§0. Einführung. Durch die bekannten Croftonschen Integrale können bekanntlich die Minkowskischen Quermaβintegrale konvexer Körper dargestellt werden. In der vorliegenden Note betrachten wir gewisse Erweiterungen dieser klassischen integralgeometrischen Formeln, durch die allgemeinere invariante Eikörperfunktionale gegeben sind. Es handelt sich hierbei um kinematische Integrale mit beweglichen unterdimensionalen Teilräumen, wobei passend gewahlte Funktionen ihrer Abstände vom Eikörper eingehe

Bokowski, J.

Hadwiger, H.

Wills, J. M.

RERO DOC Digital Library

212EINE ERWEITERUNG DER CROFTONSCHENFORMELN FUR KONVEXE KORPERJ. BOKOWSKI, H. HADWIGER UND J. M. WILLS§0. Einfiihrung. Durch die bekannten Croftonschen Integrale konnen bekanntlichdie Minkowskischen QuermaBintegrale konvexer Korper dargestellt werden. In dervorliegenden Note betrachten wir gewisse Erweiterungen dieser klassischen integral-geometrischen Formeln, durch die allgemeinere invariante Eikorperfunktionalegegeben sind. Es handelt sich hierbei um kinematische Integrale mit beweglichenunterdimensionalen Teilraumen, wobei passend gewahlte Funktionen ihrer Abstandevom Eikorper eingehen.§0.1. Begriffe und Bezeichnungen. Es sei E" der «-dimensionale euklidische Raumund JT" bedeute die Menge der nichtleeren, kompakten und konvexen TeilmengenA c E"; A e X" nennen wir kurz auch Eikorper. Fur ein p > 0 bedeute Ap denauBeren Parallelkorpervon^4 im Abstandp. Ist£ ' a E" (i = 0, ..., n)einebeweglichej-dimensionale Ebene, so bezeichne dEl die Bewegungsdichte von El im Sinne derIntegralgeometrie (vgl. [3], S. 240). Fur A e X" bedeute d(A, £') den Abstand desEikorpers A von der Ebene £'. Mitni/2Co, = (i = 0, ..., n)r ( i + */2)ist das Volumen der i-dimensionalen Einheitskugel gegeben. Wir benotigen noch dieintegralgeometrischen HilfskonstantencQn = 1 und cin = I 0 = 1, •••. n).\ I / CO1 ... (Oi§0.2. Definition erweiterter Croftonscher Integrale. Sei / ( r ) eine in [0, oo)definierte nichtnegative, lokal integrierbare Funktion, fur die/(O) i= 0 vorausgesetztund die Existenz der ersten n IntegralmomenteMk ( / ) = j f(r)rkdr (k = 0, .... n - 1) (0.2.1)-» ogefordert wird. Mit 8F werde die Klasse aller Funktionen / mit diesen Eigenschaftenbezeichnet. Ist Ae W ein Eikorper und r = d(A, El), fe #", so werden mit denAnsatzenP.(S, ^> = / ( O K ; P,(f, A) = — (f(r)dE' (i = 0, . . . , « - 1), (0.2.2)Cin Jwobei sich die Integration iiber alle Lagen der Ebene El im Raum E" zu erstreckenhat, n + 1 Eikorperfunktionale P;(/ , A) (i = 0, ..., ri) definiert. Mit der speziellen[MATHEMATIKA 23 (1976), 212-219]https:/www.cambridge.org/core/terms. https://doi.org/10.1112/S0025579300008810Downloaded from https:/www.cambridge.org/core. University of Basel Library, on 30 May 2017 at 21:01:00, subject to the Cambridge Core terms of use, available atEINE ERWEITERUNG DER CROFTONSCHEN FORMELN FUR KONVEXE KORPER 213Funktion fw{r) = 1 (r = 0), 0(r > 0) resultieren die Croftonschen Integrate und esgiltP,(/w, A) =W,(A) (i = 0, ...,«), (0.2.3)so daB unsere Funktionale Pt also die Minkowskischen QuermaBintegrale Wt dar-stellen. In diesem Sinne stellen die Integrate (0.2.2), deren Existenz fiir alle / e J5"nachgewiesen werden kann, erweiterte Croftonsche Formeln dar.§1. Ergebnisse.§1.1. Allgemeine Ergebnisse. Ein erstes relevantes Ergebnis ist mitPi(f, A) = "z ( " " ' ) Ck(f)Wl+k(A) (i = 0, .... n) (1.1.1)gegeben, mitCoif) = /(0), Q ( / ) = ^Mj.iC/) (k = 1, ..., »).Wie gezeigt werden wird, bilden die Pt(f, A) (i = 0, ..., n) fiir jedes feste/e &eine Basis im Raum Mn der auf JT" erklarten reellwertigen bewegungsinvarianten,additiven und stetigen Funktionale. Damit lassen sich speziell die QuermaBintegraleWt bei gegebenem / als Linearkombination der Pt ausdriicken. In der Tat gilt dieDarstellungsformelW,(A) = "Z ( " " ' ) Ck(f) Pt+k(f, A) (i = 0, .... n), (1.1.2)k=o \ k Iwobei die benotigten KoefBzienten durch1 » _ xkerzeugt werden und die Hilfsfunktion mit*(*) = £ Q(/) 77!gegeben ist.Ein weiteres Resultat ist mit einer Verallgemeinerung des vollstandigen Steiner-schen Formelsystems (vgl. [3], S. 214) gegeben, wonachW . Ap) = Y ( n 7 l ) ^+*(/> A)pk (i = 0, ..., n) (1.1.3)k=o\ k Jgilt. Ferner laBt sich die Integraldarstellung00(» - 0 J W l + 1 ( ^ / ( p ) dp (i = 0, .... n) (1 .1 .4 )overifizieren.Aufgrund der Darstellung (1.1.1) lassen sich viele Eigenschaften der QuermaB-integrale Wt unmittelbar auf die Funktionale P( iibertragen; lediglich die Homogenitathttps:/www.cambridge.org/core/terms. https://doi.org/10.1112/S0025579300008810Downloaded from https:/www.cambridge.org/core. University of Basel Library, on 30 May 2017 at 21:01:00, subject to the Cambridge Core terms of use, available at214 J. BOKOWSKI, H. HADWIGER UND J. M. WILLS jgeht i.a. verloren. Neben der selbstverstandlichen Bewegungsinvarianz sind aberAdditivitat, Monotonie und Stetigkeit besonders hervorzuheben. Auch das Verhalten -bei Symmetrisierungen ist das namliche.§1.2. Ergebnisse bei spezieller Wahl von / e # \ Mit a > 0 setzen wir zunachst \f(f) = fa{r) = e~''a. Es ist M^^fJ = (k - \)\a\k > 1) und nach (1.1.1) resultiertmit/(0) = 1Piifa, A) = z ' ( n ~ ' ) k\ ak Wi+k(A) 0 = 0, .... n). (1.2.1)Beachtenswert ist, daB die Inversionsformel (1.1.2) im vorliegenden Fall eine ganzbesonders einfache Gestalt annimmt. Es giltW,(A) = Pt(Ja, A)-(n- i)a P , + 1 ( / . , A) (i = 0, ..., «). (1.2.2)Ein weiterer Sonderfall ist mit a > 0 mit dem Ansatzf(r) = ga(r) = a(r = 0), l/o(0 < r < a), 0(a ^ r < oo)vorliegend. Die Absicht besteht darin, mit dem Grenziibergang a -> 0, wobei dernicht existierenden Grenzfunktion g die Wirkung einer " Diracfunktion " zugebilligtwerden soil, ein invariantes MaB fiir die Menge derjenigen E' zu gewinnen, die Aberiihren. Diese Deutung wird plausibel, wenn das zustandige Integral (0.2.2) in derFormP,(g., A) = aWt(A) + f dE{ (i = 0, ..., n - 1) (1.2.3)acin J0<r<ageschrieben wird. Mit der Bemerkung Mk_l(ga) -» 1 (A: = 1), 0(k > 1) mit a -> 0folgt nach (1.1.1)Pi(ga, A)-+(n- i) Wt+l(A) (a -> 0; i = 0, .... n - 1). (1.2.4)Abgesehen von der unwesentlichen Normierung stellt Wi+1(A) in der Tat das inAussicht gestellte BeriihrmaB des Eikorpers A durch i-dimensionale Ebenen dar,wie dies von J. Zelver [6] angegeben worden ist. Eine allgemeinere Theorie invarianterBeriihrmaBe wurde von W. J. Firey [2] begriindet.§1.3. Ergebnisse im £all i = 0. Mit der Restriktion i = 0 beschranken wir unsim weiteren lediglich auf Punkte £° , werden aber anstelle einer Funktion/ein Systemvon n + 1 Funktionen /„ e & (n = 0, ..., n) miteinbeziehen. Aus der Vielfalt dersich anbietenden Moglichkeiten wahlen wir den Fallf,(r) = r2"e-"r2 (n = 0,...,n) (1.3.1)aus, der in einem weiter unten angedeuteten Zusammenhang besondere Beachtungverdient. Es ergeben sich die FunktionaleHM) = poiU A) = J r^e-^dp (a = 0, ..., n), (1.3.2)wodE0 = dp (Punktdichte) gesetzt wurde. AnschlieBend an (1.1.1) erhalt man mithttps:/www.cambridge.org/core/terms. https://doi.org/10.1112/S0025579300008810Downloaded from https:/www.cambridge.org/core. University of Basel Library, on 30 May 2017 at 21:01:00, subject to the Cambridge Core terms of use, available atEINE ERWEITERUNG DER CROFTONSCHEN FORMELN FUR KONVEXE KORPER 2 1 5direkter RechnungH,(A) = i C,» ( " ) — WM) 0* = 0, ..., »), (1.3.3)v = o \ v / <ovwobeiCOv = 1;CMV = ( 2 T C ) - " V ( V + 2 ) . . . ( V + 2 ^ - 2 ) (V = 0, . . . , « ; p = ! , . . . , » )ist. Im speziellen Fall ^ = 0 ergibt sich das Funktional H0(A) = WC4) (vgl. [4]),namlichW(A)= £ (n) — Wv(A), " (1-3.4)das in der Geometrie der Zahlen im Zusammenhang rait Fragen der Gitterpunktszahlin Eikorpern Gegenstand intensiver Studien geworden ist.—Es sollen noch einigeEigenschaften der Funktionale H^ angegeben werden. Seien A, B e X", A c E',B c £""', wobei El und £"" ' zwei komplementare totalorthogonale Teilraume vonE" anzeigen. Fiir den durch Minkowskische Addition aus A und B hervorgehendenKorper A + B gilt dannHJA + B) = £ ( ^ ) HV'(A)H"I1_V{B) (/* = 0, ..., «), (1.3.5)v = 0 \ V /woHv' und H"n-V die sich auf die Tragerraume El und £"" ' beziehenden Funktionaleanzeigen sollen.—Sei ferner A e X", A <= E"'1 und bezeichnet Hv' wieder das aufden E"'1 bezogene Funktional, so giltH,(A) = £ C(,-v)i ( ^) HV'(A) {n = 0, ..., n),v = 0 \ V /(1.3.6)wenn die in (1.3.3) definierten Koeffizienten C^v benutzt werden. Mit CMV ^ 0laBt sich der Darstellung (1.3.3) entnehmen, da6 die Funktionale //„ beziiglich Steiner-Symmetrisierung, also auch bei der Schwarzschen Abrundung und Kugelung nichtvergroBert werden. Analoges gilt fiir die Blaschkesche Symmetrisierung undbei Zentralsymmetrisierung.—Geht A durch die Steinersche Symmetrisierung inA' iiber, so kann die Aussage- HM'))(1.3.7)gemacht werden.—SchlieBlich sei vermerkt, daB die H^n = 0, .. . ,«) wieder eineBasis im Raum R(Jf") bilden, so daB sich analog zu (1.1.2) die QuermaBintegraleWv als Linearformen der H^ darstellen lassen. Fur die Inversion des Systems (1.3.3)zustandige Determinante ergibt sich der positive Wert= (2n)~("*2^ 1! 2! ... «!. (1.3.8)https:/www.cambridge.org/core/terms. https://doi.org/10.1112/S0025579300008810Downloaded from https:/www.cambridge.org/core. University of Basel Library, on 30 May 2017 at 21:01:00, subject to the Cambridge Core terms of use, available at216 J. BOKOWSKI, H. HADWIGER UND J. M. WILLS§2. Beweise.§2.1.1. Die Feststellung (0.2.3) resultiert mit der bekannten integralgeometrischenFormel (vgl. [3], S. 240 (120))Wt(A) = — f dE1,wobei sich die Integration iiber alle E' mit A n E' i= 0 erstreckt.—Das Ergebnis(1.1.1) ist nach Ansatz (0.2.2) fur i = n trivial. Wir fuhren den Nachweis imiibrigen zunachst fur i = 0. Nach (0.2.2) ist P0(f, A) = jf(r) dp, wenn statt dE°die Punktdichte dp geschrieben wird. Mit naheliegender Umdeutung laBt sich„(/, A) = /(0) V{A) + J f(r) F(Ar) drsetzen, wenn A, den Parallelkorper von A und F die Oberflache anzeigen. Nach derSteinerschen Formel (vgl. [3], S. 214 (49)) istso daB alsoPo(f,A) = /(0) V(A) + £ ( " )fc Mk^(f) Wk(A)resultiert, wzzw.—Sei nun 1 < i < « — 1. Wir spalten die kinematische DichtedEl = dEl dEl in die Translationsdichte dE{ und die Drehdichte dE' auf (vgl. [3],S. 227). Unter alien Drehlagen halten wir zunachst eine fest und fuhren die Inte-gration nur iiber die Translationen aus. Die Translationsdichte dE' laBt sich deuten ]als Punktdichte dp' in dem zu alien jetzt zu betrachtenden parallelen Ebenen E' totalorthogonalen (« — i)-dimensionalen Raum E"~'. Da die Drehdichten dE' unddE"~' iibereinstimmen, erhalt man so\(f,A) = — \ \ f(r)dp'dE»-\c ; . J Jwobei sich die innere Integration iiber E" ' erstreckt. Da r = d(A, E') = d(A',ist, wo A' den Normalriss von A in E"~' bezeichnet, ergibt sichP,(/, A) = — f P0'(f, A')c.-_ J dEnwobei Po' das entsprechende Funktional im £""' bedeutet. Mit dem oben fur i = 0sichergestellten Ergebnis istPo'U, A') = /(0) V\A') +"£ I" " ' )k M^U) Wk'(A'),k=i \ k /https:/www.cambridge.org/core/terms. https://doi.org/10.1112/S0025579300008810Downloaded from https:/www.cambridge.org/core. University of Basel Library, on 30 May 2017 at 21:01:00, subject to the Cambridge Core terms of use, available atEINE ERWEITERUNG DER CROFTONSCHEN FORMELN FUR KONVEXE KORPER 217so daB sich mit Verwendung der Cauchyschen Projektionsformel (vgl. [3], S. 232(102)), wonach— j W.'WdE"-1 = Wi+k(A)furyt = 0, . . . , « - i gilt, schlieBlich mit W0'(A') = V'(A')P,(f, A) = /(0) Wt(A) + V ( " 7 ' )k Mk.,{f) Wi+k(A)k=i \ k Jergibt, womit (1.1.1) vollstandig bewiesen ist. Es sei noch beigefiigt, daB die durch-gefiihrten Rechnungen implizite auch den Existenzbeweis fur die mit (0.2.2)angesetzten Integrale enthalten.Da die Matrix des linearen Systems (1.1.1) Dreiecksgestalt aufweist und dieHauptdiagonalglieder nicht verschwinden, ist diese invertierbar. Eine expliziteDarstellung der inversen Matrix und also der Auflosung des Systems (1.1.1) nachden JFV hat G. Wieczorek [5] durchgefiihrt.Mit Hilfe einer Formel von Faa di Bruno (vgl. [1], S. 823) ergibt sich unsereAuflosungsformel (1.1.2), die in diesem Sonderfall leicht direkt verifizierbar ist.Ersetzt man dort die Pi+k gemaB (1.1.1) und nutzt die aus der Erzeugung der Ckresultierende Beziehungv=o v!(/x-v)!so ergibt sich Wt, womit (1.1.2) bestatigt ist.—Verwendet man die Steinersche Formel (vgl. [3], S. 214)n-m / n — m \Wm(Ap) = £ Wv+m(A)p*v=0 \ V /in (1.1.1), so ergibt sich zunachstn- i n-i-k I n — i \ / „ _ , - _ & \fc=:0/i=:0\ rC / \ Ll /und mit Vertausch der Summationsreihenfolge und Beriicksichtigung vonschlieBlichPi(f,Ap) = "j: (n l)pi+lt(f,A)P".Damit ist (1.1.3) bewiesen. Die Darstellung (1.1.4) ergibt sich aus (1.1.1) unterVerwendung des Steinerschen Formelsystems.https:/www.cambridge.org/core/terms. https://doi.org/10.1112/S0025579300008810Downloaded from https:/www.cambridge.org/core. University of Basel Library, on 30 May 2017 at 21:01:00, subject to the Cambridge Core terms of use, available at218 J. BOKOWSKI, H. HADWIGER UND J. M. WILLS§2.1.2. Die Bestatigung von (1.2.2) mit Verwendung von (1.2.1) gelingtmiihelos. Alle Aussagen dieses Teils sind durch die im Text enthaltenen Hinweiseausreichend klar gemacht.§2.1.3. Wird in (1.1.1) i = 0 gesetzt, so ergibt sichP0(f, -4) = / ( 0 ) V{A) + i ( " ) v M v _ i ( / ) WV(A)-v = l \ V /F i i r / = fp ist/(O) = l(/i = 0), 0(1 < p. ^ n) zu beachten und fiir 1 < v < n dasResultat00vMv_!(/^) = v f rv + 2"+1 e~nrl dr =o(v + 2/0zu verwenden. Damit folgtv=i \ v / (v + 2fi)cov+2llH0(A) = V(A)+ i (") — Wy{A) (M = 0)v = l \ V / COVBenutzen wir noch die Rekursion(2/i + v) (2/i + v - 2). . . (v + 2)OJV+2^ = (2wy cov (ji ^ 1),so gelangen wir zur Formel (1.3.3), welche die beiden oben angegebenen Fallebeziiglich /* zusammenfaBt. Hierbei ist noch V = Wo zu bedenken. Wir wenden unsnun der Aussage (1.3.5) zu. Sind p' = p | El, p" = p \ E"~* die Lotpunkte von pauf E1 bzw. £" ~', so gilt fiir die Abstander(p, A + B)2 = r(p', ^ ) 2 + r(p", B)2und fiir die Punktdichten dp = dp' dp". Verwenden wir dies im Integralso resultiert mit binomisgher Entwicklung der PotenztiAA -TO) = 2*v = 0wzzw. Hier istzu beachten, daB v > i sein kann, ebenso /i — v > n — i; die Hv' bzwfl"M_v sind dann linear abhangig.—Weiter ist (1.3.6) ein Korollarzu (1.3.5). Wirddort B = 0 (Ursprungspunkt) gesetzt, so kann 0 c £ ' als uneigentlicher Eikorperin dem zu E"~l orthogonal stehenden Raum E1 gedeutet werden. Nach (1.3.3)folgt mit n = 1, W0"(0) = 0, W^'iO) = c^ der Tatbestand H%_v(0) = C(/i_v)1, sodaB sich mit (1.3.5) also (1.3.6) ergibt, wenn man noch A + 0 = A bedenkt.—Um (1.3.7) nachzuweisen, greifen wir auf die Darstellung (1.3.3) und erhaltenhttps:/www.cambridge.org/core/terms. https://doi.org/10.1112/S0025579300008810Downloaded from https:/www.cambridge.org/core. University of Basel Library, on 30 May 2017 at 21:01:00, subject to the Cambridge Core terms of use, available atEINB ERWEITERUNG DER CROFTONSCHEN FORMELN FUR KONVEXE KORPER 219mitRucksichtaufPF0C4) = W0(A') zan&chst—undsodann mit C(/1+1)v ^ ((2/i + 1)/2TT) C,,v unmittelbar diezu beweisende Ungleich-ung.Endlich begriinden wir die Aussage (1.3.8). Wegen C^ = 0fUr / i = l , . . . ,nund CQO = 1 ist det C^ = (27r)-"(n + 1 ) / 2 d e t ^ v mit A^ = v(v + 2) ... (v + 2/i - 2)0 . v = 1,...,«). Wegen A^ - 2{n - l )^ ( ^_ 1 ) v = vA(tt_1)v (/j. = 2, ...,«) kannfiir fi = 2, ... ,« in der ^-ten Zeile ^ v durch v^l(M_1)v erse^zt werden; d.h. anstelledes Faktors v — 2/i — 2 tritt v. Analog ist A(ll_i)v — 2(fi — 2)A(ll-2)v = v^o<-2)v(/i = 3, ...,«), und so kann fur i^ = 3, ..., n in der /i-ten Zeile der Faktor v + 2\i — 4durch v ersetzt werden, usw. So erhalt mand e t ^ v = detv" = Dn (n, v = 1, .... n).Wenn aus der v-ten Spalte der Faktor v vorgezogen wird und dies fiir alle v = 1,...,«,so ergibt sichDn = Hldetv"-1 O, v = 1, . . . ,»).Nun ist det v""1 eine spezielle Vandermondesche Determinante mit dem bekanntenWert 1 ! . . . ( « - 1)!, so dafi sich Dn = l ! . . .n! = «!! ergibt. Damit ist (1.3.8)nachgewiesen.Literatur1. Abramowitz and Stegun. Handbook of Mathematical Functions.2. W. J. Firey. " An integral-geometric meaning for lower order area functions of convex bodies ",Mathematika, 19 (1972), 205-212.3. H. Hadwiger. Vorlesungen u'ber Inhalt, Oberflache und Isoperimetrie (Springer; Berlin-Gottingen-Heidelberg, 1957).4. H. Hadwiger. " Das Wills'sche Funktional ", Mh. Math., 79 (1975), 213-221.5. G. Wieczorek. " Integralgeometrische Darstellungen von Linearkombinationen MinkowskischerQuermassintegrale ", Diplomarbeit Technische Universitdt (Berlin, 1975).6. J. Zelver. " The integro-geometric tangent measures of Euclidean »-space ", Ph.D. Thesis (OregonState University, Corvallis, 1970).Mathematisches Institut, 28A75: MEASURE AND INTEGRATION;Ruhr-Universitat, Geometric measure theory.BuscheystraBe,4630Bochum, 52A20: CONVEX SETS AND GEOMETRICDeutschland. INEQUALITIES; Convex sets in ndimensions.Mathematisches Institut,Universitat Bern, Received on the 29th of September, 1975.SidlerstraBe 5,3000 Bern,Schweiz.Lehrstuhl fur Mathematik II,Gesamthochschule Siegen,Holderlinstr. 3,5930 Huttental-Weidenau,Deutschland.https:/www.cambridge.org/core/terms. https://doi.org/10.1112/S0025579300008810Downloaded from https:/www.cambridge.org/core. University of Basel Library, on 30 May 2017 at 21:01:00, subject to the Cambridge Core terms of use, available at

Eine Erweiterung der Croftonschen Formeln für konvexe Körper

Abstract

Similar works

Full text

Available Versions

RERO DOC Digital Library