C. Bourlet

Annales de la Faculté des Sciences de Toulouse

ANNALES DE LA FACULTÉ DES SCIENCES DE TOULOUSEC. BOURLETSur le problème de l’itérationAnnales de la faculté des sciences de Toulouse 1re série, tome 12, no 2 (1898), p. C1-C12<http://www.numdam.org/item?id=AFST_1898_1_12_2_C1_0>© Université Paul Sabatier, 1898, tous droits réservés.L’accès aux archives de la revue « Annales de la faculté des sciences de Toulouse »(http://picard.ups-tlse.fr/~annales/) implique l’accord avec les conditions générales d’utilisa-tion (http://www.numdam.org/conditions). Toute utilisation commerciale ou impression sys-tématique est constitutive d’une infraction pénale. Toute copie ou impression de ce fi-chier doit contenir la présente mention de copyright.Article numérisé dans le cadre du programmeNumérisation de documents anciens mathématiqueshttp://www.numdam.org/C.ISUR LEPROBLEMÈ DE L’ITÉRATION,PAR M. C. BOURLET.Le problème général de l’Itération peut être posé de la façon suivante:unc fonction donnée dc la variable z; posonshlus généralementSoit 03C6-1 (z) la f onction inverse de 03C6 (z ) nous poserons encoreUn aura, alors, pour toutes les valeurs entières positives ou négativesdes indices de p et q ,et il s’ab it de trouver une fonction 03C8(k, z) de la variable z et du para-mètre k telle que l’on. aitpour toutes les valeurs entières positives ou négatives de p, et telle, enoutre, que t’on aitquels que soient les nombres lr ct Ir’, réels ou imaginaires.Ce problème a déjà donné lieu à de remarquables travaux. Étudié d’abordpar Schrôder (’ ) et Korkinc (? ), il a été repris, plus récemment parM. K0153nigs (3).Schrôder et Korkine se sont surtout occupés du calcul des coefficientsdu développement de la fonction ~~(h, ~) suivant les puissances croissantesde z - x, x étant point limite de la fonction ? (â ); mais, outre que leursméthodes se bornent à montrer comment on calculera de proche en procheces coefficients, elles présentent l’inconvénient de présupposer soit l’exis-tence de la fonction .~,), soit la convergence des développements étudiés.Korkine, à vrai dire, a donné une seconde méthode, fort ingénieuse,dans laquelle il montre que la fonction ~.~ ( Ir, â ) peut être mise sous laformeet la recherche de cette fonction est ainsi ramenée à celle de la fonctionqui vérifie l’équation fonctionnelle d’AbclIl donne une expression formelle de 03C0 (z), dans laquelle figure un déve-loppement en une série doublement infinie dont, malheureusement il n’apas établi la convergence.M. K0153nigs, en se plaçant à un tout autre point de vue, et sans recher-cher la forme de la fonction ~), a démontré d’une façon rigoureuseson Aucun de ces auteurs, comme on le voit, n’a donné une expressionexplicite de cette fonction 03C8(k, z) dont la validité soit assurée.Cependant Schrôder indique dans son Mémoire, aux notations près, laforrnule suivante ( ’ ~ :( 1 ) SCHRODER, Ueber iterirte Functionen (Mathematische Annalen, t. III, p. 296).(2) Sur un problème d’interpolation (Bulletin des Sciences mathéma-tiques, 2e série, t. Vi, p. 228; 1882).(3) KOENIGS, Nouvelles recherches sur les équations fonctionnelles (Annales clel’École Normale supérieure, 3e série, t. II, p. 385; 1885).(4) Cette formule a été suggérée à Schröder par une autre formule donnée par Cayleydans le Quarterly Journal, t. LI, p. n., pour ma part, je rayais retrouvée en appliquant laformule d’interpolation de où r désigne un cllticr positi f et où le second membre ne contient quer + 1 termes. Il est vraiment curieux qu’il n’ait pas eu l’idée d’appliquercette formule au cas de r quelconque car, en remplaçant la somme dusecond membre par une série, il aurait été ainsi conduit à la solutionexplicite qui fait l’objet de ce Travail.I.Je rappelle d’abord deux propriétés de la fonction de substitution ~ ( ~ ~.1 ° Soit x une racine de l’équation x est ce qu’on appelle un point limite de la substitution 03C6(z); on a, pourtoutes les valeurs entières, positives ou négatives, de l’indice p,Je supposerai, de plus, toujours, dans la suite, que la fonction ? (= ) est né-gulière au voisinage du point z = x, c’est-à-dire qu’elle est développable enune série ordonnée suivant les puissances croissantes et que l’on a :z" Désignons par ~ p ( ~ ~ la dérivée de ~,, ( ~, ) ; on aura, quel que soitl’entier positif ou négatif y~[pourvu que, dans le cas où p est négatif ~‘(x~ ~ o].En effet, pour If = ~, on aet, en faisant z == ~ et remarquant queSi la loi est vraie pour l’indice p, elle est vraie pour l’indice p + r caret, en faisant = = x, en vertu de l’égalité ( r ),La proposition est donc vraie pour les indices positifs.D’autre part, on a doncet, en faisant ~ =: .r,cFouLa loi s’étend alors, de proche en proche, comme plus haut, aux indicesnégatifs.ILConsidérons maintenant la sérieles coefficients C~, ..., qui figurent dans les crochets, étant les coeffi-cients binominaux. Remarquons, de suite, que cette série peut symboliquementà condition de remplacer, dans le développement de la puissance symbo-lique (~ - ~)~p~2, l’expression ~~q~,~ par ~q(,~). D’ailleurs, cette dernière for-mule ({J) peut encore se condenser, symboliquement, en celle-ci :Pour que Inégalité (3 ), ou les équivalentes (4) et (5), définisse unefonction bien déterminée ~ (k, ~ ), il faut, d’abord, prouver la convergencede la série qui figure dans le second membre et, à cet effet, j’établirai laproposition suivante : :x étant ura point limite de la fonction 03C6(z), au voisinage duquel cllcest régulière, tel l’on aitil existe un cercle C,r, de centre x, tel que, pour tout point z à l’ijL-térieur de ce cercle, la série (3) soit convergente, qucl quc soit k.Prenons le rapport du (p + terme de la série (~) au précédent ; ccest ’et cherchons d’abord la valeur de ce rapport pour = = x. Pour cette valeur,le rapport prend la forme indéterminée -° ~ caronous aurons donc sa valeur en prenant le rapport des dérivées pour ,~ = .r.Si l’on tient compte des égalités (2), démontrées plus haut, la valeur dece rapport est doncCeci nous prouve, d’abord, que le rapport Rp(z) est, quel que soit p,une fonction régulière de z dans le voisinage du point limite x puisqu’ence point il a une valeur finie et qu’il est le quotient de deux fonctions ré-gulières. La limite de ce rapport, lorsque p croît indéfiniment (limite quiest indépendante de k ), est donc, en général, une fonction régulièreau voisinage de z = x et la valeur de cette fonction pour = == x estSi donc on aon pourra déterminer un cercle Cx, de cen tre x, tel que, pour tout point zsitué à l’intérieur de ce cercle, le module de R(~) soit assez voisin du modulede R(.r), c’est-à-dire de ) ~/(.r)2014 ! j, pour être plus petit que i; pour tousces points la série ( 3 ) sera donc absolument convergente, quel quc soit A. .Mais il y a plus. La démonstration précédente nous prouve, en effet, quesi l’on considère la série déduite de la série (3) en prenant les dérivées detous les termes, par rapport à -j, et si, dans cette nouvelle série, on prendle rapport du ( p + r terme au précédent, ce rapport a une limite indé-pendante de k qui est une fonction S (z), régulière au voisinage du pointlimite, telle que 1 on aitOn pourra donc déterminer ma second cercle Tx, dc centre x, clcégal ou à celui de Cx, tel dc ce. cercle,ct quel que soit k, la série ( 3 ) soit convergente et définisse une fonction03C8 (h al régulière en z.Dans toute la suite, j e supposerai qu’on ne considère la fonction pour les valeurs de = situées à l’intérieur du cercle Tx dans lequel cllcest régulière.III.J’établirai d’abord quelques propriétés simples de la fonction k, z).1 ° a étant lc point limite, on aC’est évidente car, comme nous l’avons remarqué plus llaut, l’expression( ~.~ -1 ~’p~.~ prend, pour ~ = x, la valeur~.L ( h, x) se réduit donc a son premier terme x.2° 03C8’ ( k, z) désignant la dérivée cle la fonction 03C8 ( k, â ), , par rapportà z, on a, au point limite x,quel que soit k.Nous avons en effet, qu’on a toujours pour les valeurs entières del’indice p( 1) Ici désigne une véritable puissance. Pour qu’il n’y ait pas de confusion.,j’aurai toujours soin de placer les exposants des puissances symboliques entre parenthèses.or, on aet, pour = = x,prend, par suite, la valeurOn a doncles puissances étant ici de véritables puissances. Puisque o (~) -- i ( ~la série du second membre est convergente et a pour sommequcl que soit k.Ces deux propriétés ne sont, en somme, que l’extension à ~.~(h, ~ ~ desdeux propriétés des fonctions ~~,(â~ rappelées au n° I. .llll entier positif ou nul, on aCeci est encore évident, car on apuisque p est entier, et en effectuant la puissance symbolique.4° p étant un entier positif, on aquel quc soit li ( ’ )._ ---- --- - ------------ _( i ) Il faut remarquer qu’à cause de l’hypothèse J q’(a7) ) 1 , si z est suffisamment voisindu point r, sera à l’intérieur du cercle rx dans lequel la fonction West régulière.Il suffit de prouver la proposition lorsque p = i, car, alors, elle s’étendsans difficulté, de proche en proche, pour p = 2, 3, 4, . , .. Or, on aet ceci peut s’écrire, symboliquement,ce qui revient à multiplier symboliquement par 03C6.Pour multiplier symboliquement par q, on peut multiplier par 1-~- ~ - iet l’on a donc5° - p étant un entier négatif, on a aussià condition de choisir pour 03C6-1 (z) des déterminations qui, pour.~, = x, se réduit à x.On a, en effet, d’après ce qui précède,~.~ (-- i , ,~ ) est donc la fonction inverse qui se réduit à x pour~ = x, en vertu de l’égalité (6). Donc .Plus généralement,la détermination de ~_~,(â) étant telle que, pour z =x, réduisea x~.IV.Pour terminer, il nous reste à prouver la proposition capitale que voici :On a, quel que soit k,Pour cela, il suffit, à cause de Inégalité (g ), de prouver que l’on aOr, les deux membres de cette égalité (12) étant des fonctions régulièresau voisinage du point limite x, il suffit de prouver que les deux membres,ainsi que toutes leurs dérivées par rapport sont égales pour z = a.On a, en premier lieu,En second lieu, en vertu des égalités (6) et ( 7 ),donc, encore,Prenons les dérivées secondes : il faut prouver quePosons, pour abréger l’écriture,on doit donc avoirLa relation (12) qu’il s’agit de démontrer étant vraie pour toutes les va-leurs entières de k, cette dernière relation, qui en est une conséquence, estvraie pour toutes les fonctions ~~,(2); on en conclut que ~"(l~, x) s’obtienten remplaçant dans son développement les expressionset l’on trouve ainsice qu’il fallait établir.Considérons encore les dérivées troisièmes : il faut prouver queEn remplaçant dans cette expression ~ ( k, x~, c~’ (k, x ~, c~" ( k, x ) parleurs valeurs et simplifiant, il reste à montrer que .Or, cette relation étant vraie pour les valeurs entières de k est vraie pourtoutes les fonctions ~p (~ ~; on a doncEn remplaçant dans le développement x) toutes les quantités~ (~) par ces valeurs et faisant la somme, on trouve que la relation pro-posée est vraie pour c~"’( k, x).D’une façon générale, si l’on a démontré la proposition pour la dérivée~,c~~ ( k, x ), on la démontrera pour la dérivée (q + de la façonsuivante : on dérivera ( q + I ) fois la relation (12) par rapport à z, on y fera.~ = x et l’on remplacera ~ (k, x), ~’ (k, x), c~"(k, x), ..., c~~q~ (k, x) parleurs valeurs calculées précédemment en fonction de x’, x", x"’, ..., L’égalité qu’il s’agira de démontrer prendra alors la formeles fonctions x", ..., ne dépendant aucunement de k. Or, larelation (12) étant vraie pour les valeurs entières de k, on aura, quel quesoit l’entier p,En remplaçant les quantités (x) par leurs valeurs dans le développe-ment de c~~q+’ ~ ( k, x), on trouveet c’est ce qu’il fallait établir.V.Ces propositions préliminaires nous conduiront maintenant au résultatfinal.Considérons, en effet, l’expression c~ ( k, ~ ( k’, ,~ ~~ ; c’est une somme determes de la formeOr, de la relation (12) que nous venons d’établir, on déduit, par des ap-plications répétées,quels que soient k’ et l’entier positif p ; le terme général peut donc s’écrireou, avec l’écriture symbolique,C.I2ou encoreet enfinL’opération de la substitution de § ( k’, ,~ ) à ~ dans ~.~ ( k, .~ ) revient doncà multipliersymboliquerllent chaque terme du développement et, par suite,03C8 ( h, z) elle-même par ( I+03C6-I)(k’); on a doncquels que soient k et k’.En résumé, la fonction ~.~ ( k, 2 ), régulière dans le cercle rx, vérifie bienles deux relations ( A ) et ( B ); c’est donc bien une fonction itérée de cp(z).Korkine a d’ailleurs montré (’ ) comment, lorsqu’on connaît une solutiondu problème, on pourra construire toutes les autres.Remarquons, en terminant, que la démonstration de l’identité (12), aun° IV, donne précisément le calcul, de proche en proche, des coefficients dudéveloppement suivant les puissances croissantes de z - x enfonction de x, x’, x", x"’, ..., c’est-à-dire en fonction des coefficients dudéveloppement de c~ (,~ ). Car, si l’on poseon a généralementOn retrouve les résultats des calculs de Korkine, résultats qui se trouventainsi justifiés après coup.( 1 Loc. cit., p. 234 .

Sur le problème de l'itération

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