,~ et je considère le réseauquand À, varient, les 13 points M!, ... M sont communs à toutes les cour-bes du réseau, et ce sont les seuls communs à toutes les courbes de ce réseau.Toutes les courbes de degré 4 passant par les treize points indiqués sont com-prises dans l’équation ci-dessus donnée; elles ne constituent pas un faisceau; ellesn’ont pas de partie commune à toutes. »Il y a donc lieu de donner une autre démonstration du théorème de Sylvester.Celle qu’on va lire n’est pas nouvelle : elle n’est que l’adaptation au cas particulierdu théorème de Sylvester d’une sorte de lemme préparatoire au théorème de N0153ther ;théorème d’où l’on déduit des généralisations de l’énoncé de Sylvester, en particulierla proposition connue sous le nom de théorème du reste de Brill et [2J ] Je suppose que les 3n points communs à une courbe C3 et à une courbe Cnappartiennent aussi à une courbe . Et, naturellement, je suppose que ni ni Cm...J--n’ ne contienne C3, ni une partie de Cg. J’écris les équations de ces courbeset je suppose que C3 contient un terme en . Je considère Cu et comme despolynômes en x et je les divise parj’obtiens des restesp, q, r, a, b, c, A, B, C, sont des polynômes en y dont les degrés maximum sontdéterminés par la condition que Cs est du troisième degré en x, y que r~ et sont au plus des degrés n et m + n. . Ces deux derniers restes sont d’ailleurs effec-tivement de ces degrés, car fn = o et = o représentent deux courbes ne con-tenant ni C~, ni une partie de Cs et qui coupent C3 respectivement en les 3n et3(m + n) points communs à Cs et Cn; à Cs et (t) Voir, par exemple, les premières pages du tome II de l’ouvrage de Picard etSimart : : Théorie des fonctions algébriques de deux variables indépendantes. -Les courbes I’n et peuveut donc remplacer Cn et c’est sur elles quenous allons raisonner. Je vais démontrer qu’on peut trouverrespectivement de degré m et ln + n - 3 en x, y, tels que l’on ait :et cela démontrera bien le théorème. .Or, l’identité précédente donne pour la détermination des polynômes 03B1, 03B2, y, u, v,dont les degrés maxima en y sont connus, les cinq équations :Le déterminant A de ces équations est le résultant des polynômes C3 et quisont sans facteur commun; donc A n’est pas identiquement nul et l’on peutrésoudre par la règle de Cramer. Cela nous donne des fractions rationnelles dont ontrouve de suite les degrés. Pour cela donnons des degrés maxima fictifs aux élémentségaux à zéro de la matrice M des termes tout connus et des coefficients de notresystème d’équations; et cela de façon que, dans une même colonne, les degrésmaxima croissent d’une unité quand on passe d’un élément à celui situé au-dessous.Alors, pour la première colonne de A, le degré maxima de chaque élément, diminuédu rang de la ligne le contenant, donne n - 3 ; pour la seconde colonne, c’est n - 4 ;pour la troisième, n - 5; pour la quatrième, - 1; pour la cinquième, -2 . Etcomme un terme quelconque est le produit de cinq éléments appartenant respective-ment aux cinq lignes et cinq colonnes, ce terme est de degré maximumOn trouve ainsi que le degré maximum de 0394 est .3n, ce que l’on savait déjà; onsait même que le degré de A est exactement 3n si C3 et C,~ ont leurs points com-muns à distance finie, ce que nous supposons. Si maintenant on considère le numé-rateur de l’une des inconnues., de el par exemple, donné par la règle de Cramer, ilse déduit de A en remplaçant les éléments de la première colonne par les termestout connus, ce qui augmente les degrés maxima des éléments de la première colonnede m 2014 2. Donc le numérateur de 03B1 est au plus de degré m + 3n - 2, ex est auplus ,de degré m - 2 . .’On raisonne de même pour les cinq inconnues; vérifions maintenant que lesfractions rationnelles obtenues sont en réalité des polynômes. Pour cela nous suppo-serons qu’on donne à y une des valeurs qui annule A et nous nous demandons ceque devient le numérateur de ex, par exemple, dont l’expression est(1), (2), (3), (4), (5) représentant les mineurs de 0394 pris par rapport aux divers élé-ments de sa première colonne. ’ .Or on sait que si la valeur yi considérée est l’ordonnée d’un seul point communà C~ et et situé à distance finie, soit xi, yz, les mineurs (1), (2), (3), (4), (5) sontrespectivement t proportionnels à x’2, x2i, xi, 1. Et comme xi, y, est point depar hypothèse, on a N = o. ’Donc si les 3n points communs à C3 et à Cn sont distincts, auquel cas les 3nracines yi de 0394 = o peuvent être supposées distinctes et finies, comme N admetaussi ces 3n racines, N est divisible par A et nous trouvons bien pour un poly-nôme.La démonstration est achevée pour le cas où les 3n points sont distincts. ,[3] Dans le cas où les 3n points ne sont pas distincts, ce qu’il importe de fairec’est moins de démontrer le théorème que de préciser ce qu’il faut entendre par lacondition supposée dans l’énoncé : les 3n points communs à Cs et à C,~ appartien-nent à A cette question, le théorème de N0153ther fournit une réponse dontl’importance est capitale ; mais pour la plupart des applications du théorème deSylvester, et en particulier pour celles de mon Mémoire cité, il suffit d’utiliser ladéfinition suivante On dira que les 3n points communs à C3 et à C,i appartiennentà s’il est possible de modifier infiniment peu C~L et de façon que les 3npoints communs à C3 et à Cn modifiées soient distincts et appartiennent à modifiée.Il est bien évident qu’avec cet énoncé le théorème de Sylvester est vrai, car les Net A sont des fonctions continues des coefficien ts de Cn et et la propriété : N estdivisible par  subsiste à la limite ; réciproquement d’ailleurs, si l’on a l’identité (I),en modifiant infiniment peu h" de façon à rendre les 3n points communs à C3 età rn distincts, et en ne modifiant pas et on définit une courbe qui passe par ces 312 points distincts et qui diffère infiniment peu du primitif.La définition précédente est donc bien nécessaire et suffisante pour l’exactitude duthéorème de Sylvester.Si naturelle qu’elle soit, il ne faut pas omettre d’examiner d’autres définitionstout aussi naturelles qui peuvent être en désaccord avec elle : supposons par exempleque Cil et Cn n’aient que des points à distance finie en commun, il pourra paraîtrenaturel de dire que leurs 3n points communs appartiennent à si, dans toutsystème de coordonnées cartésiennes, le résultant de C3 et de Cn, considérés commepolynômes en x, divise le résultant de C~ et de Cette seconde définition est endésaccord avec la première ; dans le cas suivant, par exemple : C3 est une cubique àpoint double, Cn est la conique formée par les deux tangentes au point double, Cm+nest la cubique formée de trois droites issues du point double. Le théorème de Sylvestern’est en général pas applicable à ces trois courbes bien qu’avec la seconde définitionelles aient six points communs avec C~ confondus au point double.Ce fait n’est d’ailleurs pas nouveau, on sait depuis longtemps qu’avec la secondedéfinition le théorème du reste n’est vrai que pour les groupes de points mobilesdéterminés par les adjointes. ’ ’[4] L’exemple précédent montre qu’avec.la seconde définition relative-aux pointscommuns à trois courbes la théorie de la résiduation n’est pas toujours exacte, dumoins pour les cubiques unicursales ; pour terminer, je vais prouver que, même avec’ cette définition, elle est exacte pour les cubiques non unicursales (les seules que l’onconsidère ordinairement dans cette théorie) et, d’une façon plus générale, qu’elle estexacte si parmi les 3n points considérés ne figure pas le point double de la cubique, ..s’il existe.Je suppose que le point simple A de C3 compte pour p points (p ) 1) dans l’in-tersection de C3 et Cn. Par A je mène une droite quelconque coupant Cs endeux points distincts nt; par A je mène ensuite p - ï autres droites D~, ... Dpinfiniment voisines de D1 t et coupant C3 en deux séries de points m2, ... ... npinfiniment voisins de in, et n, respectivement. Je trace les droitesCes droites forment une courbe L de degré p, qui coupe C3 en p points at, aQ, ... a~en dehors des points m et n . . Ces p points sont infiniment voisins de A et l’on peutles supposer différents.Je vais d’abord démontrer que le théorème de Sylvester s’applique à la courbeCn + L (qui jouera le rôle de Cm+n) et à la courbe P formée par les p droites Di ;~ les 3p points communs à C~ et à P appartenant à C,~ + L. Or, d’après le para-graphe précédent, ceci sera prouvé si l’on montre qu’on peut, en modifiant très peurendre les 3p points communs à ces deux courbes et à C3 tous distincts.Modifions quelque peu C’n de façon à ce que tous ses points de rencontreavec C~ deviennent distincts. Le point A, qui comptait pour p points, se trouveainsi remplacé par p points ce,, ... «p voisins de A et qui tendent vers A quandC’n tend vers Cn. Par chaque «i menons une droite ~i qui tend vers Di quandC’,~ tend vers Cn et appelons pi et vi les deux points de rencontre de 0~ et de Caqui tendent vers mi et ni. Les droites 0394i forment la courbe H. La courbe A, for-mée des p droites ~,$v3, ... tend vers L et elle rencontre C3 endehors des points ~, v, en p points a’,, a’$, ... tendant respectivement vers... a~.Donc, le théorème de Sylvester pouvant être appliqué aux courbes C’n + A et nqui ont 3p points de rencontre avec C~ communs et distincts, il peut être appliquéaussi aux courbes C~~ + L et P. Ainsi il existe une courbe CBt de degré n rencon-trant C3 aux 3n-p points de rencontre de Cn et de C3 qui sont différents de A;Ctn passe de plus par les p points a,, a~ ... ap, qui ont été déterminés comme il aété dit, aussi voisins que l’on veut de A et distincts.Ces p points ont été déterminés indépendamment de C,l, si donc Cm+n passepar les 3n points communs à C3 et à Cn on peut de même remplacer parcoupant C3 aux mêmes 3n points que C~" .Si parmi les points communs à C3 et à C", il y avait ,~~ points A, B, ... K comp-tant pour plus d’un point et tous points simples de Cg, après avoir opéré comme ilvient d’être dit pour passer de Cn et à et on opérerait sur les deuxcourbes obtenues d’une façon analogue, B remplaçant A; on obtiendrait ainsi C$net C~?,t+,2 . Et après fi semblables opérations on arriverait à et Les 3npoints communs à et à C3 étant distincts, le théorème de Sylvester s’applique à°Il faut maintenant en conclure qu’il s’applique aussi à C,~, et C~ en s’ap-puyant sur le fait que, par exemple; les points ai tendent vers A; aucune démons-tration ne serait nécessaire si nous savions que et Ckm+rt tendent respectivement’ vers Cn et mais cette convergence n’a en général pas lieu.Remarquons que si deux courbes Cn et Cm+n conduisent à l’égalité (i), entre lesdeux polynômes r et qu’on en déduit on a aussien prenantet Qn étant les quotients de et C,~ par C,. Nous avons déjà remarqué quesi Cn et Cm+n varient en tendant vers des limites déterminées, rm et tendentvers des limites déterminées. Donc tous les termes de (l’) tendent dans ces conditionsvers des limites précises. Appliquons cela aux courbes Cn + L et P nous aurons :I59rtn étant le reste de Cin divisé C3 . Faisons maintenant tendre les ai vers A, enfaisant tendre DI, Da’ ... D vers D~, nous trouvons à la limiteYin et étant des polynômes déterminés. On peut évidemment tout diviser p~rDPt et l’on trouve :yB étant de degré 2 e x, ne diffère pas du reste r n de la division de Cu par C3.Donc T"n, et par suite aussi Pn’ ... tendent vers rn, de même tendvers et comme le théorème de Sylvester s’applique à rkn et il s’appliqueaussi à r,t et à donc à C,t et à °Le théorème de Sylvester est ainsi prouvé pour toutes les cubiques non uni-cursales. C’est pour ces courbes seulement qu’il est important, puisque son principalavantage est de permettre la suppression de l’emploi des fonctions elliptiques et que,lorsqu’il s’agit de cubiques unicursales, l’usage de ces fonctions est inutile. Aussi jeme contenterai d’indiquer que, par des raisonnements analogues aux précédents, onpeut étudier aussi certains des cas où Cn passe par le point double de la cubique Cg;par exemple, on prouvera que le théorème de Sylvester s’applique au cas d’unecourbe C~ passant par le point double que j’appelle O, si C~ et Cn n’ont aucunetangente commune en ce point 0 et si Cm+n admet comme tangente en 0, et avecun ordre de multiplicité au moins égal, chacune des tangentes en 0 à Cn. On peutaussi appliquer les mêmes procédés pour obtenir certains résultats qu’on déduitd’habitude du théorème de Noether..

Sur la théorie de la résiduation de Sylvester

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