Henry Bourget

Annales de la Faculté des Sciences de Toulouse

ANNALES DE LA FACULTÉ DES SCIENCES DE TOULOUSEHENRY BOURGETSur l’attraction des ellipsoïdes homogènesAnnales de la faculté des sciences de Toulouse 2e série, tome 1, no 4 (1899), p. 465-468<http://www.numdam.org/item?id=AFST_1899_2_1_4_465_0>© Université Paul Sabatier, 1899, tous droits réservés.L’accès aux archives de la revue « Annales de la faculté des sciences de Toulouse »(http://picard.ups-tlse.fr/~annales/) implique l’accord avec les conditions générales d’utilisa-tion (http://www.numdam.org/conditions). Toute utilisation commerciale ou impression sys-tématique est constitutive d’une infraction pénale. Toute copie ou impression de ce fi-chier doit contenir la présente mention de copyright.Article numérisé dans le cadre du programmeNumérisation de documents anciens mathématiqueshttp://www.numdam.org/SURL’ATTRACTION DES ELLIPSOÏDES HOMOGÈNES,PAR M. HENRY BOURGET,Maître de Conférences à la Faculté des Sciences,et Astronome-Adjoint à l’Observatoire de Toulouse.1. On sait que Maclaurin a démontré que les potentiels d’un même point, rc-lativement à deux ellipsoïdes homofocaux, sont proportionnels aux masses de cesellipsoïdes.D’autre part, considérant une fonction continue de x, y, z, en tous les pointsintérieurs à une surface fermée S, on sait qu’on appelle valeur moyenne def (x, y, z) cc de S, l’expressionles intégrales qui figurent dans cette formule étant étendues à tout l’intérieur dela surface S. Cela étant, il est clair qu’on peut énoncer la proposition de ll’Ia- ,claurin en disant que la valeur moyenne de la fonctionà l’intérieur de l’ellipsoïde, ayant pour équationne varie pas si l’on remplace cet ellipsoïde par l’un quelconque de ses ellipsoïdeshomofocaux, ne contenant pas le point (a, b, c) à son intérieur.Sous cette forme, ce théorème a été rencontré par Cauchy (Comptest. XXIX, p. 341) comme corollaire d’une proposition générale peu connue sur lavaleur moyenne d’une fonction harmonique à l’intérieur d’un ellipsoïde.466Nous nous proposons, dans cet article, de démontrer la proposition de Cauchy,en suivant une méthode développée par Tisserand pour démontrer le théorèmedans le cas restreint de la fonction 1./’, 2. Considérons d’abord un polynôme sphérique de degré fi entier et positifet proposons-nous d’évaluer sa valeur moyenne à l’intérieur de l’ellipsoïdeA cet remplaçons dans la valeur moyenne V,i (i, j/, z)par son expression explicite en x, y, z et prenons les valeurs moyennes dechaque terme.Remarquons d’abord que la valeur moyenne d’un termeoù l’un des trois membres j, !t est impair, est nulle, car elle se compose departies qui se détruisent deux à deux ; ce qui nous montre que l’on doit supposer npair ainsi que les trois nombres entiers L, j, ~~. Nous poserons doncObservons, en oulre, que a) satisfaisant à l’équation de Laplaceil en résulte des relations linéaires entre les coefficients On les obtient en substituant les dérivées de dans l’équation de Laplace eten écrivant que les termes semblables ont un coefficient nul. On trouve ainsi, enécrivant que le coefficient du terme en x~x~y’-’~ ~‘’Y est nul, la relationoù l’on aDiantre part, on trouve, sans effort, en utilisant une intégrale classiqueOn a doncPour démontrer la proposition en question, il faut montrer que cette valeurmoyenne est de la forme ’ou bien, ce qui revient au même, que la valeur moyenne est solution de l’équationaux dérivées partiellesOr, substituons l’expression trouvée de la valeur moyenne, dans cette dernièreéquation, et écrivons que cette équation est satisfaite. Nous obtenons ainsi des "relations linéaires entre les coefficients C. La relation qui correspond au termeen estqui n’est autre que la relation écrire plus haut multipliée par le facteur dînèrentde zéroet qui, y par conséquent, est satisfaite. Donc la proposition est démontrée pour unpolynôme sphérique V,l~x,,~.~, ~~, n étant entier et positif.3. Il s’en suit immédiatement que la même propriété subsiste pour toutefonction harmonique, pouvant se représenter par une série de la formeuniformément convergente dans un domaine sphérique comprenant l’ellipsoïde (S)à son intérieur, à condition que l’ellipsoïde homofocal à (S) ne soit pas tel que Vdevienne discontinue à son intérieur,4. On retombe sur le théorème de Maclaurin en prenant pour V la fonction ] 1qui est développable en une série uniformément convergentep désignant la dislance du point attiré, au centre de l’ellipsoïde.On retrouve d’ailleurs, dans ce cas, la démonstration même de Tisserand.(Mémoires de l’Académie de Toulouse) I875.)

Sur l'attraction des ellipsoïdes homogènes

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Sur l'attraction des ellipsoïdes homogènes

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