Gimena-Ramos, F.N. (Faustino N.)

Gimena-Ramos, L. (Lázaro)

Universidad de Navarra

Resolución numérica de sistemas de ecuaciones lineales. Problemas de contorno

Dadun, University of Navarra

ESTRUCTURAS Y CIMENTACIONES Revista de Edificación. RE • N2 20 • Junio 1995 Resolución numérica de sistemas de ecuaciones lineales. Problemas de contorno FAUSTINO N. GIMENA RAMOS, DR. ARQUITECTO LAZARO GIMENA RAMOS, ALUMNO INGENIERIA INDUSTRIAL 33 RESUMEN. Este artículo presenta un método de reso-lución numérica de sistemas de ecuaciones diferencia-les lineales, cualesquiera que sean las condiciones de contorno. SUMMARY. This artide presents a method of numericalIy re-solving lineal differential equations no matter the type of su-rrounding conditions. INDICE GENERAL 1. Resolución numérica de un sistema de EDO'S lineales 2. Resulución numérica de EDO'S lineales de orden n 3. Caso de aplicación del método. Efecto en la sección del elemento estructural lineal 4. Conclusiones 1. RESOLUCION NUMERICA DE UN SISTEMA DE EDO'S LINEALES. PROBLEMA DE CONTORNO S ea el siguiente sistema genérico de EDO'S lineal: df 2 (x) a21 (x) f 1 (x) + dx + a22 (x) f 2 (x)+ . .. + a2n (x) f n (x) = b 2 (x) df (x) an1 (x) f 1 (x) + an2 (x) f 2 (x)+ .. . + :Lx + ann (x) f n (x) = bn (x) donde a¡j(x), b¡(x) son funciones dato del problema y f¡(x) son las funciones incógnita. ESTRUCTURAS Y CIMENTACIONES 34 Revista de Edificación . RE • N2 20 • Junio 1995 Expresado en forma matricial y utilizacndo el operador O = d dx" 0+ el¡ 1 (x) el¡z (x) el¡ n (X) f1 (x) b1 (x) aZ1 (x) 0+ azz(x) " " a Z1 (x) f z (x) bz (x) a n1 (x) a nZ (x) " " O + a nn (x) f (x) bn(x ) n Discretizando el sistema mediante el paso de diferenciales a diferencias según el método de punto pen-diente: se obtiene: df. (x) ll . f. (x) O f. (x) = I .::. 1 I I dx ll .X f¡(X¡+1) - f¡(x) X¡+1 - x¡ para j = 1, "" "' n 1 ll . ll . ~ + el¡l (x) el¡z (x¡) 1 el¡ (x.) n 1 f 1 (x) b1 (x¡) ll . f z (x) bz (X¡) a Z1 (x¡) ~l + azz (x) a Z1 (X¡) ll .X 1 1 f (x) b (x . ) a n1 (x) anZ (x¡) a (x . ) n n 1 nn 1 Operando el primer miembro de la igualdad y multiplicando el sistema por ll ¡ x : = de donde f1 (X¡+1) 1 - el¡ 1 (X)ll¡X - el¡z (X¡ )ll¡X - el¡ n (X)ll¡X b1 (X)ll¡X f Z (X¡+1 -aZ1 (X¡)ll¡X 1 - a zz (X)ll¡X - a Zn (X¡ )ll¡X + bz (X)ll¡X f n (X¡+1 - a n1 (X)ll¡X - a nZ (X¡) ll¡X 1 - a nn (X¡ )ll¡X b n(X¡)ll¡X ESTRUCTURAS Y CIMENTACIONES Revista de Edificación. RE • Nº 20 • Junio 1995 35 Expresado en forma compacta: Aplicando la ley de recurrencia se relacionan dos puntos cualesquiera: {Fp+1} = (A)p{Fo} + {B}p siendo p (A) = fl(A 1) p p -i=O de esta manera: {F } = (A) X{F }+{B} = = e(K - 1 e(K - 1 _ e (K - 2 e (K - 2 e(K - 1 _ e (K - 2 ••• Se relacionan los k puntos en los cuales están definidas las n condiciones de contorno: O::::: m::::: H j E {l , . . . , nI Cj, e'mE R constantes fJ. (x ( m ) = e (m e J, e Por tanto, se obtiene k-l sistemas de n ecuacuines con kn incógnitas, que al introducir las n condiciones de contorno, resulta un sistema compatible determinado solución única. 2. RESOLOCION NUMERICA DE EDO'S LINEALES DE ORDEN n Sea la ecuación diferencial de orden n : in (x) + a n_l (x) i n-l (x) + ... + al (x) i (x) + a o y(x) = b(x) utilizando el operador Di Dn y(x) + a n_l (x)D n-l y(x) + .. . + al (x)D y(x) + a o (x) y(x) = b(x) mediante el campo de función Zi = Di y , Y sustituyendo Zi+l = D Zi para i = O, ... , n-l , se obtiene el siguiente sistema: D O O -1 D O -1 a o (x) al (x) a 2 (x) O -1 O O D -1 Zo (x) Zl (x) a n _ l (x) D zn _ l (x) = O O O b(x) ESTRUCTURAS Y CIMENTACIONES 36 Revista de Edificación. RE • Nº 20 • Junio 1995 que con las condiciones de contorno: Z,. (x (m) = C. (m e "e O~m~K j E {O, ... , nI Cj,e<mE R Se reduce a un caso particular del sistema de EDO'S leneales expuesto en el anterior apartado 3. CASO DE APLICACION DEL METODO. EFECTO EN LA SECCION DEL ELEMENTO ESTRUCTURAL LINEAL El sistema de ecuaciones diferenciales que relacionan la solicitación y deformación en dos secciones que distan un diferencial de arco ds, viene dado por DN -XV n + qt = o xN +DVn - <pv b + qn = o <pv n _ DV b + qb = o DI -xM n + kt = o - V b +xI +DMn -<pM b + kn = o Vn +<pM n DMb + kb = o I +Dql -Xe n -et = o GIl MnIb MbInb +xljl +Den - <pe b - en = O - -----E(InIb - I~b) E(InIb - I~b) + MnInb MbIn +<pen +De b - e b = O E (In lb - I~b) E (In 1 b - I~b) N +Du - ¿l t = O EA -X V U nn V n U nb V b - e b +X U +Dv - <p w - ¿ln = O - -- - --GA GA U bn V n U bb V n +e n +<p V + Dw - ¿lb = O - --- - ---GA GA Apurando el método, conocidas doce condiciones de contorno en los extremos del elemento estructuralli-neal (sustentaciones), se determina la solicitación y deformación en cualquier punto del elemento estructu-rallineal. 4. CONCLUSIONES • El método presentadi resuelve de una manera sencilla y general, un sistema de ecuaciones diferenciales de cualquier orden (se reducen madi ante cambios de función de primer orden) una vez conocidas las condi-ciones de contorno en cualesquiera puntos. • Se pueden utilizar otros métodos para la discretización del sistema (Euler modificado, punto-medio ... ) aumentando la aproximación y convergencia a ñla solución. • La programación es más sencilla • El coste de computación es inferior al empleado en la aplicación de otros métodos como diferencias fini-tas, método del tiro ... 

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