This thesis seeks to understand the effect of the inclusion of spacial heterogeneity in
a SEIRS transmission model by considering a reaction-diffusion SEIRS model. Heterogeneity
may correspond to different factors such as the different age classes, contact or
spatial matrices, stage of the disease or behaviour. The model in study is suitable for a
non-homogeneous population in which the epidemiological parameters depend on the
spatial position of each individual.
A spatial SEIRS reaction-diffusion model is developed and we focus our theoretical
study in the existence of solutions for the equilibrium problem of the epidemic model
and their respective steady states. First a global solution of the model is shown to exist.
The disease free equilibrium (DFE) is established and its asymptotic profiles determined
depending on the basic reproduction number, R0, is defined for two distinguished problems
- one with all diffusion coefficients set as positive constants and the other with some
diffusion coefficients equal to zero. It is shown for both epidemic problems that if R0 < 1
then the DFE is locally asymptotically stable, else it is unstable.
A numerical method based on finite difference schemes is considered to approximate
the solution of the reaction-diffusion system of equations and using the proposed method
we present simulations that illustrate the theoretical results stated in the previous chapters.
Lastly, the model is parameterized according to studies for COVID-19 transmission dynamics
in Portugal. Here, we illustrate the model predictions for the non-spatial and spatial
case. Furthermore, different scenarios for the implementation of non-pharmacological
interventions are illustrated from February 2020 to June 2020. Simulations suggest that
the lockdown imposed in Portugal on the 18th of March 2020 reduced the number of
infected individuals in approximately 254490 daily cases.A presente tese de mestrado tem como objetivo compreender o efeito da inclusão da
heterogeneidade espacial em modelos epidémicos usando um modelo SEIRS de reação difusão.
A heterogeneidade pode corresponder a diferentes fatores, tais como as diferentes
classes etárias, matrizes de contacto ou espaciais, fase da doença ou comportamento. O
modelo em estudo está adaptado a uma população não homogénea em que os parâmetros
epidemiológicos dependem da posição espacial de cada indivíduo.
Inicialmente desenvolvemos o nosso estudo teórico do modelo espacial SEIRS de
reação-difusão. Demonstramos a existência de uma solução global do modelo. Para o
problema de equilíbrio associado prova-se a existência de um equilíbrio sem doença
(DFE) e é feito o estudo dos perfis assimptóticos da DFE. O número básico de reprodução,
R0, é definido para dois problemas distintos - um com todos os coeficientes de difusão
definidos como constantes positivas e o segundo com alguns dos coeficientes de difusão
definidos iguais a zero. É demonstrado para ambos os problemas epidémicos que se
R0 < 1, então a DFE é localmente assimptoticamente estável, caso contrário é instável.
Um método numérico baseado em esquemas de diferenças finitas é considerado para
aproximar a solução do sistema reação-difusão e utilizando o método proposto apresentamos
simulações que ilustram os resultados teóricos declarados nos capítulos anteriores.
Por último, o modelo é parametrizado de acordo com a literatura disponível sobre a
dinâmica de transmissão de COVID-19 em Portugal. Aqui, ilustramos as simulações do
modelo para o caso não-espacial e espacial. Além disso, são ilustrados diferentes cenários
para a implementação de intervenções não-farmacológicas entre fevereiro de 2020 e junho
de 2020. As simulações apresentadas sugerem que o confinamento imposto em Portugal
a 18 de Março de 2020 reduziu o número de indivíduos infetados em aproximadamente
254490 casos diários
