Einsiedler, Manfred

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Jahresber Dtsch Math-Ver (2011) 113:179–182DOI 10.1365/s13291-011-0025-8B U C H B E S P R E C H U N GAlexander Gorodnik and Amos Nevo:“The Ergodic Theory of Lattice Subgroups”Princeton University Press, 2010Manfred EinsiedlerOnline publiziert: 10. August 2011© Vieweg+Teubner und Deutsche Mathematiker-Vereinigung 2011Die Ergodentheorie beschäftigt sich mit dynamischenSystemen unter Verwendung eines statistischen Ge-sichtspunktes. Ein dynamisches System kann zum Bei-spiel aus einer Abbildung T : X → X auf einem RaumX bestehen und ein wichtiger Aspekt der Theorie ist dieUntersuchung der Bahnen{T n(x) : n = 0,1,2, . . .}eines Punktes x ∈ X. Für einen gegebenen Ausgangs-punkt kann diese Untersuchung mitunter sehr schwierigsein, aber die Untersuchung der Bahnen typischer Punk-te ist oft viel einfacher. Das Wort „typisch“ ist in diesemZusammenhang bzgl. eines invarianten Wahrscheinlich-keitsmaßes zu verstehen.Allgemeiner besteht ein dynamisches System aus einer Gruppenwirkung· : G × X → X, (g, x) ∈ G × X → g · x.Ein Wahrscheinlichkeitsmaß μ auf X heißt G-invariant falls μ(g−1 · B) = μ(B) füralle g ∈ G und alle meßbaren B ⊂ X. Ein invariantes Wahrscheinlichkeitsmaß μ aufX heißt ergodisch, falls für ein meßbares B ⊂ X mit g−1 ·B = B für alle g ∈ G folgt,daß μ(B) ∈ {0,1}. Also muß jede invariante Menge B erfüllen, daß B entweder fastleer oder fast ganz X sein muss.M. Einsiedler ()Zürich, Schweize-mail: manfred.einsiedler@math.ethz.ch180 M. EinsiedlerOft schränkt man sich in der Untersuchung auf ergodische invariante Maße ein,was aus zwei Gründen keine sehr drastische Einschränkung ist. Erstens sind vielenatürliche invariante Maße ergodisch (außer wenn Invarianten vorhanden sind) undzweitens läßt sich (mittels Choquet’s Theorem) jedes invariante Wahrscheinlichkeits-maß in ergodische Wahrscheinlichkeitsmaße zerlegen.Als Beispiel für obige Behauptung, daß Bahnen typischer Punkte einfacher zuuntersuchen sind, wollen wir folgende Aussage beweisen. Für ein ergodisches in-variantes Wahrscheinlichkeitsmaß μ gilt für μ-fast alle x ∈ X, daß der Abschlußder Bahn G · x gleich dem Träger des Maßes μ ist. Hier nehmen wir an, daß Xeine abzählbare Basis der Topologie hat, und zur Einfachheit auch, daß G abzähl-bar ist. In diesem Fall gilt für jede offene Menge O mit μ(O) > 0, daß die BahnG · O = {g · x : g ∈ G,x ∈ O} invariant ist und daher μ(G · O) = 1 erfüllen muß.Wendet man dies auf alle offene Mengen in der Basis, die den Träger von μ schnei-den, an, und nimmt man den abzählbaren Durchschnitt der so erhaltenen meßbarenMengen vom Maß eins, ergibt sich die Aussage.Eine wichtige Verallgemeinerung obiger Untersuchung des Abschlusses der Bahnist die Untersuchung der Verteilung der Bahn. Einer der grundlegenden Sätze derErgodentheorie ist der Birkhoffsche Ergodensatz von 1931, welcher diese Frage nachder Verteilung der Bahn für eine Abbildung beantwortet. Genauer formuliert: Füreine Abbildung T : X → X, ein gegebenes invariantes Wahscheinlichkeitsmaß μ aufX und eine integrierbare Funktion f auf X gilt, daß der GrenzwertlimN→∞1NN−1∑n=0f (T nx) = F(x)für μ-fast alle x ∈ X existiert. Unter Verwendung der Fast-Invarianz von Intervallenin N sieht man schnell, daß F(x) = F(T (x)) gelten muß, wenn nur der Grenzwertfür x existiert. Falls μ zusätzlich ergodisch ist, dann ist F(x) = ∫ f dμ für μ-fast allex. Dieser Ergodensatz wurde im letzten Jahrhundert mehrmals verallgemeinert. Einnatürlicher Gültigkeitsbereich dieses Satzes, nämlich der aller Gruppenwirkungenvon Gruppen, auf denen fast invariante Teilmengen existieren – sogenannte mittelbareGruppen, wurde 1999 in einer Arbeit von Elon Lindenstrauss erreicht.In dem Buch ‚The Ergodic Theory of Lattice Subgroups‘ geht es um Gruppenwir-kungen von halbeinfachen Liegruppen, wie zum Beispiel G = SL(n,R), und Gitternin diesen, zum Beispiel  = SL(n,Z). Allgemeiner werden auch p-adische Liegrup-pen und Liegruppen über einem lokalen Grundkörper mit positiver Charakteristikund Produkte von diesen Gruppen erlaubt. Solche halbeinfachen Liegruppen sindnicht mittelbar und somit ist der oben erwähnte Ergodensatz nicht anwendbar. Aufden ersten Blick ist es nicht einmal klar, wie man obige Mittelbildungen über Teileder Bahnen verallgemeinern sollte. Wie aber Gorodnik und Nevo in ihrem Buch zei-gen, gibt es viele Familien von Teilmengen, wie zum Beispiel Kugeln bezüglich einerlinksinvarianten Metrik auf G, für die Ergodensätze gelten. In der Tat sind diese Sät-ze oft viel stärker als ihre Vorgänger für mittelbare Gruppen. Um diesen Unterschiedzu erklären wollen wir eine Version eines dieser Sätze formulieren.Sei  = SL(n,Z) für n ≥ 2. Sei t = {γ ∈  : log‖γ ‖ < t}, wobei ‖ · ‖ eineMatrixnorm bezeichnet. Sei (X,μ) ein Wahrscheinlichkeitsraum mit einer WirkungAlexander Gorodnik and Amos Nevo: “The Ergodic Theory of Lattice Subgroups” 181von  auf X so daß μ -invariant und ergodisch ist. Für jedes f ∈ Lp(X) mit 1 <p < ∞ giltlimt→∞1|t |∑γ∈tf (γ −1 · x) =∫f dμsowohl in Lp als auch für μ-fast alle x ∈ X. Falls zusätzlich ‚spectral gap‘ (sieheunten) für die Wirkung vorliegt, dann gilt sogar∣∣∣∣1|t |∑γ∈tf (γ −1 · x) −∫f dμ∣∣∣∣ ≤ Cp(f, x)e−ζpt (1)für Konstanten Cp(f, x), ζp > 0.Der Zusatz (1), der eine exponentielle Fehlerabschätzung liefert, ist für mittelbareGruppen nur für sehr spezielle Wirkungen und auch dann nur für glatte Funktionenmöglich. Für halbeinfache Gruppen und deren Gitter sind ‚spectral gap‘ und die Re-sultate für Lp-Funktionen von Gorodnik und Nevo allerdings sehr häufig erfüllt.Wir wollen eine Definition von spectral gap (von mehreren äquivalenten) vorstel-len. Eine unitäre Darstellung π einer Gruppe G auf einem Hilbertraum H hat spectralgap, falls es ein  > 0 und eine kompakte Menge K ⊂ G gibt, so daß der Faltungs-operatorχK(v) = 1mG(K)∫Kπ(g)vdmG(mG ist ein Haarmaß auf G) die Abschätzung‖χK(v)‖H ≤ (1 − )‖v‖H für v ∈ (HG)⊥erfüllt. Hier ist HG = {v ∈ H : π(g)v = v für alle g ∈ G} der Teilraum, auf demG trivial wirkt. Da χK ein selbstadjungierter beschränkter Operator ist, der HG alsEigenraum zum Eigenwert 1 hat, beschreibt obige Abschätzung in der Tat eine Lückeim Spektrum von χK . Für uns interessant ist die Darstellung(π(g)(f ))(x) = f (g−1 · x) für x ∈ X, f ∈ H = L2(X,μ) und g ∈ G,die von einer Wirkung auf einem Wahrscheinlichkeitsraum mit einem invariantenMaß induziert wird, für diese Darstellung ist Ergodizität von dem Maß äquivalent zudim(HG) = 1.Für halbeinfache Gruppen ist spectral gap eine häufige Erscheinung: Jede irreduzi-ble Darstellung einer halbeinfachen Liegruppe hat spectral gap und für manche Grup-pen können K und  sogar unabhängig von der Darstellung gewählt werden – dieseEigenschaft nennt man Property (T). Die Gruppen G = SL(n,R) und  = SL(n,Z)haben zum Beispiel Property (T) für n ≥ 3.Es ist einfach zu sehen, warum spectral gap für die Untersuchung von Mitteln überBahnen nützlich sein kann: Falls G auf (X,μ) ergodisch mit spectral gap wirkt undf ∈ L2(X) ist, dann folgt∥∥∥∥χnK(f ) −∫f dμ∥∥∥∥2≤ (1 − )n‖f ‖2,182 M. Einsiedlerwobei χnK(f ) die n-fache Anwendung des obigen Faltungsoperators auf f bezeich-net. Allerdings kann man χnK(f ) auch als die Faltung einer absolut stetigen Dich-teverteilung auf Kn ⊂ G mit f verstehen – und dies ist bis auf die Dichtevertei-lung eben ein Ergodensatz. Mit (viel) mehr Arbeit lässt sich diese Dichteverteilungdurch eine konstante Verteilung ersetzen und so erhält man die exponentielle Ab-schätzung (1) zumindest im L2-Mittel.Eine Motivation für die Untersuchungen von Gorodnik und Nevo sind asymptoti-sche Abzählungsresultate. Duke, Rudnick und Sarnak [1] haben gezeigt, daß es einenengen Zusammenhang zwischen den asymptotischen Abzählungen von Punkten inBahnen von Gittern  auf homogenen Räumen G/H und Gleichverteilungsfragenfür Bahnen der Form gH ⊂ G/ gibt. Weiter haben Eskin und McMullen [3] ge-zeigt, wie man diese Gleichverteilungsresultate mit dynamischen Argumenten be-weisen kann. Gorodnik und Nevo erhalten Resultate in diese Richtung, wenn auchnicht in der gleichen Allgemenheit. In den Situationen, wo die Methode von Gorod-nik und Nevo funktioniert, erhalten sie aber eine sehr gute Fehlerabschätzung (in [3]wurde keine Fehlerabschätzung bewiesen und in [1] werden nur spezielle Teilmen-gen für die Abzählung erlaubt). Zum Beispiel erhalten Gorodnik und Nevo für sehrallgemeine Familien von Teilmengen Bt ⊂ G, daßlimt→∞| ∩ Bt |mG(Bt )= 1m(G/),wobei m das Maß auf G/ ist, das von mG induziert wird. Weiter wird ein expo-nentiell kleiner Fehlerterm bewiesen, der wiederum von der spectral gap Eigenschaftabhängt.Weitere Informationen zu dem Buch von Gorodnik und Nevo sind in [2] enthalten.Literatur1. Duke, W., Rudnick, Z., Sarnak, P.: Density of integer points on affine homogeneous varieties. DukeMath. J. 71(1), 143–179 (1993)2. Einsiedler, M. (Reviewer): The ergodic theory of lattice subgroups, by Alexander Gorodnik and AmosNevo. Bull. Am. Math. Soc. 48, 475–480 (2011)3. Eskin, A., McMullen, C.: Mixing, counting, and equidistribution in Lie groups. Duke Math. J. 71(1),181–209 (1993)

Alexander Gorodnik and Amos Nevo: "The Ergodic Theory of Lattice Subgroups”: Princeton University Press, 2010

http://doc.rero.ch/record/318149/files/13291_2011_Article_25.pdf

Alexander Gorodnik and Amos Nevo: "The Ergodic Theory of Lattice Subgroups”: Princeton University Press, 2010

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