Vincent Beck

Comptes Rendus Mathématique

C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 342 (2006) 727–732http://france.elsevier.com/direct/CRASS1/Théorie des groupesInvariants relatifs : une algèbre extérieureVincent BeckInstitut de mathématiques, université Paris VII, 175, rue du Chevaleret 75013 Paris, FranceReçu le 7 juillet 2005 ; accepté après révision le 14 mars 2006Disponible sur Internet le 18 avril 2006Présenté par Michel DufloRésuméSoient G ⊂ GL(V ) un groupe de réflexion complexe, M un G-module de dimension finie et S l’algèbre symétrique de V ∗. Nousgénéralisons des résultats d’Orlik et Solomon, et de Shepler en construisant une structure d’algèbre extérieure sur l’ensemble desinvariants relatifs (associés à un caractère linéaire de G) de l’algèbre S ⊗ Λ(M∗). Pour citer cet article : V. Beck, C. R. Acad. Sci.Paris, Ser. I 342 (2006).© 2006 Académie des sciences. Publié par Elsevier SAS. Tous droits réservés.AbstractRelative invariants: an exterior algebra. Let G be a complex reflection group acting on V , M be a finite dimensional G-moduleand S be the coordinate ring of V . Generalizing results of Orlik and Solomon, and of Shepler, we build an exterior algebra structureon the set of relative invariants (associated to a linear character of G) of the algebra S ⊗Λ(M∗). To cite this article: V. Beck, C. R.Acad. Sci. Paris, Ser. I 342 (2006).© 2006 Académie des sciences. Publié par Elsevier SAS. Tous droits réservés.Abridged English versionLet G be a complex reflection group acting on the complex vector space V of dimension . If S is the coordinatering of V , the ring SG of the invariants in S is a polynomial algebra. We denote by di for i ∈ 1,  the degreesof a family of algebraically free homogeneous generators of G. These integers are determined by G and called theinvariant degrees of G. Let I be the ideal of S generated by the elements of SG which vanish at 0 ∈ V . The algebraSG = S/I realizes a graded version of the regular representation of G. Let T be an indeterminate; for any finitedimensional G-module N , we define the fake degree of N as the polynomial FN(T ) := ∑i∈N〈(SG)i,N〉T i and theintegers mi(N), called the N -exponents of G, by∑dimNj=1 T mj (N) := FN(T ). We define the total N -exponent of G asm(N) = ∑dimNj=1 mj(N).Let H be the set of reflecting hyperplanes of G. For H ∈ H, we define GH to be the pointwise stabilizer of H andwe set eH := |GH |. We introduce the integers (nj,H (N))0jeH −1 and nH (N) defined asAdresse e-mail : beck@math.jussieu.fr (V. Beck).1631-073X/$ – see front matter © 2006 Académie des sciences. Publié par Elsevier SAS. Tous droits réservés.doi:10.1016/j.crma.2006.03.014728 V. Beck / C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 342 (2006) 727–732ResGGH (N) =eH −1⊕j=0nj,H (N)det−j and nH (N) =eH −1∑j=0jnj,H (N) = m(ResGGH (N)).We define sH to be the element of the cyclic group GH with determinant exp(2iπ/eH ).Let χ be a linear character of G. We denote by Cχ a representation of G with character χ and nH (χ) instead ofnH (Cχ ). By Stanley’s theorem [9], there exists a unique polynomial Qχ (up to multiplication by a non zero scalar)such that the χ -isotypic component of S is SGQχ . We can now state the main theorem of this paper which is ageneralization of those of Orlik and Solomon [7] (with χ = 1) and Shepler [8] (with M = V ). The proof is based onthe notion of minimal matrix associated to a representation of G (see [3] and [6]).Theorem 0.1 (Exterior Algebra). Let M be a finite dimensional G-module. Assume that sH acts trivially or as areflection on M for all H ∈ H or that nH (M) < eH −nH (χ) for all H ∈ H. We can define an algebra structure on theχ -isotypic component (S ⊗ Λ(M∗))χ of the algebra S ⊗ Λ(M∗) with the law  defined as∀μ,ω ∈ (S ⊗ Λ(M∗))χ , μ  ω = Qχ−1μ ∧ ω.The algebra ((S ⊗ Λ(M∗))χ ,) is the SG-exterior algebra of (S ⊗ M∗)χ .Let N be the normalizer of G in GL(V ) and γ be a semisimple element of N (see [1]). Assume that the derivedgroup D of 〈G,γ 〉 verifies D ⊂ kerχ . Let choose an homogeneous SG-basis of SG ⊗ ((SG) ⊗ V )χ whose vectorsare eigenvectors for γ and define εi,γ,χ the corresponding eigenvalue. By applying this theorem to V , we obtain anew criterion for an integer to be γ -regular. Let d an integer, ξ a primitive d th root of unity. We define ri(χ) =deg(Qχ) − mi(V ⊗ Cχ ),aγ (d) =∣∣{i ∈ 1, , εi,γ,1ξ−di = 1}∣∣ and bγ (d,χ) =∣∣{j ∈ 1, , εj,γ,χ ξ rj (χ)−1 = 1}∣∣;Remember that an integer d is said to be γ -regular if there exists g ∈ G such that dim ker(gγ − ξ id) meetsV \ ⋃H∈H H .Theorem 0.2. If for all H ∈ H, the restriction of χ to GH is not trivial, then d is γ -regular if and only if aγ (d) =bγ (d,χ).1. IntroductionSoient V un C-espace vectoriel de dimension  et G ⊂ GL(V ) un groupe de réflexions complexes. Le groupe Gagit de façon naturelle et homogène sur l’algèbre S des fonctions polynomiales sur V identifiée à l’algèbre symétriquedu dual V ∗ de V . La sous-algèbre des invariants SG est une algèbre de polynômes à  indéterminées. On définitalors les degrés de G comme les degrés (comptés avec leur multiplicité) d’une famille de générateurs homogènesalgébriquement indépendants de SG. Ils sont bien définis et on les note d1, . . . , d. Soit I l’idéal de S engendré parles éléments de SG nuls en 0 ∈ V , l’algèbre quotient SG = S/I est graduée et est appelée l’algèbre des coinvariantsde G. Elle est isomorphe en tant que G-module à la représentation régulière et on a S = SG ⊗ SG (voir [2]).Soient T une indéterminée et N un G-module de dimension finie, on définit le degré fantôme de N comme lepolynôme FN(T ) := ∑i∈N〈(SG)i,N〉T i et les N -exposants de G et le N -exposant total comme les entiers vérifiant∑dimNj=1 T mj (N) := FN(T ) et m(N) :=∑dimNj=1 mj(N). On note H l’ensemble des hyperplans des réflexions de G etpour H ∈ H, on pose GH = {g ∈ G, pour tout x ∈ H, gx = x}. C’est un groupe cyclique dont on note eH le cardinalet sH le générateur de déterminant ζH = exp(2iπ/eH ). Enfin, on considère les entiers (nj,H (N))j et nH (N) définisparResGGH (N) =eH −1⊕j=0nj,H (N)det−j et nH (N) =eH −1∑j=0jnj,H (N) = m(ResGGH (N)).Soient χ un caractère linéaire de G, on note Cχ la représentation de caractère χ sur C. On considère M unG-module de dimension r . L’objectif est de munir d’une structure de SG-algèbre extérieure la composante χ -iso-typique (notée (S ⊗Λ(M∗))χ ) de l’algèbre Ω = S ⊗Λ(M∗) sur laquelle G agit de façon diagonale. On suit pour celala méthode décrite dans l’article de Shepler [8].V. Beck / C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 342 (2006) 727–732 729On note detM (resp. detM∗ ) le déterminant de la représentation M (resp. M∗) et pour p ∈ 0, r et n ∈ N, Ωp =S ⊗ Λp(M∗) et Ωpn = Sn ⊗ Λp(M∗). Pour H ∈ H, on choisit αH ∈ V ∗ une forme linéaire de noyau H et on posenH (χ) = nH (Cχ ) ; on définit alorsQχ =∏H∈HαHnH (χ).R. Stanley [9] a montré que la composante χ -isotypique Sχ de S est SGQχ . On en déduit alors que(Ωr)χ = SGQχ ·detM volM (1)où volM est un élément non nul de Λr(M∗).Rappelons le théorème de Gutkin [3] (voir aussi la Proposition 2.5).Théorème 1.1 (Théorème de Gutkin (version faible)). On a m(M) = ∑H∈H nH (M) et on dispose des équivalences :m(M) = m(Λr(M)) ⇐⇒ ∀H ∈ H, 0  nH (M)  eH − 1 ;m(M) = m(Λr(M)) et m(M∗) = m(Λr(M∗)) ⇐⇒ ∀H ∈ H, n0,H  r − 1.2. DivisibilitéRappelons le résultat de divisibilité des polynômes qui est à la base du Lemme 2.2.Lemme 2.1. Soient P ∈ S et i ∈ 1; eH . Si sH P = ζH iP alors P est divisible par αH eH −i .Lemme 2.2. Soient μ ∈ (Ωp)χ et H ∈ H. On considère (y1, . . . , yr ) une base de M∗ dans laquelle sH agit diagona-lement. On note ζH ji (0  ji  eH − 1) la valeur propre associée au vecteur yi . On écritμ =∑1i1<···<iprμi1,...,ipyi1 ∧ · · · ∧ yip .Si m(M) = m(Λr(M)), on dispose de l’alternative suivante :• ou 0  ji1 + · · · + jip  eH − 1 − nH (χ) et αH ji1+···+jip +nH (χ) | μi1,...,ip ;• ou eH − nH (χ)  ji1 + · · · + jip  2eH − 2 − nH (χ) et αH ji1 +···+jip +nH (χ)−eH | μi1,...,ip .Preuve. Comme la famille (yi1 ∧ · · · ∧ yip )1i1<···<ipr forme une S-base de Ωp , on obtient que sH (μi1,...,ip ) =ζH−ji1 −···−jip −nH (χ)μi1,...,ip . On a 0  ji1 + · · · + jip + nH (χ)  2eH − 2 grâce à l’hypothèse m(M) = m(Λr(M)).Le Lemme 2.1 permet alors de conclure. Remarque 1. Les entiers ji sont intimement liés aux nj,H . De façon précise, pour j ∈ 0, eH −1, nj,H est le nombred’entiers i ∈ 1, r tels que ji = j .Considérons la condition suivante (notée (∗)) : pour tout H ∈ H, il n’existe pas deux parties disjointes de l’ensemble1; r (notées I1 et I2) vérifianteH − nH (χ) ∑i∈I1ji et eH − nH (χ) ∑i∈I2ji .Corollaire 2.3. Si m(M) = m(Λr(M)) et (∗) est vérifié alors Qχ divise μ ∧ ω pour tout μ,ω ∈ Ωχ .Preuve. On fixe H ∈ H et on considère la même base (y1, . . . , yr ) de M∗ que celle du Lemme 2.2. Pour une partieI = {i1, . . . , ip} de 1; r avec 1  i1 < · · · < ip  r , on note yI = yi1 ∧ · · · ∧ yip . On peut alors écrireμ =∑μIyI et ω =∑ωIyII⊂1;r I⊂1;r730 V. Beck / C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 342 (2006) 727–732avec μI ,ωI ∈ S. D’oùμ ∧ ω =∑I∩J=∅εI,J μIωJ yI∪J avec εI,J ∈ {±1}.L’hypothèse (∗) et le Lemme 2.2 assurent que si I ∩ J = ∅ alors μI ou ωJ est divisible par αH nH (χ). Ainsi, le produitμ ∧ ω est divisible par αH nH (χ). Comme la famille des (αH )H∈H est formée d’éléments premiers entre eux deux àdeux, μ ∧ ω est divisible par Qχ . Remarque 2 (Structure d’algèbre). Pour μ,ω ∈ Ωχ , on peut alors définir le produit μ  ω = Qχ −1μ ∧ ω. Commeμ  ω ∈ Ωχ , on a ainsi défini sur Ωχ une loi  qui munit Ωχ d’une structure d’algèbre.L’objectif est de montrer que (Ωχ,) est une SG-algèbre extérieure. On suit pour cela la méthode indiquée dansles articles de Shepler [8] et Orlik et Solomon [7]. On note.= la relation de colinéarité.Proposition 2.4. Soient ω1, . . . ,ωr ∈ (Ω1)χ . Si m(M) = m(Λr(M)) et la condition (∗) est vérifiée, alors les deuxpropositions suivantes sont équivalentes :pour tout p ∈ 1, r, la famille (ωi1  · · ·  ωip)1i1<···<ipr forme une SG-base de (Ωp)χ ;ω1  · · ·  ωr .= Qχ ·detM volM. (2)L’objectif est à présent de montrer que toute SG-base de (Ω1)χ vérifie la condition (2). Cela repose sur la construc-tion de deux familles (νi)1ir et (μi)1ir d’éléments de Ω1.Proposition 2.5. Si m(M) = m(Λr(M)), il existe ν1, . . . , νr ∈ (Ω1)G vérifiant ν1 ∧ · · · ∧ νr .= QdetM volM .Si m(M∗) = m(Λr(M∗)), il existe μ1, . . . ,μr ∈ (Ω1)detM∗ vérifiant μ1 ∧ · · · ∧ μr .= (QdetM∗ )r−1 volM .Preuve. La preuve utilise la version forte du théorème de Gutkin [3] et la notion de matrice minimale [6]. PourC = (cij )i,j ∈ Mr (S) et g ∈ G, on note g · C la matrice (gcij )i,j . Considérons C une matrice M-minimale. Pardéfinition, C ∈ Mr (S) vérifie g · N = NgM , detN = 0 et deg detN = m(M).On choisit (yi)1ir une base de M∗ et on définit pour j ∈ 1, r,νj =r∑i=1cji ⊗ yi.On a alors ν1 ∧· · ·∧νr .= det(N)volM . De plus, deg detN = m(M) = m(Λr(M)) = degQdetM et detN est detgM -invariant. Ainsi, le théorème de Stanley assure que detN.= QdetM . Enfin, on vérifie que νj est G-invariant pour toutj ∈ 1, r grâce à la relation t gM∗ = gM−1.Pour les μj , on applique la même construction à la comatrice d’une matrice M∗-minimale. Lemme 2.6. Si m(M) = m(Λr(M)) alors les polynômes QχQdetM (Qχ ·detM )−1 et Qχ ·detM QdetM∗ (Qχ)−1 sont pre-miers entre eux.Proposition 2.7. On suppose que m(M) = m(Λr(M)) et m(M∗) = m(Λr(M∗)). Si ω1, . . . ,ωr engendrent (Ω1)χsur SG alors ω1  · · ·  ωr .= Qχ ·detM volM .Preuve. La preuve suit celle de la Proposition 2 de Shepler [8]. D’après l’égalité (1), on sait que ω1  · · ·  ωr =f Qχ ·detM volM où f ∈ SG. Pour montrer que f est inversible, on montre que f divise QχQdetM (Qχ ·detM )−1 et(Qχ ·detM QdetM∗ (Qχ)−1)r−1 grâce aux νi et μj . Remarque 3. La condition m(M∗) = m(Λr(M∗)) est superflue si QχQdetM .= Qχ ·detM c’est-à-dire si nH (M) <eH − nH (χ) pour tout H ∈ H. Dans ce cas, la condition (∗) est vérifiée.Cette situation se produit lorsque χ est le caractère trivial. On a alors Qχ = 1 et les produits  et ∧ sont identiques.On retrouve le résultat d’Orlik et Solomon [7].V. Beck / C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 342 (2006) 727–732 731Finalement, on obtient le théorème de structure suivant :Proposition 2.8 (Algèbre extérieure). Supposons que sH agisse sur M de façon triviale ou comme une pseudo-réflexion pour tout H ∈ H ou que nH (M) < eH −nH (χ) pour tout H ∈ H, alors la SG-algèbre (Ωχ,) est l’algèbreextérieure de (Ω1)χ .3. ConséquencesOn considère le normalisateur N de G dans GL(V ). On choisit alors γ ∈ N que l’on suppose semisimple(voir [1]). On suppose que M est un 〈G,γ 〉-module et que γ agit de façon semisimple sur M . On suppose deplus que le groupe dérivé D de 〈G,γ 〉 vérifie D ⊂ kerχ . On peut ainsi prolonger χ en un caractère linéaire de〈G,γ 〉 (que l’on note encore χ ). On note Mχ = M ⊗ Cχ . On a alors (Ω1)χ = SG ⊗ (SG ⊗ Mχ)G. Ainsi la dé-finition des Mχ -exposants assure qu’on peut choisir une SG-base B = (ω1, . . . ,ωr) de (Ω1)χ bihomogène avecdeg′(ωi) = (mi(Mχ) − deg(Qχ),1). On peut, de plus, supposer que les ωi sont des vecteurs propres de γ . On noteεi,γ,χ (M) la valeur propre de γ associée à ωi . On en déduit alors, grâce à la structure de SG-algèbre extérieure,l’identité suivante.Corollaire 3.1. Si pour tout H ∈ H, sH agit sur M comme une pseudo-réflexion ou l’identité alors1|G|∑g∈Gχ(g−1)det(1 + (gγ )MY)det(1 − gγX) = Xdeg(Qχ )∏ri=1(1 + εi,γ,χ (M)YXmi(Mχ )−deg(Qχ ))∏i=1(1 − εi,γ,1(V )Xdi ). (3)De manière analogue aux articles de Lehrer et Michel [4,5], voyons ce que donne cette formule appliquée auxreprésentations V σ et V ∗σ où σ ∈ Gal(Q/Q). Soit d ∈ N et ξ une racine deprimitive de l’unité ; on définit alorsAγ (d) = {i ∈ 1, , εi,γ (V )ξ−di = 1} et aγ (d) = |Aγ (d)|, et pour σ ∈ Gal(Q/Q),ri(σ,χ) = deg(Qχ) − mi(V σχ), et r∗i (σ,χ) = deg(Qχ) − mi(V ∗σχ) ;Bσ,γ (d,χ) ={j ∈ 1, , εj,γ,χ(V σ)ξ−σ ξ rj (σ,χ) = 1} et bσ,γ (d,χ) =∣∣Bσ,γ (d,χ)∣∣ ;B∗σ,γ (d,χ) ={j ∈ 1, , εj,γ,χ(V ∗σ)ξσ ξr∗j (σ,χ) = 1} et b∗σ,γ (d,χ) =∣∣B∗σ,γ (d,χ)∣∣.Pour h ∈ EndC(V ), on note det′(h) le produit des valeurs propres non nulles de h, V (h, ξ) le sous-espace proprede h associé à la valeur propre ξ et d(h, ξ) = dim(V (h, ξ)).Théorème 3.2. On a aγ (d)  bσ,γ (d,χ) et l’égalité suivante dans C[T ]ξdeg(Qχ )∑g∈Gχ(g−1)T d(gγ,ξ)(det′(1 − ξ−1gγ ))σ−1=⎧⎨⎩∏j∈Bσ,γ (d,χ)(T − rj (σ,χ)) ∏j /∈Bσ,γ (d,χ)(1 − εj ξ rj (σ,χ)−σ) ∏j /∈Aγ (d)dj1 − ε′j ξ−djsi aγ (d) = bσ,γ (d,χ),0 sinonoù εi = εi,γ,χ (V σ ) et ε′i = εi,γ,1(V ).On a aγ (d)  b∗σ,γ (d,χ) et l’égalité suivante dans C[T ](−1)ξdeg(Qχ )+σ∑g∈Gχ(g−1)(−T )d(gγ,ξ)(det′(1 − ξ−1gγ ))σ−1 det(gγ )−σ=⎧⎨⎩∏j∈B∗σ,γ (d,χ)(T − r∗j (σ,χ)) ∏j /∈B∗σ,γ (d,χ)(1 − εj ξ r∗j (σ,χ)+σ ) ∏j /∈Aγ (d)dj1 − ε′j ξ−djsi aγ (d) = b∗σ,γ (d,χ),0 sinonoù εi = εi,γ,χ (V ∗σ ) et ε′ = εi,γ,1(V ).i732 V. Beck / C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 342 (2006) 727–732Voyons comment les égalités précédentes donnent des critères de régularité pour les entiers.Corollaire 3.3 (Entier régulier). Rappelons que d est dit γ -régulier si l’un des V (gγ, ξ) rencontre le complémentairedes hyperplans de H.(i) Si d est γ -régulier, alors aγ (d) = bσ,γ (d,χ) = b∗σ,γ (χ, d) pour tout χ et tout σ ∈ Gal(Q/Q).(ii) Si pour tout H ∈ H, la restriction de χ à GH est non-triviale, alors d est γ -régulier si et seulement si aγ (d) =bγ (χ, d).(iii) Si pour tout H ∈ H, la restriction de χ · det à GH est non-triviale, alors d est γ -régulier si et seulement siaγ (d) = b∗γ (χ, d).Références[1] C. Bonnafé, G.I. Lehrer, J. Michel, Twisted invariant theory for reflection groups, Prépublications du laboratoire de mathématiques de Besançon.[2] C. Chevalley, Invariants of finite groups generated by reflections, Amer. J. Math. 77 (1955) 778–782.[3] E.A. Gutkin, Matrices connected with groups generated by mappings, Funct. Anal. Appl. 7 (1973) 153–154.[4] G.I. Lehrer, Remarks concerning linear characters of reflection groups, Preprint, 2004.[5] G.I. Lehrer, J. Michel, Invariant theory and eigenspaces for unitary reflection groups, C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 336 (2003) 795–800.[6] E. Opdam, Complex reflection groups and fake degrees, Preprint, 1998.[7] P. Orlik, L. Solomon, Unitary reflection groups and cohomology, Invent. Math. 59 (1980) 77–94.[8] A.V. Shepler, Semi-invariants of finite reflection groups, J. Algebra 220 (1999) 314–326.[9] R. Stanley, Relative invariants of finite groups, J. Algebra 49 (1977) 134–148.

Invariants relatifs : une algèbre extérieure

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