E. Cosserat

Annales de la Faculté des Sciences de Toulouse

ANNALES DE LA FACULTÉ DES SCIENCES DE TOULOUSEE. COSSERATSur un théorème de M. Darboux et sur les congruences de droitesAnnales de la faculté des sciences de Toulouse 1re série, tome 8, no 1 (1894), p. B1-B9<http://www.numdam.org/item?id=AFST_1894_1_8_1_B1_0>© Université Paul Sabatier, 1894, tous droits réservés.L’accès aux archives de la revue « Annales de la faculté des sciences de Toulouse »(http://picard.ups-tlse.fr/~annales/) implique l’accord avec les conditions générales d’utilisa-tion (http://www.numdam.org/conditions). Toute utilisation commerciale ou impression sys-tématique est constitutive d’une infraction pénale. Toute copie ou impression de ce fi-chier doit contenir la présente mention de copyright.Article numérisé dans le cadre du programmeNumérisation de documents anciens mathématiqueshttp://www.numdam.org/B.ISUR UNTHÉORÈME DE M. DARBOUXET SURLES CONGRUENCES DE DROITES,PAR M. E. COSSERAT,Chargé d’un Cours complémentaire à la Faculté des Sciences de Toulouse.1. Les systèmes triples orthogonaux pour lesquels les trajectoiresorthogonales d’une des familles sont planes ont été considérés d’abord,dans un de ses Mémoires sur les systèmes orthogonaux (’), par M. Darboux,qui s’est attaché particulièrement au cas où les trois familles ont toutesleurs lignes de courbure planes. Ribaucour considéra ensuite le cas où lestrajectoires orthogonales sont des cercles et créa la théorie des systèmescycliques dont le lien, découvert par Darboux, avec le problème de ladéformation, constitue un des plus beaux théorèmes de la théorie des sur-faces. Darboux remarqua d’ailleurs (2) que son théorème n’était qu’uncas particulier du suivant : :Pour trouver la congruence la plus générale formée de courbesplanes situées dans les plans tangents d’une surface (03A3) et qui sont lestrajectoires orthogonales d’une famille de Lamé (3), on prendra t’unequelconque (E’) des surfaces applicables sur (E), et l’on construiratoutes les courbes (C’) qui sont à l’intersection des plans tangents~ (~) G. DARBOUX, Sur les surfaces orthogonales l’École Normale rieure, rrP série, t. III).(2) M. Darboux a bien voulu me communiquer qu’il avait énoncé, sans démonstration,cette remarque dans une de ses Leçons du premier trimestre de l’année I89I.(3) Nous employons cette expression pour désigner, ainsi que le font plusieurs géomètres,l’une des familles d’un système triple orthogonal. de (03A3’) ct cl’mac développable (0394) circonscrite au cercle de l’infini. Si lasurface (03A3’) sc déforme cn entraînant lcs courbes (C’), clc manière àvenir coïncider avec la surface proposée (03A3), la congruence dcs courbes( C’ ) sc dans la congruence cherchée.Il faut ajouter, pour être complet, qu’une partie du théorème précédenta été énoncée, dans les Comptes rendus du août I89I, par Ribaucour,qui n’avait pas connaissance des résultats plus complets de àl. Darboux et(pic M. Blanchi (’) a publié un beau Mémoire, daté de novembre etconsacré aux systèmes triples cn question.2. Je me propose (rétablir le théorème général de M. Darboux en lerattachant en somme, il une propriété remarquable des congruences dedroites; je commencerai toutefois par indiqucr comment on peut le démon-trer, en utilisant les propositions connues de la théorie des sys-tèmes cycliques.Démontrons d’abord que la congruence des courbes (C’) construites,comme il a été indiqué, au moyen d’une développable (~) circonscrite aucercle de l’infini, satisfait à la question. Considérons les cercles qui sont àl’intersection des plans tangents de (~’) et d’une sphère de rayon nul ayantson centre en un point M de l’arête de rebroussement de (4); ces cerclessont osculateurs aux courbes (C’) et ils forment, lorsque (~’) s’appliquesur (2), un système cyclique; les points où ils sont alors orthogonaux à unemême surface étant primitivement sur une génératrice de la sphère derayon nul considérée, il en résulte que ces cercles sont orthogonaux, enparticulier, à la surface lieu des points où ils touchent les courbes (C’)correspondantes. Cela posé, la proposition résulte soit de la réciproque duthéorème bien connu de Ribaucour sur les cercles osculateurs aux trajec-toires d’une famille de Lamé, soit encore de ce que, lorsque le point Mvarie, les lignes de courbure des trajectoires des cercles du système cycliquecorrespondent toujours au réseau conjugué commun à (~) et à (~’) et, parsuite, se correspondent entre elles.Inversement, considérons une congruence de courbes (C’) satisfaisant àL. BIANCHI, Sui sistemi tripli ortogonali che contengono una senie d,i super ficiecon un sistema di linee di curvatura piane (Annali di Matematica pura ed appliccta,série II, t. XJX).la question; les cercles osculateurs à ces courbes en tous les points d’unesurface qui leur est orthogonale forment, d’après le théorème de Ribau-cour déjà cité, un système cyclique; les lignes de courbure des trajectoiresdes cercles dans ces différents systèmes cycliques devant se correspondre,il en résulte qu’elles correspondent à un même réseau conjugué tracé surl’enveloppe (S) des plans des courbes (C’). Ce réseau conjugué est communà (~) et à une surface (~’) applicable sur (E); si ce réseau conjugué,comme c’est le cas général, ne reste pas conjugué sur une troisième surfaceapplicable sur (~), il est clair que le théorème est démontré. Mais il n’enest plus de même si le réseau conjugué considéré reste conjugué sur unetroisième surface provenant de la déformation de (E) et, par suite, sur uneinfinité de telles surfaces. Le théorème est encore vrai dans ce cas, ainsique nous l’établirons plus loin.3. Rappelons rapidement quelques résultats relatifs aux congruences decourbes planes.Introduisons le trièdre (T), dépendant de deux paramètres u et v, dontle plan des xy est le plan d’une des courbes planes et dont l’axe des estla normale à ce plan au point de contact avec son enveloppe (~). Adop-tons, de plus, les notations des Leçons de Darboux. Nous définirons lacongruence de courbes planes de la façon suivante. Soit, dans le plandes xy,l’équation d’une droite; si ( et t sont des fonctions données de u, v et d’unparamètre c~, la droite enveloppera, lorsque u et v seront constants, unecourbe plane (C’); i et u, v variant, les positions de (C’) formeront la con-gruence considérée.Les coordonnées d’un point de (C’) seront définies, en fonction de u,v, w, par les formules .PosonsLes coordonnées du centre de courbure de (C’) correspondant au pointconsidéré serontet l’on auraCela posé, considérons une surface de la congruence; si 03B8 désigne l’undes angles que fait, avec le plan des xy, le plan tangent à cette surface enun point y) de ((~’ ~, l’application des formules (B ) de 1Z. Darhouxdonne immédiatementen posantParmi les surfaces de la congruence passant par une courbe (C’), consi-avec M. Darboux, celles qui admettent en M pour une de leursdirections principales la tangente à la courbe; il est clair qu’elles véri-fient l’équation différentielle suivante, où cw est supposé remplacé par lavaleur qui correspond au point MSi l’on écrit que les deux séries de surfaces, dont on vient de rappelerl’existence, sont toujours rectangulaires, on trouve, comme on sait, la con-dition pour que les courbes de la congruence admettent des surfaces tra-j ectoires orthogonales.Cherchons directement cette condition; supposons qu’il existe une sur-face coupant à angle droit toutes les courbes de la congruence ; cette sur-face s’obtiendra en remplaçant w, dans les valeurs de x et y, par unecertaine fonction de u, v qui sera définie, comme on le voit immédiatement,par l’équation aux différentielles totalesoù l’on a poséc’est-à-direSupposons la condition d’intégrabilité vérifiée identiquement; l’intégralede l’équation aux différentielles totales renfermera un paramètre arbitraire.Nous pouvons effectuer un changement de variable consistant à prendrepour variable, au lieu de w, ce paramètre. Supposons que ce changementde variable ait été effectué tout d’abord, en sorte que w soit précisémentle paramètre en question. On aura alorsCes équations déterminent ~ et t en fonction de u, v, w, de façon à obtenirdes courbes planes orthogonales à une famille de surfaces.4. Ces préliminaires établis, abordons la recherche des courbes planesorthogonales à une famille de Lamé en supposant connue la surface (~)enveloppe des plans des courbes planes.Adoptons pour variables u et p celles qui correspondent aux lignes decourbure de toutes les surfaces trajectoires et pour ~ la variable dont ilvient d’être question. Si l’on introduit les deux séries de surfaces deDarboux considérées au numéro précédent ou encore si l’on appliquele théorème de Joachimsthal, on trouve immédiatement dans les deux cas,les équations suivantes du problèmeLes deux dernières peuvent être remplacées, en introduisant deux auxi-liaires et par le système suivant :D’ailleurs, si l’on tient compte des relations obtenues en différentiantces dernières équations, les équations AI = o, M, = o se transforment Im-médiatement dans les suivanteset, par suite, peuvent être remplacées parAinsi la question est ramenée à l’intégration du système ( ~ ~ où p, et ~.._sont des inconnues auxiliaires ne dépendant que de u et v. de cerésultat que nous allons déduire le théorème de Darboux en rattachantl’étude du système (l~ à celle des congruences de droites distribuées dansles plans tangents de la surface (~).5. Faisons correspondre, à chaque position du plan des xy du trièdre (T),une droite située dans ce plan et définie par l’équationoù t et ( sont des fonctions données de u et v; on engendre ainsi la con-gruence de droites la plus générale. Supposons que u et v soient les para-mètres des développables de la congruence ; t et ( seront alors définis enfonction de u et v par le système (i), où ~, et sont deux inconnues auxi-liaires qui ont une interprétation géométrique simple. Leurs inverses ontpour valeurs tang03B81 et tang62, 0, et 62 désignant des angles faits respecti-vement avec le plan des xv par les plans focaux de la congruence.Si l’on se donne une congruence de droites rapportée à ses dévelop-pables, il en résultera pour ~., et ~.2 des valeurs connues; inversement,cherchons les congruences de droites rapportées à leurs développables quiconduisent à ces valeurs de p, et ~,2.Introduisons les deux symboles de M. Christoffel :construits avec la forme quadratique différentielle qui est le carré de l’élé-ment linéaire de la représentation sphérique et posonsSi l’on égale les deux valeurs de .. déduites du système (i) ainsi queles deux valeurs de au déduites du même système, il vient les deux équa-tions sui van tes:Ces équations fournissent, en général, pour a et b deux systèmes de va-leurs. L’un d’eux est celui d’où l’on est parti; quant à l’autre, il ne satisferapas, en général, à la question posée.6. Nous n’insisterons pas, pour le moment, sur les propositions qui sedéduisent immédiatement de la considération des deux équations précé-dentes ; le cas où ces équations sont toutes deux identiques correspond àune propriété des congruences de droites qui entraîne comme conséquencele théorème de Darboux.Attachons-nous surtout à la démonstration de ce dernier théorème.Remarquons d’abord qu’elle peut être présentée d’une façon bien simplesi l’on a égard uniquement à la proposition directe. Nous pouvons, en effet,poser, a priori, en vertu du théorème de Joachimsthal, les équations ( 11,et u~~ sont indépendants de cw; cela résulte évidemment de ce qui aété dit au numéro précédent. Il en résulte également que, pour obtenir unesolution du problème posé, il faut que les équations (2) soient séparémentidentiques.Ecartons immédiatement le cas où = ~1.,, = i; ~ la solution correspon-dante s’obtient en coupant les plans tangents de (~) par une développablecirconscrite au cercle de l’infini et rentre d’ailleurs dans le théorème deDarboux.Ce cas écarté, il vient les équationsLa première relation exprime que le réseau (u, v) est conjugué sur ~~~;la seconde permet d’exprimer ~~~, et u,.> en fonction d’une auxiliaire cr par lesf ormulesPortant dans les deux dernières, il vientB.2Supposons que le réseau (u, v) soit conjugué sur (E) et que les deuxéquations (2) aient une solution commune ~; si l’on poseil existe alors un trièdre mobile (T’) dont les translations sont les mêmesque celles de ( T ) et dont les rotations sont p’, q’, r, p~ ~ ~ ; ; l’axe des zde ce trièdre (T’) est normal à l’origine à une surface (~’) applicablesur (~). D’ailleurs, les équations (1), qui déterminent ( et t en fonctionde u, v, w, peuvent se mettre sous la forme suivantece qui met en évidence le théorème de M. Darboux.

Sur un théorème de M. Darboux et sur les congruences de droites

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Sur un théorème de M. Darboux et sur les congruences de droites

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