E. Cosserat

Annales de la Faculté des Sciences de Toulouse

ANNALES DE LA FACULTÉ DES SCIENCES DE TOULOUSEE. COSSERATSur la cyclide de DupinAnnales de la faculté des sciences de Toulouse 1re série, tome 6, no 2 (1892), p. F1-F7<http://www.numdam.org/item?id=AFST_1892_1_6_2_F1_0>© Université Paul Sabatier, 1892, tous droits réservés.L’accès aux archives de la revue « Annales de la faculté des sciences de Toulouse »(http://picard.ups-tlse.fr/~annales/) implique l’accord avec les conditions générales d’utilisa-tion (http://www.numdam.org/conditions). Toute utilisation commerciale ou impression sys-tématique est constitutive d’une infraction pénale. Toute copie ou impression de ce fi-chier doit contenir la présente mention de copyright.Article numérisé dans le cadre du programmeNumérisation de documents anciens mathématiqueshttp://www.numdam.org/F.ISURLA CYCLIDE DE DUPIN,PAR M. E. COSSERAT,Astronome-Adjoint à l’Observatoire de Toulouse,Chargé d’un Cours complémentaire à la Faculté des Sciences.I. - Fornaulcs nelatices à la cyclide générale de Dupin, rapportéeà ses liérncà de courbure.La cyclide de Dupin doit être comptée parmi les plus remarquables dessurfaces particulières ; nous allons montrer comment on peut aisément con-stituer, à l’égard de cette surface, un Tableau de formules analogue à celuique l’on trouve pour l’ellipsoïde au Tome II (p. 379 et suiv.) des LcÇons deM. Darboux.On sait ( ~ ) que l’on obtient la même cyclide générale de Dupin, soit encherchant l’enveloppe de la sphèreoù x’, y’ sont des fonctions de u, définies par les équationssoit en cherchant l’enveloppe de la sphèreoù x", z’" sont des fonctions de Pt, définies par les équations(i ) D.1RBOU!i, Leçons sur la théorie générale des surfaces, t. II, p. 268.Cette proposition de Dupin permet de trouver simplement les expres-sions des coordonnées rectangulaires d’un point de la surface en fonctiondes paramètres u1 et v, . Il en résulte, en effet, que les coordonnées d’unpoint de la surface satisfont aux quatre équations compatiblesque l’on résout immédiatement en remarquant que l’on obtient une équa-tion linéaire en retranchant la première et la troisième équation.PosonsIl vientLa surface est rapportée à ses lignes de courbure, en vertu de la signifi-cation géométrique des paramètres u et v; cela résultera aussi, d’ailleurs,de ce qui va suivre.Remarquons qu’il serait bien facile de transformer les expressions de x,y, z sans changer les courbes coordonnées, de façon à obtenir des fonctionsrationnelles des nouveaux paramètres et à mettre ainsi en évidence la repré-sentation de la surface sur le plan.Appliquons maintenant les considérations développées par M. Darbouxt. Il, p. 376 et suiv.) au calcul des fonctions qui interviennentdans les formules de Codazzi.On trouve, pour définir le carré de l’élément linéaire, yles formulesen posantCalculons les quantités D, D’, D" définies par l’identitéIl vientSi l’on suppose que les axes des x et des y du trièdre (T) coïncidentavec les tangentes aux lignes coordonnées ( v) et ( u ), on trouve ensuiteLes formules (i) et ( 2 ) contiennent tous les éléments nécessaires pourl’étude complète de la surface.L’équation des asymptotiques serac’est-à-direLes rayons de courbure principaux auront pour valeursSur chaque ligne de courbure, le rayon principal correspondant resteconstant.Il. - Application dcs formules précédentes.Nl. 0. Bonnet a démontré, comme application des formules de Co-dazzi 1 ’ ), que si une surface est telle que sur chaque ligne de courbure lerayon principal correspondant à cette ligne soit constant, la surface est unecyclide de Dupin. Les formules précédentes permettent d’arriver directe-ment à ce résultat.Remarquons, avec ~1. Bonnet, que les lignes (u) et (v) étant les lignesde courbure d’une surface, les axes des x et des y du trièdre (T) coïncidantavec les tangentes aux lignes coordonnées et l’élément linéaire étant prissous la formeles relationspermettent de substituer R, R’ à q et à p, dans les équations de Codazzi.On obtient ainsi le système(1) O. BONNET, Addition au Mémoire sur la théorie des surfaces applicables sur unesurface donnée (Journal de l’École Polytechnique, XLIIe Cahier, p. t2o).qui contient toutes les relations existant entre les rayons de courbure prin-cipaux et l’élément linéaire de la surface.Ceci posé, dans le cas actuel, nous pouvons choisir les paramètres u et ç,de façon que l’on aitPortons ces valeurs dans les deux premières équations (3), il vientdonc, si l’on désigne par U une fonction de u et par V une fonction de v,on aIl reste à voir si l’on peut déterminer les fonctions U et V de façon quela troisième des équations (3) soit vérifiée, c’est-à-dire de façon que l’onait l’identitéOr, si l’on différentie deux fois par rapport à u, on trouveEn différentiant deux fois par rapport on trouve de mêmeIl en résulte que U2 et V2 ne peuvent être que deux trinômes du seconddegré en u et vSi l’on substitue ces expressions dans l’identité, on trouvedonc, en désignant par a, b, k trois nouvelles constantes, en général, U2et V2 ont les expressions suivantesLa surface cherchée est, par suite, constituée, ainsi qu’on le voit immé-diatement, par l’une des différentes formes de la cyclide de Dupin.III. - Surface moyenne et développée moyennede la cyclide de Dupin.Considérons la surface moyenne d’une cyclide de Dupin (D), c’est-à-dire la surface formée par le lieu du milieu 11e du segment limité par lescentres de courbure principaux de (D). C’est une surface du quatrièmeordre ayant une conique double et quatre points doubles, ces derniers àl’infini.Les normales de la cyclide de Dupin rencontrent deux coniques focalesl’une de l’autre ; il en résulte qu’il existe sur (M) un système conjuguéformé de coniques dont les plans sont respectivement parallèles à deuxplans fixes rectangulaires.Ce système conjugué est la trace sur (M) des développables de la con-gruence formée par les normales de ( D ); la surface (M) correspond doncpar orthogonalité des éléments à une surface minima telle que l’image sphé,rique de ses asymptotiques coïncide avec l’image sphérique des lignes decourbure de (D). La surface adjointe de cette surface minima aura mêmereprésentation sphérique de ses lignes de courbure que(D) et sera, par con-séquent, une surface minima à lignes de courbure planes de M. 0. Bonnet.Donc : :La surface moyenne de la cyclide de Dupin correspond par ortho-gonalité des éléments à la surface adjointe d’u, ne surface minima àlignes de courbure planes de M. O. Bonnet.F.7Considérons maintenant la développée moyenne de la cyclide deDupin (D), c’est-à-dire la surface enveloppe du plan mené perpendiculai-rement à chaque normale de (D) au point qui est à égale distance descentres de courbure principaux relatifs à la normale considérée. Les nor-males de (D) rencontrant deux courbes, il en résulte qu’aux lignes decourbure de la cyclide de Dupin correspondent sur sa développée moyennedes courbes formant un système conjugué; d’ailleurs, ce système conjuguéest formé des lignes de courbure, puisque la correspondance entre les deuxsurfaces est établie par plans tangents parallèles ; on peut donc énoncer lethéorème suivant, dû à M. Ribaucour : :La cyclide de Dupin ct sa développée moyenne ont même représen-talion sphérique de leurs lignes de courbure.Il résulte de ce théorème la proposition suivante : :La développée moyenne de la cyrlide de Dupin csc une surface donttoutes les lignes de courbure sont planes.

Sur la cyclide de Dupin

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