Wienhard, Anna

RERO DOC Digital Library

Anna WienhardZwischen Flexibilita¨t und StarrheitGruppenhomomorphismen und geometrische Strukturenvon Anna WienhardIn seiner Antrittsvorlesung im Jahre 1872 formulierte Felix Klein mit dem”Erlanger Programm“ die we-sentliche Bedeutung der Gruppentheorie zum Studium geometrischer Ra¨ume. U¨berschneidungen der bis heutedurchaus verschiedenen Forschungsgebiete Geometrie und Gruppentheorie ergeben sich dort, wo sich geome-trische Probleme in die Sprache von Gruppenhomomorphismen u¨bersetzen lassen. Ein Beispiel hierfu¨r soll imfolgenden vorgestellt werden.In der geometrischen Gruppentheorie werden Grup-pen mittels geometrischer Methoden untersucht. Ei-ne grundlegende Idee dabei ist, nicht nur die Grup-pe, sondern auch ihre Wirkungen auf Mannigfaltig-keiten oder metrischen Ra¨umen zu betrachten. DieseWirkungen sind gegeben durch Gruppenhomomor-phismen. Ein Gruppenhomomorphismus φ : Γ → Gist eine Abbildung zwischen zwei Gruppen Γ undG, welche die Gruppenmultiplikation respektiert:φ(h1 · h2) = φ(h1)φ(h2). Die Wirkung einer GruppeΓ mittels Isometrien auf einer Riemannschen Man-nigfaltigkeit X ist beispielweise gegeben durch einenHomomorphismus φ : Γ → G in die Isometriegrup-pe G = Isom(X)◦ von X . Wichtige geometrische Ei-genschaften der durch φ deﬁnierten Wirkung lassensich in Eigenschaften des Gruppenhomomorphismusu¨bersetzen und umgekehrt. So sind beispielsweise dieEigenschaften, dass Γ mittels φ auf dem Raum X freiund eigentlich diskontinuierlich wirkt, d. h. dass nurdie Identita¨t einen Fixpunkt hat und dass jede kom-pakte TeilmengeK ⊂ X nur endlich viele ihrer Bilderunter Γ schneidet, oftmals a¨quivalent dazu, dass derHomomorphismus φ injektiv und das Bild φ(Γ) dis-kret ist.Zahlreiche geometrische Strukturen RiemannscherMannigfaltigkeiten lassen sich auf diese Weise durchGruppenhomomorphismen kodieren. Im allgemeinenist es jedoch sehr schwierig, einem gegebenen Grup-penhomomorphismus φ : Γ → G anzusehen, welchegeometrischen Strukturen er beschreibt, und welcheInformationen in ihm u¨ber die Strukturen der Grup-pen Γ und G enthalten sind. Mittels Invarianten, dieeinem Homomorphismus φ : Γ → G zugeordnet wer-den, lassen sich Klassen von Homomorphismen aus-zeichnen, die interessante geometrische Strukturenbeschreiben, und Homomorphismen sogar eindeutigbestimmen.Wichtige Beispiele fu¨r das Zusammenspiel von geo-metrischen Strukturen auf Mannigfaltigkeiten undGruppenhomomorphismen sind Homomorphismenvon Fundamentalgruppen Γ Riemannscher Mannig-faltigkeiten in halbeinfache Liegruppen G. Wesentli-che Aspekte der Suche nach Invarianten werden indem folgenden Beispiel der Homomorphismen vonFla¨chengruppen φ : π1(Σg) → PSL(2,R) deutlich.Auf der Suche nachInvarianten fu¨r PSL(2,R)Einer Riemannschen Fla¨che Σg von Geschlecht g istmit der Fundamentalgruppe Γg = π(Σg) auf natu¨rli-che Weise eine endlich erzeugte Gruppe zugeordnet.Die Fundamentalgruppe ist die Menge der Homo-topieklassen parametrisierter Schleifen durch einenfest gewa¨hlten Punkt x ∈ Σg. Die Gruppenoperationist deﬁniert indem man zwei Schleifen hintereinanderdurchla¨uft. Erzeuger der Fundamentalgruppe erha¨ltman, indem man wie in der Abbildung 1 u¨r jeden derb2xa2a1b1b−11a−11a1a2b2b−12a−12b1Abbildung 1. Aufgeschnittene Fla¨che von Geschlecht g = 280 DMV-Mitteilungen 13-2/2005Zwischen Flexibilita¨t und Starrheitg Henkel der Fla¨che Σg zwei Schleifen ai, bi wa¨hlt.Die U¨berlagerungen von Σg sind durch normale Un-tergruppen der Fundamentalgruppe bestimmt. Aufder einfach zusammenha¨ngenden universellen U¨ber-lagerung wirkt Γg eigentlich diskontinuierlich durchDecktransformationen. Die Fundamentalgruppen Γggeschlossener orientierter Riemannscher Fla¨chen Σgvon Geschlecht g ≥ 2 haben viele Gruppenhomomor-phismen φ : Γg → G in halbeinfache Liegruppen G.Man sagt deshalb auch, dass die Gruppen Γg flexibelsind.Fu¨r Homomorphismen φ : Γg → PSL(2,R) istder Zusammenhang zwischen geometrischen Struk-turen und Gruppenhomomorphismen wohl bekannt.Die entsprechenden geometrischen Strukturen auf Σgsind hierbei hyperbolische Metriken, das sind Metri-ken konstanter Kru¨mmung ≡ −1. Eine solche Metrikkann durch die Wahl spezieller 4g-Ecke in der hyper-bolischen Ebene beschrieben werden.Die Fundamentalgruppe Γg einer geschlossenen ori-entierten Riemannsche Fla¨che Σg von Geschlecht gist von 2g Elementen a1, b1, · · · , ag, bg erzeugt, diedie RelationΠgi=1[ai, bi] = a1b1a−11 b−11 . . . agbga−1g b−1g = Iderfu¨llen. Dies sieht man, indem man einen Punktx ∈ Σg und 2g geschlossene Kurven wa¨hlt, die Σg inein Polygon zerschneiden. Die Erzeuger der Gruppeentsprechen den einzelnen Seiten des Polygons, unddie Relation Πgi=1[ai, bi] = Id liest man entlang desRandes ab.Versieht man Σg mit einer hyperbolischen Metrik, sowird die universelle U¨berlagerung von Σg mit der hy-perbolischen Ebene H2, dem Modellraum konstan-ter Kru¨mmung ≡ −1, identiﬁziert. Die hyperboli-sche Ebene kann im Poincare´-Modell als KreisscheibeD = {z ∈ C | |z| < 1} , versehen mit der Metrikds2 =4|dz|2(1− |z|2)2betrachtet werden. Die Gruppe der orientierungs-erhaltenden Isometrien von H2 ist PSL(2,R) =SL(2,R)/{±Id}, wobei PSL(2,R) auf D mittels ge-brochenen linearen Transformationen(a bc d)(z) =az + bcz + dwirkt.Das 4g-Eck, eingebettet in die Kreisscheibe D, deﬁ-niert einen Fundamentalbereich fu¨r die isometrische0Abbildung 2. Geraden im Poincare´-ModellWirkung von Γg auf D durch Decktransformatio-nen. Diese Wirkung ist gegeben durch eine Hyper-bolisierung, das ist ein injektiver Homomorphismusφ : Γg → PSL(2,R) mit diskretem Bild.Die Wahl einer hyperbolischen Metrik deﬁniert alsoeine Hyperbolisierung φ : Γg → PSL(2,R). Ist um-gekehrt φ : Γg → PSL(2,R) eine Hyperbolisierung,so ist die Fla¨che Σg diﬀeomorph zu D/φ(Γg). Diehyperbolische Metrik ds2 auf D deﬁniert eine hyper-bolische Metrik auf dem Quotienten D/φ(Γg) undsomit auf Σg.Der Modulraum aller hyperbolischen Metriken ist derQuotient des Teichmu¨llerraums der RiemannschenFla¨che Σg modulo der Abbildungsklassengruppe vonΣg. Der Teichmu¨llerraum la¨ßt sich wie beschriebenmit dem Raum aller Hyperbolisierungen identiﬁzie-ren und somit in den Raum aller Homomorphismenφ : Γg → PSL(2,R) einbetten. Selbst wenn ein Ho-momorphismus φ explizit gegeben ist, la¨ßt sich jedochnicht ohne weiteres erkennen, ob φ eine Hyperboli-sierung ist oder nicht, da kaum zu u¨berpru¨fen ist,ob das Bild diskret ist. Mittels einer Invariante ko¨n-nen Hyperbolisierungen allerdings auf einfache Weiseausgezeichnet werden.Die EulerzahlDie Eulerzahl ordnet jedem Homomorphismus φ :Γg → PSL(2,R) eine ganze Zahl zu. Fu¨r einen Ho-momorphismus φ : Γg → PSL(2,R), der die Erzeu-ger ai, bi auf Matrizen Ai = φ(ai), Bi = φ(bi) ∈PSL(2,R) mit Πgi=1[Ai, Bi] = Id abbildet, berechnetman die Eulerzahl folgendermaßen. Man wa¨hlt belie-bige Hochhebungen A˜i, B˜i ⊂ P˜SL(2,R) von Ai, Biin der universellen U¨berlagerung von PSL(2,R). DasProdukt Πgi=1[A˜i, B˜i] liegt in derjenigen Untergruppevon P˜SL(2,R), die auf die Identita¨t Id ∈ PSL(2,R)projeziert. Diese Untergruppe ist kanonisch isomorphzu Z. Die Eulerzahl ist nun deﬁniert als e(φ) :=Πgi=1[A˜i, B˜i] ∈ Z. Sie ist beschra¨nkt durch |e(φ)| ≤2g − 2. Fu¨r Hyperbolisierungen gilt |e(φ)| = 2g − 2.DMV-Mitteilungen 13-2/2005 81Anna Wienhardc˜γγ+yφ(γ)yγ−cγAbbildung 3. Perioden des Elements φ(γ) bestimmen die La¨nge der Geoda¨tischen cγGoldman [6] hat bewiesen, dass umgekehrt ein Homo-morphismus φ : Γg → PSL(2,R) mit Eulerzahl 2g−2injektiv ist und diskretes Bild hat. Die Gleichung|e(φ)| = 2g − 2 zeichnet somit auf einfache Weisedie Homomorphismen φ aus, die eine bestimmte geo-metrische Struktur – eine hyperbolische Metrik – aufΣg definieren.Um eine Hyperbolisierung eindeutig zu bestimmen,und die dadurch deﬁnierte hyperbolische Metrik aufΣg zu rekonstruieren, bedarf es einer weiteren Inva-riante.Das Doppelverha¨ltnisDas Doppelverha¨ltnis ist eine PSL(2,R)-invarianteFunktion auf Tupeln von vier paarweise verschiede-nen Punkten auf der projektiven Gerade RP1 =S1 ∼= R ∪ {∞}. Es ist deﬁniert durch [x, y, z, w] :=x−yx−wz−wz−y , insbesondere gilt [0, y, 1,∞] = y. Da vierpaarweise verschiedene Punkte in R ∪ {∞} mit-tels der Wirkung von PSL(2,R) immer in die Form(0, y, 1,∞) gebracht werden ko¨nnen, bestimmt es(modulo der Wirkung von PSL(2,R)) eindeutig dieLage dieser vier Punkte. Wenn φ : Γg → PSL(2,R)eine Hyperbolisierung ist, so hat die Wirkung vonφ(γ) auf dem Rand der Kreisscheibe S1 = ∂Dfu¨r jedes γ ∈ Γg\{id} einen anziehenden Fixpunktγ+ ∈ S1 und einen abstoßenden Fixpunkt γ− ∈ S1.Mit Hilfe dieser Fixpunkte und eines weiteren belie-bigen Punktes y ∈ S1 lassen sich mittels des Doppel-verha¨ltnisses die Perioden lφ(γ) := [γ−, y, φ(γ)y, γ+]deﬁnieren, die unabha¨ngig von der Wahl des Punk-tes y ∈ S1 sind. Die Perioden deﬁnieren somit eineInvariante des Homomorphismus φ. Jedes Elementγ ∈ Γg\{id} la¨ßt sich durch eine geschlossene Geo-da¨tische cγ auf der Fla¨che Σg realisieren. Die La¨n-ge dieser Geoda¨tischen cγ , gemessen in der durch φdeﬁnierten hyperbolischen Metrik, berechnet sich alsL(cγ) =12 log|lφ(γ)| (siehe Abbildung 3).Die Perioden von φ bestimmen daher eine Hyperbo-lisierung φ : Γg → PSL(2,R) eindeutig.Mittels Eulerzahl und Doppelverha¨ltnis ko¨nnen sounter allen Homomorphismen φ : Γg → PSL(2,R)diejenigen ausgesondert werden, die eine bestimm-te geometrische Struktur, na¨mlich eine hyperbolischeMetrik auf der Fla¨che Σg, deﬁnieren. Zudem kanndiese geometrische Struktur aus den Invarianten re-konstruiert werden. Dabei ist nicht nur das Ergebniseine Bru¨cke zwischen Gruppentheorie und Diﬀerenti-algeometrie. Die Deﬁnition der Perioden mittels desDoppelverha¨ltnis – und noch mehr die hier nicht dar-gestellten Beweise – beruhen auf dem Zusammenspielvon (Diﬀerential-)Geometrie und Gruppentheorie.Der Teichmu¨llerraum und die Wirkung der Abbil-dungsklassengruppe auf ihm fu¨hren zu weiteren inter-essanten Strukturen, die hier nicht diskutiert werdenko¨nnen.Ein Ausblick auf andereHomomorphismenWa¨hrend Homomorphismen φ : Γg → PSL(2,R)bereits sehr gut verstanden sind, gibt es fu¨r ande-re Homomorphismen φ : Γ → G diskreter Gruppenin halbeinfache Liegruppen noch viele oﬀene Fragen.Die meisten Resultate sind bekannt fu¨r den Fall dassΓ keine beliebige diskrete Untergruppe, sondern wieΓg ⊂ PSL(2,R) ein Gitter Γ ⊂ H in einer halb-einfachen Liegruppe H ist. Ein Gitter Γ ⊂ H , wiez.B. Zn ⊂ Rn, ist eine diskrete Untergruppe, die in”alle Richtungen“ von H verteilt ist, so dass das Vo-lumen des Quotienten H/Γ endlich ist. Im Gegensatzzur illustrierten Flexibilita¨t von Gittern in PSL(2,R)sind Gitter in Liegruppen von ho¨heren Rang, z. B. inSL(n,R) mit n ≥ 3, nach einem beru¨hmten Satz vonMargulis starr [13]. Das heißt, jeder Homomorphis-mus ist im wesentlichen die Verknu¨pfung der Ein-bettung Γ ⊂ H mit einem Homomorphismus von H82 DMV-Mitteilungen 13-2/2005Zwischen Flexibilita¨t und Starrheitnach G. Eine Konsequenz dieser Starrheit ist, dassalle Gitter in Liegruppen von ho¨herem Rang arith-metisch sind, d. h. dass sie alle ungefa¨hr wie Unter-gruppen von endlichem Index in SL(n,Z) ⊂ SL(n,R)aussehen.Man vermutet, dass diese Gitter noch sta¨rke-re Starrheitseigenschaften besitzen. Ihre Wirkungenauf niedrig-dimensionalen Mannigfaltigkeiten solltendurch endliche Gruppen faktorisieren. Diese Vermu-tung ist fu¨r zahlreiche ein- und zweidimensionaleMannigfaltigkeiten bewiesen. Interessanterweise wur-den diese Resultate mit sehr unterschiedlichen Me-thoden, z.B. aus der Gruppentheorie, der beschra¨nk-ten Kohomologie oder der symplektischen Geome-trie, gewonnen. A¨hnliche Starrheitspha¨nomene sindauch auf der diﬀerentialgeometrischen Seite fu¨r nicht-positiv gekru¨mmte Mannigfaltigkeiten von”ho¨heremRang“ bekannt [1].Ein wichtiges oﬀenes Problem ist die Untersu-chung der Eigenschaften von Fundamentalgrup-pen komplex-hyperbolischer Mannigfaltigkeiten end-lichen Volumens. Diese Gruppen sind Gitter inSU(1, n) und damit nicht starr im Sinne von Margu-lis. Andererseits konnten fu¨r diese Gruppen bereitsverschiedenste schwa¨chere Starrheitsresultate bewie-sen werden. Von einem umfassenden Versta¨ndnis istman allerdings noch weit entfernt.Fu¨r das Zusammenspiel von Geometrie und Grup-pentheorie sind die”ﬂexiblen Situationen“ von beson-derem Interesse, da in diesem Fall, wie im dargestell-ten Beispiel, Modulra¨ume geometrischer Strukturendurch Gruppenhomomorphismen beschrieben werdenko¨nnen. Die allgemeine Beziehung zwischen geome-trischen Strukturen und Gruppenhomomorphismenist recht gut verstanden [5]. Eine pra¨zise Beschrei-bung, welche geometrischen Strukturen durch wel-che Homomorphismen deﬁniert werden, hat man bis-her allerdings erst in wenigen Fa¨llen geben ko¨n-nen. Zum Beispiel werden komplex-projektive Struk-turen auf Σg durch so genannte quasifuchssche Ho-momorphismen φ : Γg → SL(2,C) beschrieben. Die-se Homomorphismen stehen in enger Beziehung zuhyperbolischen 3-Mannigfaltigkeiten. Konvexe reell-projektive Strukturen auf Σg werden durch so genann-te”Hitchin“-Homomorphismen φ : Γg → PSL(3,R)deﬁniert.Die Untersuchung spezieller Gruppenhomomorphis-men von Fla¨chengruppen in halbeinfache Liegrup-pen ist ein zur Zeit sehr aktives Forschunggebiet. Inden letzten Jahren wurden viele Fortschritte beimVersta¨ndnis von Homomorphismen von φ : Γg →G erzielt, z. B. fu¨r G = SL(n,R), Sp(2n,R) oderSU(n,m) [9, 10, 8, 11, 7, 2, 3, 4, 12]. Dabei spie-len auch Verallgemeinerungen der Eulerzahl und ver-allgemeinerte Doppelverha¨ltnisse eine Rolle. Zur Be-schreibung der geometrischen Strukturen auf Σg, diedurch diese neu gefundenen besonderen Klassen vonHomomorphismen gegeben sind, gibt es erste Teilre-sultate. Da teils a¨hnliche, teils komplementa¨re Re-sultate mit sehr verschiedenen Methoden wie harmo-nischen Abbildungen, Higgs-Bu¨ndeln, beschra¨nkterKohomologie und klassischer Riemannscher Geome-trie erzielt wurden, ist es nun eine Herausforderung,den Zusammenhang zwischen diesen unterschiedli-chen Methoden besser zu verstehen.Literatur[1] W. Ballmann, Lectures on spaces of nonpositive curvature,DMV Seminar, Birkha¨user 1995, Kapitel 4.[2] S.B. Bradlow, O. Garc´ıa-Prada, P.B. Gothen, Surfacegroup representations and U(p, q)-Higgs bundles, J. Diﬀe-rential Geom. 64 (2003), no. 1, 111–170.[3] M. Burger, A. Iozzi, A. Wienhard, Surface group represen-tations with maximal Toledo invariant, C. R. Math. Acad.Sci. Paris 336 (2003), no. 5, 387–390.[4] M. Burger, A. Iozzi, A. Wienhard, Representations withmaximal Toledo invariant, in Vorbereitung.[5] W.M. Goldman, Geometric structures on manifolds andvarieties of representations, in: Geometry of group repre-sentations (Boulder, CO, 1987), Contemp. Math. 74, AMS1988, 169–198.[6] W. M. Goldman, Discontinuous groups and the Eulerclass, Thesis, University of California at Berkeley, 1980.[7] V.V. Fock, A.B. Goncharov, Moduli spaces of local systemsand higher Teichmu¨ller theory, math.AG/0311149.[8] O. Guichard, De´formations des sous-groupes discrets degroupes de rang un, Doktorarbeit Universite´ Paris 7, 2004.[9] N.J. Hitchin, Lie groups and Teichmu¨ller space, Topology31 (1992), no. 3, 449–473.[10] F. Labourie, Anosov flows, surface groups and curves inprojective space, math.DG/0401230, 2003.[11] F. Labourie, Crossratios, Surface Groups, SL(n,R) andC1(S1)×Diﬀ(S1), math.DG/0502441, 2005.[12] V. Koziarz, J. Maubon, Harmonic maps and re-presentations of non-uniform lattices of PU(m, 1),math.DG/0309193, 2003.[13] G.A. Margulis, Discrete subgroups of semisimple Liegroups, Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete17, Berlin 1991.Adresse der AutorinDr. Anna WienhardMathematisches Institut der Universita¨t BaselRheinsprung 21CH 4051 Baselanna.wienhard@unibas.chAnna Wienhard ist 1977 geboren, hat inBonn Mathematik und Evangelische Theo-logie studiert und 2004 ihre Promotion beiProf. Werner Ballmann (Bonn) und Prof.Marc Burger (ETH Zu¨rich) abgeschlossen.Seit Oktober 2004 arbeitet sie als Post-Doc an der Universita¨t Basel. Ab September2005 wird sie fu¨r ein Jahr am Institute forAdvanced Study in Princeton und ab Sep-tember 2006 als Dickson-Instructor an derUniversity of Chicago arbeiten.Anna Wienhard ist Sektionspreistra¨gerin der Sektion Topolo-gie auf der DMV-Jahrestagung 2004. Dieser Artikel ist Teil derSerie von Preistra¨ger-Arbeiten.DMV-Mitteilungen 13-2/2005 83

Zwischen Flexibilität und Starrheit. Gruppenhomomorphismen und geometrische Strukturen

Abstract

Similar works

Full text

Available Versions

RERO DOC Digital Library