P. Appell

Annales de la Faculté des Sciences de Toulouse

ANNALES DE LA FACULTÉ DES SCIENCES DE TOULOUSEP. APPELLSur l’équilibre d’un fil flexible et inextensibleAnnales de la faculté des sciences de Toulouse 1re série, tome 1, no 1 (1887), p. B1-B5<http://www.numdam.org/item?id=AFST_1887_1_1_1_B1_0>© Université Paul Sabatier, 1887, tous droits réservés.L’accès aux archives de la revue « Annales de la faculté des sciences de Toulouse »(http://picard.ups-tlse.fr/~annales/) implique l’accord avec les conditions générales d’utilisa-tion (http://www.numdam.org/conditions). Toute utilisation commerciale ou impression sys-tématique est constitutive d’une infraction pénale. Toute copie ou impression de ce fi-chier doit contenir la présente mention de copyright.Article numérisé dans le cadre du programmeNumérisation de documents anciens mathématiqueshttp://www.numdam.org/B.ISURL’ÉQUILIBRE D’UN FIL FLEXIBLE ET INEXTENSIBLE,PAR M. P. APPELL.L’objet de cette Note est de compléter et de démontrer directement unthéorème dont l’énoncé a été indiqué dans une Note présentée à l’Académiedes Sciences dans la séance du 12 mars 1 883. AConsidérons un fil flexible et inextensible entièrement libre, dont l’élé-ment de longueur ds est sollicité par la force Fds, ayant pour projections, .sur trois axes rectangulaires,où X, Y, Z sont des fonctions des seules coordonnées x, y, z du point d’ap-plication. Admettons, de plus, qu’il existe une fonction des forces U, c’est-à-dire queSi l’on désigne par T la tension, les équations d’équilibre sontd’où l’on déduit immédiatement~~, étant une constante arbitraire. Cela posé, pour trouver les intégrales deséquations d’équilibre ( 1 ~, on peut procéder de la façon suivante :Considérons l’équation aux dérivées partiellesqui définit 0 comme fonction de ce, y, z, et supposons que l’on ait trouvéune intégrale complètecle cette équation avec les deux constantes arbitraires oc et 03B2 distinctes deh et de la constante que peut toujours ajouter à 0. Les intégralesdes équations d’équilibre (1) sont alors les suivantesa’, 1’, h’ étant de nouvelles constantes et s désignant l’arc de la courbed’équilibre compté positivement dans un sens convenable.Pour démontrer ce théorème, nous allons faire voir, en suivant la mé-thode indiquée par Jacobi dans ses Vorlesungen über Dynamik, que lesvaleurs de x, y, z en fonction de-s, tirées des équations (4), vérifient leséquations différentielles ( I ) et l’équationCalculons a or dx ds, dy ds, dz ds; pour cela, il faudra différentier les équa-tions (4) en y considérant x, y, z comme des fonctions implicites de sdéfinies par ces équations. Nous aurons ainsi .D’autre part, si, dans l’équation différentielle (3), on met à la place de 0 lafonction trouvéele résultat de la substitution sera identique en x, y, z, et, ~, IL, Si nous pre- $nous les dérivées partielles de cette identité (,~ ) par rapport à «, ~ et Asuccessivement, nous auronsLes équations 5 sont trois équations du premier degré en dx ds, dy ds , ‘lv , etles équations (6) sont du premier degré en a0, d0 ? a0 , De plus, les tions ( 5 ) se déduisent des équations ( ~ ) par la substitution deOn aura doncEn faisant la somme des carrés de ces trois équations et tenant compte dela relation (3 ), on trouve la relationqui montre que s est bien l’arc de la courbe. Si, dans les équations ci-dessus,on remplace U + A par - T, elles deviennentd’où, en différentiant,mais, en différentiant l’identité (3) par rapport à x, il vientdonc l’équation précédente devientet l’on trouverait de mêmeéquations qui ne sont autre chose que les équations d’équilibre (I). Le théo-rème est donc démontré.Supposons que l’on veuille déterminer les constantes qui figurent dans lesintégrales ( 4 ) par la condition que la courbe passe par deux points. et ait, entre ces deux points, une longueur l. Alors, en posantB.5on aura à résoudre, par rapport à «, ~3 et h, les trois équationsOn pourrait facilement appliquer la méthode d’intégration que nous ve-nons d’exposer à chacun des cas particuliers suivants :10 La fonction U dépend uniquement de la distance du point (x, y, z )à un plan fixe ;~ ~° U dépend seulement de la distance du point (x, y, ~ ) à un axe fixe ;3° U dépend seulement de la distance du point (x,y, z) à un point fixe.Mais les calculs qu’il faudrait faire dans ces trois cas ne seraient que larépétition de ceux de Jacobi, dans ses Vorlesungen über Dynamik, parexemple dans la XXIVe Leçon; il serait sans intérêt de les reprendre ici.

Sur l'équilibre d'un fil flexible et inextensible

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