Gilles Lachaud

Safia Haloui

Yves Aubry

Comptes Rendus Mathématique

C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 350 (2012) 907–910Contents lists available at SciVerse ScienceDirectC. R. Acad. Sci. Paris, Ser. Iwww.sciencedirect.comGéométrie algébriqueSur le nombre de points rationnels des variétés abéliennes et desJacobiennes sur les corps finisOn the number of points on abelian and Jacobian varieties over finite fieldsYves Aubry a,b, Safia Haloui a,c, Gilles Lachaud aa Institut de mathématiques de Luminy, Aix-Marseille université-CNRS, campus de Luminy, case 907, 163, avenue de Luminy, 13009 Marseille, Franceb Institut de mathématiques de Toulon, université du Sud Toulon-Var, avenue de l’université, 83957 La Garde cedex, Francec Department of Mathematics, Technical University of Denmark, Matematiktorvet 303 B, DK-2800 Kgs. Lyngby, Denmarki n f o a r t i c l e r é s u m éHistorique de l’article :Reçu le 31 août 2012Accepté le 2 octobre 2012Disponible sur Internet le 24 octobre 2012Présenté par Jean-Pierre SerreNous établissons de nouvelles majorations et minorations pour le nombre de pointsrationnels des variétés abéliennes et des Jacobiennes sur un corps fini. Nous déterminonsde plus les nombres maximum et minimum de points rationnels des surfaces Jacobiennessur un corps fini donné.© 2012 Publié par Elsevier Masson SAS pour l’Académie des sciences.a b s t r a c tWe give upper and lower bounds for the number of points on abelian and Jacobianvarieties over finite fields. We also determine the values for the maximum and minimumnumber of points on Jacobian surfaces on a given finite field.© 2012 Publié par Elsevier Masson SAS pour l’Académie des sciences.1. Variétés abéliennesSoit A une variété abélienne de dimension g sur le corps fini Fq , avec q = pe . Le polynôme de Weil f A(t) de A est lepolynôme caractéristique de son endomorphisme de Frobenius F A . On note ω1, . . . ,ωg,ω1, . . . ,ωg les racines de f A(t),et |ωi | = q1/2. Pour 1  i  g , on pose xi = −(ωi + ωi), et on dit que A est de type [x1, . . . , xg]. Le type de A dépenduniquement de sa classe d’isogénie. On note τ = τ (A) = −∑gi=1(ωi + ωi) = ∑gi=1 xi l’opposé de la trace de F A et on ditque A est de trace −τ . Le nombre de points rationnels de A sur Fq est∣∣A(Fq)∣∣ = f A(1) = g∏i=1(q + 1 + xi). (1)Puisque |xi |  2q1/2, on déduit de (1) les bornes classiques :(q + 1 − 2q1/2)g  ∣∣A(Fq)∣∣  (q + 1 + 2q1/2)g .Ces bornes peuvent être améliorées :Adresses e-mail : yves.aubry@univ-tln.fr (Y. Aubry), s.haloui@mat.dtu.dk (S. Haloui), lachaud@univ-amu.fr (G. Lachaud).1631-073X/$ – see front matter © 2012 Publié par Elsevier Masson SAS pour l’Académie des sciences.http://dx.doi.org/10.1016/j.crma.2012.10.001908 Y. Aubry et al. / C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 350 (2012) 907–910Théorème 1.1. Soit A une variété abélienne sur Fq de dimension g, et posons m = [2√q]. Alors(q + 1 − m)g  ∣∣A(Fq)∣∣  (q + 1 + m)gavec égalité à droite (resp. à gauche) si et seulement si A est de type [m, . . . ,m] (resp. [−m, . . . ,−m]).On peut être plus précis en introduisant la trace :Théorème 1.2. Soit A une variété abélienne sur Fq de dimension g et de trace −τ . Alors∣∣A(Fq)∣∣ (q + 1 + τg)g,avec égalité si et seulement si A est de type [τ/g, . . . , τ /g].Ce résultat a été démontré par H.G. Quebbemann [5] pour les Jacobiennes et par M. Perret [4] pour les variétés de Prym.On dit que A (ou τ ) est de défaut d si τ = gm − d. On a :Proposition 1.3. Si A est de défaut d, avec d = 1 ou d = 2, alors∣∣A(Fq)∣∣  (q + m)d(q + 1 + m)g−d.Le résultat suivant donne une minoration pour |A(Fq)|, qui est symétrique de la borne supérieure du Théorème 1.2, etqui dépend du quotient de Specht [6] défini pour h  1 parS(h) = h1/(h−1)e log h1/(h−1), S(1) = 1.Théorème 1.4. Si q  2, posons h(q) = ((q1/2 + 1)/(q1/2 − 1))2 et M(q) = 1/S(h(q)). Soit A une variété abélienne définie sur Fq dedimension g et de trace −τ . Alors∣∣A(Fq)∣∣  M(q)g(q + 1 + τg)g.De plus M(2)  0.261 et M(q)  1 − (2/q).Théorème 1.5. Soit A une variété abélienne sur Fq de dimension g et de trace −τ . Alors∣∣A(Fq)∣∣  (q + 1 − m)g + (q − m)g−1(gm + τ ).En utilisant les méthodes de convexité de M. Perret [4], on obtient :Proposition 1.6. Posons r = [(g + [ω])/2] et s = [(g − 1 − [ω]/2], où ω = τ/(2q1/2). Alors∣∣A(Fq)∣∣  (q + 1 + τ − 2(r − s)q1/2)(q + 1 + 2q1/2)r(q + 1 − 2q1/2)s.On note η(A) la moyenne harmonique des nombres q + 1 + xi :1η(A)= 1gg∑i=11q + 1 + xi =1gg∑i=11|1 − ωi |2 .Il est possible de minorer |A(Fq)| en fonction de η(A) :Théorème 1.7. Soit A une variété abélienne sur Fq de dimension g. Alors |A(Fq)|  η(A)g .On démontre que si q  8, alors η(A)  q + 1 − m. Le Théorème 1.7 est donc plus précis que le Théorème 1.1 si q  8.Notons que si q  7, on peut avoir η(A) < q + 1 − m.Y. Aubry et al. / C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 350 (2012) 907–910 9092. JacobiennesPar une courbe sur Fq , on entend une courbe algébrique projective, lisse, et absolument irréductible définie sur Fq . Si Cest une telle courbe, on note J C sa Jacobienne et N = |C(Fq)| le nombre de ses points sur Fq . Les résultats de la Section 1s’appliquent évidemment aux Jacobiennes ; en particulier, le Théorème 1.4 implique :Proposition 2.1. Si C est une courbe sur Fq de genre g, alors :∣∣ JC (Fq)∣∣  M(q)g(q + 1 + N − (q + 1)g)g.Les Propositions 1.5 et 1.6 fournissent des bornes sur les Jacobiennes de la même manière. Si A est une variété abéliennesur Fq de dimension g , on note P (t) = P A(t) le polynôme réciproque de f A(t). On définit d’abord la fonction zêta virtuelle denumérateur P (t) comme la série formelle :Z(t) = P (t)(1 − t)(1 − qt) ∈ Z[[t]],et on introduit ensuite trois suites d’entiers (An), (Bn), (Nn) par les identités suivantes :Z(t) =∞∑n=0Antn = exp∞∑n=1Nntnn=∞∏n=1(1 − tn)−Bn . (2)Comme démontré dans [3] pour une Jacobienne, on aThéorème 2.2. Supposons g  2. Avec les notations précédentes,gη(A)∣∣A(Fq)∣∣ = g−1∑n=0An +g−2∑n=0qg−1−n An. Si A = JC est la Jacobienne d’une courbe C sur Fq , alors An (resp. Bn) représentent respectivement les nombres dediviseurs rationnels effectifs (resp. premiers) de degré n de C , et Nn = |C(Fqn )|. Dans ce cas, les deux conditions suivantessont vérifiées :Bn  0 si 1  n  2g, (B)Nn  N1  0 si 1  n  2g. (N)En fait, ces conditions sont vérifiées pour tout n  1. La proposition suivante, qui améliore certains résultats deN. Elkies et al. [1], montre que les conditions (B) et a fortiori (N) ne sont propres aux Jacobiennes que si g est suffisammentgrand devant q.Proposition 2.3. Soit A une variété abélienne sur Fq de dimension g  1. Si n  2, alorsnBn (qn/4 + 1)2((qn/4 − 1)2 − 2g).Le théorème suivant s’applique évidemment aux Jacobiennes.Théorème 2.4. Soit A une variété abélienne définie sur Fq de dimension g  2. Si la condition (B) est vérifiée, alors∣∣A(Fq)∣∣  q − 1qg − 1[(N + 2g − 22g − 1)+2g−3∑n=0B2g−1−n(N + n − 1n)].Si la condition (N) est vérifiée, alors∣∣A(Fq)∣∣  η(A)g[(N + g − 2g − 2)+g−1∑n=0qg−1−n(N + n − 1n)].Si la condition (N) est vérifiée, et si N  g(q1/2 − 1) + 1, alors∣∣A(Fq)∣∣ (N + g − 1g)− q(N + g − 3g − 2).910 Y. Aubry et al. / C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 350 (2012) 907–9103. Surfaces JacobiennesOn posejq(g) = minC∣∣ JC (Fq)∣∣, Jq(g) = maxC∣∣ JC (Fq)∣∣,où C parcourt l’ensemble des courbes sur Fq de genre g . Le résultat suivant s’appuie sur la détermination des classesd’isogénies des surfaces abéliennes qui contiennent une Jacobienne, voir E. Howe, E. Nart, et C. Ritzenthaler [2]. Rappelonsque le nombre q = pe , où e est impair, est spécial si p|m, ou bien s’il existe une solution entière à l’une des équationsq = x2 + 1, q = x2 + x + 1, q = x2 + x + 2.Théorème 3.1. On ajq(2) = (q + 1 − m)2, Jq(2) = (q + 1 + m)2,sauf dans les cas particuliers suivants :jq(2) q = 4 5q = 9 25q spécial {2q1/2} ϕ1 (q + 1 − m − ϕ1)(q + 1 − m − ϕ2)√2 − 1  {2q1/2} < ϕ1 (q + 2 − m +√2)(q + 2 − m − √2){2q1/2} < √2 − 1, p  m, q = 73 (q + 1 − m)(q + 3 − m)sinon (q + 2 − m)2Jq(2) q = 4 55q = 9 225q spécial {2q1/2} ϕ1 (q + 1 + m + ϕ1)(q + 1 + m + ϕ2){2q1/2} < ϕ1, p = 2 ou p|m (q + m)2sinon (q + 1 + m)(q − 1 + m)Ici ϕ1 = (−1 +√5)/2, ϕ2 = (−1 −√5)/2 et on a noté {x} la partie fractionnaire d’un nombre réel x.Les résultats présentés dans cette Note sont développés et démontrés dans un article à paraître dans la revue ActaArithmetica.Références[1] Noam D. Elkies, Everett W. Howe, Andrew Kresch, Poonen Bjorn, Joseph L. Wetherell, Michael E. Zieve, Curves of every genus with many points, II:Asymptotically good families, Duke Math. J. 122 (2) (2004) 399–422.[2] Everett Howe, Enric Nart, Christophe Ritzenthaler, Jacobians in isogeny classes of abelian surfaces over finite fields, Ann. Inst. Fourier 59 (2009) 239–289.[3] Gilles Lachaud, Mireille Martin-Deschamps, Nombre de points des jacobiennes sur un corps fini, Acta Arithmetica 16 (1990) 329–340.[4] Marc Perret, Number of points of Prym varieties over finite fields, Glasgow Math. J. 48 (2006) 275–280.[5] Heinz-Georg Quebbemann, Lattices from curves over finite fields, Preprint, April 1989.[6] Wilhelm Specht, Zur Theorie der elementaren Mittel, Math. Zeitschr. 74 (1960) 91–98.

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Aubry, Yves

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